第4章 動能和勢

§4.1能量—又一個守恒量第四章動能和勢§4.1能量—又一個守恒量第四章動能和勢能量概念發(fā)展史簡介(1)伽利略對擺的論證——為后人認識機械能守恒開辟一途徑.(2)萊布尼茲提出的物體運動的量與物體速度平方成正比被科里奧利稱為“活力”.(3)英國物理學家楊（T.Young）(在光的干涉方面作出貢獻)將mv2/2稱作能量.(4)熱學中永動機不可能實現(xiàn)的確認和各種物理現(xiàn)象之間的普遍聯(lián)系的發(fā)現(xiàn)，導致了能量守恒定律的最終確立.(5)能量守恒定律的發(fā)現(xiàn)最重要的貢獻者當推邁耶（M.Meyer）、焦耳（J.P.Joule）和亥姆霍茲（H.von.helmholtz）三位偉大的科學家.(6)能量守恒是自然界的基本規(guī)律.自然界的一切過程都必須滿足能量守恒，但滿足能量守恒定律的過程不一定都能實現(xiàn).(7)經(jīng)典物理認為物體的能量是連續(xù)值.量子物理中物體的能量是不連續(xù)的.

(8)在相對論中,將學到能量和質量是等價的E=mc2

稱質能關系.§4.2力的功·用線積分表示功§4.2.1力的元功和功率§4.2.2利用不同坐標系表示元功§4.2.3力在有限路徑上的功§4.2力的功·用線積分表示功§4.2.1力的元功和功率1.恒力的功功——力對空間的積累作用.

若即合力所做的功等于各分力所做功的代數(shù)和.在SI中功的單位為焦耳量綱2.變力的功m力在元位移上的元功.3.功率平均功率瞬時功率功率——力在單位時間內所做的功.額定功率——最大輸出功率.量綱：若力沿直線位移做功，令x軸與位移重合，則有1.平面直角坐標系§4.2.2利用不同坐標系表示元功xyxyr0r1Os0s12.平面自然坐標OA(r,)

3.平面極坐標§4.2.3力在有限路徑上的功xyxyr0r1質點r0

r1

質點受n個力共同作用時合力(1)功是標量,但有正負,與力和位移的夾角有關.(2)功是力對空間的積累,是過程量,與路徑有關.說明xOxOxab[例題1]彈簧一端固定，另一端與質點相連.彈簧勁度系數(shù)為k求質點由x0運動至x1時彈簧彈性力所做的功.Ox

坐標系原點位于彈簧自由伸展時質點所在位置.[解]彈性力x0

x1為任意起始位置，與路徑無關.[例題2]馬拉雪橇水平前進，自起點

A

沿某一長為L

的曲線路徑拉至終點B.雪橇與雪地間的正壓力為FN

，摩擦因數(shù)為

.求摩擦力的功.[解]沿雪橇軌跡取自然坐標，雪橇前進方向為自然坐標增加的方向摩擦力的功摩擦力的功與路徑有關.OA(r,)

[例題3]

從10m深的井中把10kg的水勻速上提,若每升高1m漏去0.2kg的水.(1)畫出示意圖,設置坐標軸后,寫出力所做元功的表達式.(2)計算把水從井下勻速提到井口外力所做的功.[解](1)建立坐標并作示意圖如右,(2)§4.3質點和質點系動能定理§4.3.1質點的動能定理§4.3.2質點系內力的功§4.3.3質點系的動能定理ab§4.3質點和質點系動能定理§4.3.1質點的動能定理物體在合力作用下,由ab1.質點的動能定理定義單位和量綱與功同.——物體的動能即：合力對質點所做的功等于質點動能的增量，是動力學基本定理之一.——動能定理則：或：(2)Ek是狀態(tài)量Ek,A>0;Ek,A<0，

動能是物體因具有速度而具有的作功的本領

與過程無關.而功與過程有關.(3)動能定理只適用于慣性系.(1)質點的動能定理中的功永遠是合力的功.2.說明:(4)動能定理對于物體運動所能提供的信息比牛頓運動定律少.[例題1]如圖,物塊質量m置于粗糙水平面上,用橡皮繩系于墻上,橡皮繩原長a，拉伸時相當于勁度系數(shù)為k的彈簧,現(xiàn)將物塊向后拉伸至橡皮繩長為b后再由靜止釋放.求物塊擊墻的速度.物塊與水平面間的摩擦系數(shù)為..[解]彈力只存在于ba過程，摩擦力始終存在，由動能定理有：(

v0=0)Oxxabm§4.3.2質點系內力的功以兩質點系m1

和m2

為例Oxyz一對內力元功之和：質點2相對質點1的元位移1.內力的功(1)內力的總功一般不為零.F只與1、2質點相對距離變化有關，而二質點距離變化與參照系的選擇無關.(2)內力的總功與參考系無關(3)一對內力所做的功,只決定于兩質點的相對路徑.對非慣性系同樣成立.2.說明§4.3.3質點系的動能定理n個質點組成的系統(tǒng)，對第i個質點用動能定理即：所有外力對質點系做的功和內力對質點系作的功之和等于質點系總動能的增加——質點系動能定理.n個質點省去腳標i[例題2]如圖，質量為m0的卡車載一質量為m的木箱，以速率v

沿水平路面行駛.因故突然剎車，車輪立即停止轉動，卡車滑行一定距離后靜止，木箱在卡車上相對于卡車滑行了l

距離.卡車滑行了L距離.求L和l.已知木箱與卡車間的摩擦系數(shù)為

1,卡車與地面的動摩擦因數(shù)為

2.lL[解]1.用質點動能定理求解受力分析如圖，只有力,和做功根據(jù)質點動能定理得2.用質點系運動定理求解視卡車與木箱為一質點系按質點系運動定理，有(2)(3)聯(lián)立得與上法相同結果.§4.4保守力與非保守力·勢能§4.4.1力場§4.4.2保守力與非保守力§4.4.3勢能§4.4.4勢能是物體相對位置的函數(shù)§4.4保守力與非保守力·勢能§4.4.1力場均勻力場中場力的分布場力——質點所受到的力僅與質點的位置有關.力場——存在場力的空間.有心力——質點所受作用力的作用線總通過某一點的力.該點稱力心.正點電荷周圍引入另一正點電荷受到的場力.OA彈簧固定于O點，運動質點A受到的彈性場力；藍色點處表示彈性力為零.§4.4.2保守力與非保守力1.幾種力的功(1)重力的功在重力作用下,質點m經(jīng)任一路徑由a到babxy質點由r0

運動至r

時彈力做功

r0,r為任意起始位置，與路徑無關.彈力(2)彈力的功l——彈簧原長(3)靜電場力的功在靜電荷q0電場中，電荷q自r0處運動至r處靜電力之功為

共同特點：力所作的功與路徑無關，僅與始末位置有關.保守力——做功與路徑無關,只與相互作用的相對位置有關的力.2.保守力與非保守力數(shù)學式即：力沿閉合路徑的功等于零.非保守力——力所做的功與質點所經(jīng)路徑有關.§4.4.3勢能功是能量變化的量度.定義勢能——是物體相對位置的函數(shù).用Ep表示，勢能的減少等于保守力的功，或勢能的增加等于保守力的負功.即保守力做功與路徑無關,只與相互作用的相對位置有關.1.勢能定義(1)只有保守力才能引進勢能的概念.(2)勢能的定義是其差值.若選Ep0=0終點(3)勢能與零點選擇有關2.幾點說明但勢能增量對靜電能常取Ep()=0(4)勢能屬于保守力相互作用著的整個系統(tǒng)，是一種相互作用能.彈簧彈性勢能，取原長處Ep=0，(5)保守力與勢能的微分關系又§4.4.4勢能是物體相對位置的函數(shù)若一個系統(tǒng)中的所有非保守力都不做功，該系統(tǒng)就被稱為保守系.勢能是保守體系與相對位置相聯(lián)系的的做功本領.多質點體系中,各質點在空間由初始位置分布形變到末了位置分布的過程中,體系勢能的減少等于體系內所有保守內力所做的總功.總功與路徑無關,只與始末質點位置分布有關,總功一定時,勢能差一定.[例題]質點在力的作用下由位置運動到,經(jīng)過的路程為s,

如果力函數(shù)分別為,其中k為常數(shù),

分別是沿矢徑和速度方向的單位矢量(1)分別求兩種力在該過程所做的功.(2)說明哪個是保守力.[解]abO保守力非保守力§4.4保守力與非保守力·勢能§4.4.1力場§4.4.2保守力與非保守力§4.4.3勢能§4.4.4勢能是物體相對位置的函數(shù)§4.4保守力與非保守力·勢能§4.4.1力場均勻力場中場力的分布場力——質點所受到的力僅與質點的位置有關.力場——存在場力的空間.有心力——質點所受作用力的作用線總通過某一點的力.該點稱力心.正點電荷周圍引入另一正點電荷受到的場力.OA彈簧固定于O點，運動質點A受到的彈性場力；藍色點處表示彈性力為零.§4.4.2保守力與非保守力1.幾種力的功(1)重力的功在重力作用下,質點m經(jīng)任一路徑由a到babxy質點由r0

運動至r

時彈力做功

r0,r為任意起始位置，與路徑無關.彈力(2)彈力的功l——彈簧原長(3)靜電場力的功在靜電荷q0電場中，電荷q自r0處運動至r處靜電力之功為

共同特點：力所作的功與路徑無關，僅與始末位置有關.保守力——做功與路徑無關,只與相互作用的相對位置有關的力.2.保守力與非保守力數(shù)學式即：力沿閉合路徑的功等于零.非保守力——力所做的功與質點所經(jīng)路徑有關.§4.4.3勢能功是能量變化的量度.定義勢能——是物體相對位置的函數(shù).用Ep表示，勢能的減少等于保守力的功，或勢能的增加等于保守力的負功.即保守力做功與路徑無關,只與相互作用的相對位置有關.1.勢能定義(1)只有保守力才能引進勢能的概念.(2)勢能的定義是其差值.若選Ep0=0終點(3)勢能與零點選擇有關2.幾點說明但勢能增量對靜電能常取Ep()=0(4)勢能屬于保守力相互作用著的整個系統(tǒng)，是一種相互作用能.彈簧彈性勢能，取原長處Ep=0，(5)保守力與勢能的微分關系又§4.4.4勢能是物體相對位置的函數(shù)若一個系統(tǒng)中的所有非保守力都不做功，該系統(tǒng)就被稱為保守系.勢能是保守體系與相對位置相聯(lián)系的的做功本領.多質點體系中,各質點在空間由初始位置分布形變到末了位置分布的過程中,體系勢能的減少等于體系內所有保守內力所做的總功.總功與路徑無關,只與始末質點位置分布有關,總功一定時,勢能差一定.[例題]質點在力的作用下由位置運動到,經(jīng)過的路程為s,

如果力函數(shù)分別為,其中k為常數(shù),

分別是沿矢徑和速度方向的單位矢量(1)分別求兩種力在該過程所做的功.(2)說明哪個是保守力.[解]abO保守力非保守力§4.5保守力與非保守力·勢能§4.5.1質點系功能原理§4.5.2質點系的機械能守恒定律§4.5保守力與非保守力·勢能§4.5.1質點系功能原理質點系的動能定理一般機械能外力的功和非保守內力的功之和等于體系機械能的增量——功能原理§4.5.2質點系的機械能守恒定律1.當A外=0時，若

A內非

>0，則

E

增加.例如爆炸.是其它形式的能量（化學能、生物能）向機械能的轉化.2.當A外=0時，若

A內非

<0，則

E減少,力為耗散力.機械能向其它形式能量轉換.功能原理3.若A外+

A內非保

=0

即體系只有保守力作功——機械能守恒定律(3)傳遞和轉換是通過保守內力作功來完成的.(1)動能的增量等于勢能的減少量.(2)動能與勢能可以相互轉換.——機械能守恒定律的條件或[例題1]一輕彈簧與質量為和的兩個物體相聯(lián)結，如圖所示.至少用多大的力向下壓才能在此力撤除后彈簧把下面的物體帶離地面？（彈簧質量不計.）m1m2m1m2m2m1y1y2y3Oy

m1m2[解]受力分析如圖m2剛能被提起的條件為即(1)m1平衡時即(2)將坐標原點視作彈性勢能和重力勢能的零點(3)聯(lián)立求得[例題2]制作半導體時，需向單晶硅或其它晶體中攙入雜質.單晶硅內的原子是規(guī)則排列的.在兩層原子間有一定間隙，形成溝道.假設注入的雜質是硼的正離子.若硼離子能沿溝道射入晶體內，就叫溝道離子.射入的離子不可能與溝道的縱軸完全平行.若偏離一定角度.例如，如圖(a)那樣進入溝道時向上偏轉，則離子將受到原子層原子核向下的斥力.這時斥力做負功，使離子一部分動能轉化為電磁能.一旦離子失去向上運動的速度，便在斥力作用下朝反方向偏離；同樣道理，當離子接近下面原子核時，又在斥力作用下向上偏轉.于是入射離子在溝道內沿曲線前進.顯然，入射角越大，上下擺動的幅度越大.不難判斷，對于一定能量的離子，存在一個臨界角，一旦入射角大于，入射離子將沖出溝道，不能成為溝道離子.計算時常用下述方法處理：如圖(a)在離原子層一定距離處各劃一條平行于原子層的虛線，在兩條虛線范圍內的空間，可以認為電磁場沿溝道軸線方向上的分布是均勻的.已知入射硼離子的能量為，離子接近上下晶面的最大電磁能為，求臨界角.(a)(b)Oxy[解]選坐標系如圖(b)所示。離子受到的斥力與x軸垂直離子入射總動能不變,將逐步轉變?yōu)殡姶拍?得故即臨界角為2.4°.即將代入§4.6對心碰撞§4.6.1關于對心碰撞的基本公式§4.6.2完全彈性碰撞·查德威克發(fā)現(xiàn)中子§4.6.3完全非彈性碰撞§4.6.3非完全彈性碰撞§4.6對心碰撞碰撞——兩個或兩個以上物體相遇(相互接近),在極短的時間內發(fā)生較強的相互作用.F外

<<F內,相碰撞物體可視為系統(tǒng).可用動量守恒.定義正碰(對心碰撞)——碰前速度沿兩球中心連線，碰后沖力及兩球速度也沿這一直線,所以正碰的矢量問題簡化為標量問題.種類接觸碰撞——兩個物體直接接觸.接觸前后沒有相互作用,接觸時相互作用極為強烈,接觸時間極短.非接觸碰撞——兩個物體沒有直接接觸.接觸前、“中”、后均有相互作用如：微觀粒子間的散射.

設兩球碰前速度v10v20,碰后v1v2,以球心連線為坐標軸,以v10的正方向為軸的正方向.則定義恢復系數(shù)

恢復系數(shù)由實驗測得.只與兩物體質料有關.§4.6.1關于對心碰撞的基本公式聯(lián)立得形變?yōu)閺椥孕巫?，無機械能損失tOvv10v20v1v2FtOF12F21§4.6.2完全彈性碰撞·查德威克發(fā)現(xiàn)中子1.完全彈性碰撞（e=1）

(或用

)兩球碰后交換速度.(1)m1=m2即大球幾乎以原速繼續(xù)前進,而小球以兩倍于大球的速率前進.

(2)m1<<m2，且v20=0(m2靜止)小球以相等的速率返回.

(3)m1>>m2，且v20=0(m2靜止)動畫演示2.查德威克發(fā)現(xiàn)中子1932年，查德威克用碰撞法測量了中子的質量.放射性釙源粒子鈹靶中子石蠟質子檢測器關于發(fā)現(xiàn)中子實驗的示意圖中子——中性粒子,中子質量為質子的1.005~1.008倍.測得碰后質子令中子以速率v0分別與質子和氮核碰撞，碰前質子和氮核靜止.中子與它們碰后的速率分別為v1和v2求中子質量m.氮核對中子質子質點系對中子氮原子質點系現(xiàn)代精確測量表明,m=1.01mp

已知mN=14mp[例題1]用m1

表示中子質量,m2表示某原子核質量,求：(1)中子與靜止的原子核發(fā)生對心的完全彈性碰撞后，中子動能損失的比率；(2)鉛、碳和氫的原子核質量分別為中子質量的206倍、12倍和1倍，求中子與它們發(fā)生對心的完全碰撞后動能損失的比率.[解]把中子及鉛、碳和氫的原子核都視作質點.1.用v10

和v1

表示中子碰撞前后的速度，則動能損失的比率為：而2.求中子和鉛、碳和氫原子核碰撞能量損失的比率對于鉛，對于碳，對于氫，即中子與氫碰撞時能量損失最多.§4.6.3完全非彈性碰撞完全非彈性碰撞——兩物體碰后不再分開.打鐵時，要求Ek大.即要求m2>>m1

即汽錘的質量m1

應遠小于鍛件（包括鐵砧）質量m2.打樁時,要求Ek0,即m1>>m2.0.51.0210m1/m2468即[例題2]沖擊擺可用于測子彈速率.長度為l的線繩懸掛質量為m的木塊，子彈質量為m0，沿水平方向射入木塊，子彈最后嵌在木塊內一定位置，且測得木塊擺過角度，求子彈射入的速率v.lmm0(a)(c)(b)Ox（1）第一階段：木塊與子彈發(fā)生完全非彈性碰撞.在碰撞瞬間繩的拉力在水平方向的分力，遠小于子彈與木塊相互內力，水平方向動量近似守恒.取Ox為水平軸,用表示木塊與子彈共同運動的初速度，有（2）第二階段：擺動過程機械能守恒.根據(jù)[解]子彈自接觸木塊至最高點全過程分為二個階段非完全彈性碰撞(0<e<1)——小球碰撞后彼此分開，而機械能又有一定損失的碰撞.§4.6.3非完全彈性碰撞[例題3]

如圖所示，將一種材料制成小球，另一種材料制成平板，并水平放置。令小球從一定高度H自由下落，測得其反跳高度為h。試求這兩種材料之間的恢復系數(shù)e.[解]質量為m1的小球與平板相撞，可看成是與質