第2章 測量誤差分析及處理-3

第2章．測量誤差分析及處理

2.1誤差的概念

2.2

粗大誤差分析2.3

隨機(jī)誤差分析

2.4

系統(tǒng)誤差分析2.5

測量不確定度2.6

最小二乘法處理2.3

隨機(jī)誤差分析隨機(jī)誤差及測量值服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律在測量中，隨機(jī)誤差是不可避免的。隨機(jī)誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律的因素引起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動(dòng)，電磁場的干擾，大地輕微振動(dòng)等。隨機(jī)誤差反映了實(shí)際測量的精密度。多次測量，測量值和隨機(jī)誤差服從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律?？捎脭?shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，處理測量數(shù)據(jù)，從而減少隨機(jī)誤差對測量結(jié)果的影響。2.3

隨機(jī)誤差分析(續(xù)）

數(shù)學(xué)期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機(jī)變量：

X為連續(xù)型隨機(jī)變量：

2.3.1.隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差2.3

隨機(jī)誤差分析(續(xù)）

剩余誤差（殘差）當(dāng)進(jìn)行有限次測量時(shí)，各次測得值與算術(shù)平均值之差定義為剩余誤差或殘差：

νi=xi－x

兩邊分別求和：

當(dāng)n足夠大時(shí)，殘差的代數(shù)和等于零。當(dāng)n→∞時(shí)，殘差即等于隨機(jī)誤差。2.3

隨機(jī)誤差分析(續(xù)）方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差

方差定義為n→∞時(shí)測量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計(jì)平均值，即

因?yàn)殡S機(jī)誤差δi=xi-Ex，則方差定義為：

標(biāo)準(zhǔn)偏差定義為：

標(biāo)準(zhǔn)偏差反映了測量的精密度，標(biāo)準(zhǔn)偏差小表示精密度高，測得值集中；標(biāo)準(zhǔn)偏差大表示精密度低，測得值分散。2.3

隨機(jī)誤差分析(續(xù)）測量中的隨機(jī)誤差通常是多種相互獨(dú)立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對于總和只起微小作用，則可認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。為什么測量數(shù)據(jù)和隨機(jī)誤差大多接近正態(tài)分布？2.3.2測量誤差的正態(tài)分布2.3

隨機(jī)誤差分析(續(xù)）

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)為：測量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)為：

隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望和方差為：同樣測量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望E(X)＝，方差D(X)＝2.3

隨機(jī)誤差分析(續(xù)）

正態(tài)分布時(shí)概率密度曲線

隨機(jī)誤差和測量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因?yàn)樗鼈兊臉?biāo)準(zhǔn)偏差相同，只是橫坐標(biāo)相差隨機(jī)誤差具有：①對稱性②

單峰性③

有界性④抵償性

2.3

隨機(jī)誤差分析(續(xù)）

標(biāo)準(zhǔn)偏差意義標(biāo)準(zhǔn)偏差是代表測量數(shù)據(jù)和測量誤差分布離散程度的特征數(shù)。絕對值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大；相反，絕對值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率小。超過一定界限的隨機(jī)誤差實(shí)際上幾乎不出現(xiàn)。大小相等符號相反的誤差出現(xiàn)的概率相等。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，則正態(tài)分布曲線形狀越尖銳，說明數(shù)據(jù)越集中，精密度越高；標(biāo)準(zhǔn)偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數(shù)據(jù)越分散，精密度越低。2.3

隨機(jī)誤差分析(續(xù)）

測量誤差的非正態(tài)分布常見的非正態(tài)分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。均勻分布：儀器中的刻度盤回差、最小分辨力引起的誤差等；“四舍五入”的截尾誤差；當(dāng)只能估計(jì)誤差在某一范圍內(nèi)，而不知其分布時(shí)，一般可假定均勻分布。

概率密度:均值:當(dāng)時(shí),標(biāo)準(zhǔn)差:

當(dāng)

時(shí)，2.3

隨機(jī)誤差分析(續(xù)）

極限誤差△在進(jìn)行大量等精度測量時(shí)，隨機(jī)誤差落在【-3σ，+3σ】區(qū)間的測得值的數(shù)目占測量總數(shù)目的99.7％。因此定義對于正態(tài)分布的隨機(jī)誤差，可以算出隨機(jī)誤差落在【-3σ，+3σ】區(qū)間的概率為：△=3σ極限誤差或最大誤差粗大誤差的處理————萊特準(zhǔn)則2.3

隨機(jī)誤差分析(續(xù)）

測量結(jié)果的置信問題（1）置信概率與置信區(qū)間：置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率。置信限：

k——置信系數(shù)（或置信因子）置信概率是圖中陰影部分面積2.3

隨機(jī)誤差分析(續(xù)）

正態(tài)分布的置信概率

當(dāng)分布和k值確定之后，則置信概率可定

正態(tài)分布,當(dāng)k=3時(shí)置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997區(qū)間越寬，置信概率越大2.3

隨機(jī)誤差分析(續(xù)）

非正態(tài)分布的置信因子

由于常見的非正態(tài)分布都是有限的，設(shè)其置信限為誤差極限，即誤差的置信區(qū)間為置信概率為100％。（P=1)反正弦均勻三角分布例：均勻分布

有故:2.3

隨機(jī)誤差分析(續(xù)）

有限次測量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值

求被測量的數(shù)字特征，理論上需無窮多次測量，但在實(shí)際測量中只能進(jìn)行有限次測量，怎么辦？用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率，當(dāng)則令n個(gè)可相同的測試數(shù)據(jù)xi(i=1.2…,n)

次數(shù)都計(jì)為1,當(dāng)時(shí)，則（1）有限次測量的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值——算術(shù)平均值被測量X的數(shù)學(xué)期望，就是當(dāng)測量次數(shù)時(shí)，各次測量值的算術(shù)平均值

2.3

隨機(jī)誤差分析(續(xù)）規(guī)定使用算術(shù)平均值為數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值，并作為最后的測量結(jié)果。即：

算術(shù)平均值是數(shù)學(xué)期望的無偏估計(jì)值、一致估計(jì)值和最大似然估計(jì)值。有限次測量值的算術(shù)平均值比測量值更接近真值？

2.3

隨機(jī)誤差分析(續(xù)）

（2）算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差

故：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差比總體或單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差小倍。原因是隨機(jī)誤差的抵償性。*算術(shù)平均值：2.3

隨機(jī)誤差分析(續(xù)）

（2）有限次測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值

殘差：實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值），貝塞爾公式：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值：2.3隨機(jī)誤差分析(續(xù)）

【例2.4.1】

用溫度計(jì)重復(fù)測量某個(gè)不變的溫度，得11個(gè)測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。解：①平均值

②用公式

計(jì)算各測量值殘差列于上表中③實(shí)驗(yàn)偏差④標(biāo)準(zhǔn)偏差x=530.11.59±℃2.4

系統(tǒng)誤差的分析

2.4.1系統(tǒng)誤差的特征：

在同一條件下，多次測量同一量值時(shí)，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時(shí)，誤差按一定的規(guī)律變化。

多次測量求平均不能減少系差。

2.4

系統(tǒng)誤差的分析

2.4.2系統(tǒng)誤差的判斷方法

（1）理論分析法：由于測量方法或測量原理引入的系差，不難通過對測量方法的定性、定量分析發(fā)現(xiàn)系差，甚至計(jì)算出系差。（2）校準(zhǔn)和比對法：儀器定期進(jìn)行校準(zhǔn)或檢定并在檢定證書中給出修正值。采用多臺(tái)同型號儀器進(jìn)行比對，觀察對比結(jié)果。（3）改變測量條件法系差常與測量條件有關(guān)。2.4

系統(tǒng)誤差的分析

2.4.2系統(tǒng)誤差的判斷方法

（4）剩余誤差觀察法適用于系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差大的情況 將所測數(shù)據(jù)及其殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號的變化。存在線性變化的系統(tǒng)誤差無明顯系統(tǒng)誤差累進(jìn)性系差2.4

系統(tǒng)誤差的分析（續(xù)）馬利科夫判據(jù)：若有累進(jìn)性系統(tǒng)誤差，D值應(yīng)明顯異于零。 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，阿貝－赫梅特判據(jù)：檢驗(yàn)周期性系差的存在。（5）公式判斷法2.4

系統(tǒng)誤差的分析（續(xù)）

2.4.3

消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源

從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差①

要從測量原理和測量方法盡力做到正確、嚴(yán)格。②選用的儀器儀表類型正確，準(zhǔn)確度滿足測量要求。③測量儀器定期檢定和校準(zhǔn)，正確使用儀器。④注意周圍環(huán)境對測量的影響，特別是溫度對電子測量的影響較大。⑤盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。應(yīng)提高測量人員業(yè)務(wù)技術(shù)水平和工作責(zé)任心，改進(jìn)設(shè)備。６盡量采用數(shù)字顯示儀器代替指針式儀器。2.4

系統(tǒng)誤差的分析（續(xù)）

2.4.4

系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法

（1）零示法

①

廣泛用于阻抗測量、電壓測量、頻率測量及其他參數(shù)的測量中。②例：電位差計(jì)。（2）替代法①測量準(zhǔn)確度主要取決于標(biāo)準(zhǔn)已知量的準(zhǔn)確度及指示器靈敏度。②例：精密電阻電橋。

2.4

系統(tǒng)誤差的分析（續(xù)）

2.4.4

系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法

（3）補(bǔ)償法①常用于高頻阻抗、電壓、衰減量等測量中。②

例：諧振法測電容。（4）對照法在對稱的測量裝置中用來檢查其對稱性是否良好。從兩次測量結(jié)果的處理中，消弱或消除系差。例：對照法測電阻。2.4

系統(tǒng)誤差的分析（續(xù)）

2.4.4

系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法

（5）微差法①

允許標(biāo)準(zhǔn)量與被測量不完全抵消，而是相差一微小量。②

被測量相對誤差基本上等于標(biāo)準(zhǔn)量相對誤差。（6）交叉讀數(shù)法諧振頻率測量上述測試技術(shù)，主要用來消弱或消除恒定系差。2.4

系統(tǒng)誤差的分析（續(xù)）

2.4.5消除或消弱系統(tǒng)誤差的其他方法

利用修正值或修正因數(shù)加以消除隨機(jī)化處理智能儀器中系統(tǒng)誤差的消除①支流零值校準(zhǔn)②自動(dòng)校準(zhǔn)系統(tǒng)誤差可忽略不計(jì)的準(zhǔn)則是：

系統(tǒng)誤差或殘余系統(tǒng)誤差代數(shù)和的絕對值不超過測量結(jié)果擴(kuò)展不確定度的最后一位有效數(shù)字的一半。2.4.6測量結(jié)果的處理步驟

①對測量值進(jìn)行系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次列成表格；②求出算術(shù)平均值③列出殘差，并驗(yàn)證④按貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值⑤按萊特準(zhǔn)則，或格拉布斯準(zhǔn)則檢查和剔除粗大誤差；⑥判斷有無系統(tǒng)誤差。如有系統(tǒng)誤差，應(yīng)查明原因，修正或消除系統(tǒng)誤差后重新測量；⑦計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差；⑧寫出最后結(jié)果的表達(dá)式，即（單位）。2.4.6測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）【例】對某電壓進(jìn)行了16次等精度測量，測量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測量結(jié)果表達(dá)式。2.4.6測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）2.4.6測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）2.4.7系統(tǒng)誤差的合成問題：用間接法測量電阻消耗的功率時(shí)，需測量電阻R、端電壓V和電流I三個(gè)量中的兩個(gè)量，如何根據(jù)電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？2.4.7.1誤差的綜合2.4.7.1誤差的綜合（續(xù)）在實(shí)際應(yīng)用中，由于分項(xiàng)誤差符號不定而可同時(shí)取正負(fù)，有時(shí)就采用保守的辦法來估算誤差，即將式中各分項(xiàng)取絕對值后再相加該公式常用于在設(shè)計(jì)階段中對傳感器、儀器及系統(tǒng)等的誤差進(jìn)行分析和估算，以采取減少誤差的相應(yīng)措施。但是，更嚴(yán)格和更準(zhǔn)確地計(jì)算合成誤差的方法是測量不確定度理論中的合成不確定度評定。

1.和差函數(shù)的合成誤差設(shè)y=x1±x2y+Δy=(x1+Δx1)±(x2+Δx2)以上兩式相減得絕對誤差為

Δy=Δx1±Δx2(2.6-7)當(dāng)Δx1、Δx2符號不能確定時(shí)，同式(2.6-4)一樣的考慮，取Δy=±(|Δx1|+|Δx2|)(2.6-8)2.4.7.2常用函數(shù)的合成誤差相對誤差為(2.6-9)或者寫成：(2.6-10)對于和函數(shù)，由式(2.6-8)得(2.6-11)對于差函數(shù)，有(2.6-12)由式(2.6-12)可見，對于差函數(shù)，當(dāng)測量值x1、x2較接近時(shí)，可能造成較大的誤差。

2.積函數(shù)的合成誤差設(shè)y=x1·x2，由式(2.6-3)得絕對誤差為相對誤差為(2.6-13)若γx1、γx2都有正負(fù)號，則γy=±(|γx1|+|