相似三角形的判定(第3課時(shí))

相似三角形的判定延遠(yuǎn)中學(xué)劉彩云判定兩個(gè)三角形相似的方法:平行相似ABCDEEDBCA基本圖形復(fù)習(xí)(1)定義(2)相似三角形判定的基本定理判定三角形全等有哪些方法?類比三角形全等的判定方法,相似三角形的判定方法有哪些?全等三角形的判定方法相似三角形的判定方法全等三角形的判定方法

定義邊角邊公理角邊角公理角角邊定理邊邊邊公理斜邊、直角邊公理相似三角形的判定方法定義定理已知：如圖，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′.求證：△ABC∽△A′B′C′.證明:在△ABC的邊AB上，截取AD=A′B′.證明:在△ABC的邊AB上，截取AD=A′B′.過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，則有△ADE∽△ABC.證明:在△ABC的邊AB上，截取AD=A′B′.過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，則有△ADE∽△ABC.∵∠1=∠B，∠B=∠B′，證明:在△ABC的邊AB上，截取AD=A′B′.過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，則有△ADE∽△ABC.∵∠1=∠B，∠B=∠B′，∴∠1=∠B′.證明:在△ABC的邊AB上，截取AD=A′B′.過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，則有△ADE∽△ABC.∵∠1=∠B，∠B=∠B′，∴∠1=∠B′.又∠A=∠A′，AD=A′B′,證明:在△ABC的邊AB上，截取AD=A′B′.過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，則有△ADE∽△ABC.∵∠1=∠B，∠B=∠B′，∴∠1=∠B′.又∠A=∠A′，AD=A′B′,∴△ADE≌△A′B′C′.證明:在△ABC的邊AB上，截取AD=A′B′.過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，則有△ADE∽△ABC.∵∠1=∠B，∠B=∠B′，∴∠1=∠B′.又∠A=∠A′，AD=A′B′,∴△ADE≌△A′B′C′.∴△ABC∽△A′B′C′.如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似.判定定理3用推理的形式來(lái)表達(dá)：

在△ABC和△A′B′C′中，∵∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.(兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似)下面每組的兩個(gè)三角形是否相似？為什么？①①②③④70o50oABCFDEACBDEFBACDFE30o30o30o30o55o30o60o50o口答例1已知：△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°.求證：△ABC∽△DEF.例1已知：△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°.求證：△ABC∽△DEF.40°例1已知：△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°.求證：△ABC∽△DEF.40°80°例1已知：△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°.求證：△ABC∽△DEF.80°40°80°例1已知：△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°.求證：△ABC∽△DEF.80°60°40°80°例1已知：△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°.求證：△ABC∽△DEF.80°60°40°80°60°∴△ABC∽△DEF（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似）.80°60°40°80°60°證明：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，∴∠C=60°.∵在△DEF中，∠E=80°,∠F=60°，∴∠B=∠E，∠C=∠F.弦AB和CD相交于⊙o內(nèi)一點(diǎn)P,求證:PA·PB=PC·PDABCDPO證明:連接AC、BD∵∠A、∠D都是CB所對(duì)的圓周角⌒∴∠A=∠D同理:∠C=∠B∴△PAC∽△PDB即PA·PB=PC·PD例1把比例式轉(zhuǎn)化為等積式思考

(1)如果兩個(gè)等腰三角形有一對(duì)底角對(duì)應(yīng)相等那么它們是否一定相似?有一對(duì)頂角對(duì)應(yīng)相等呢?(2)有一個(gè)角等于300的兩個(gè)等腰三角形是否相似?等于1200呢?判斷正誤，并說明理由：任意等邊三角形是相似三角形；有一角對(duì)應(yīng)相等的兩等腰三角形是相似三角形；頂角對(duì)應(yīng)相等的兩等腰三角形是相似三角形；任意直角三角形都相似；有一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩直角三角形相似。X√√X√探究4已知：Rt△ABC和Rt△A1B1C1.求證：△ABC∽△A1B1C1.ABCA1B1C1思考：

對(duì)于兩個(gè)直角三角形，我們可以利用“HL”判定它們?nèi)?那么,滿足斜邊的比等于一組直角邊的比的兩個(gè)直角三角形相似嗎?證明:由勾股定理，得∴Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'.

如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。知識(shí)要點(diǎn)判定三角形相似的定理HLABC△ABC∽△A1B1C1.∵

∴A1B1C1在Rt△ABC和Rt△A1B1C1.斜邊直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似如何證明？如果用截取的方法證明.在△ABC的邊AB上截取A/D=AB行嗎？課本是如何證明的？你能理解嗎？要學(xué)會(huì)這個(gè)方法——比值法在Rt△ABC中，CD是斜邊上的高，試證明Rt△ABC∽R(shí)t△ACD∽R(shí)t△CBD.證明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，ABCD證明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,∴∠CDB=∠ACB=90°.ABCD證明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,∴∠CDB=∠ACB=90°.∵∠B=∠B，ABCD證明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,∴∠CDB=∠ACB=90°，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBD（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似）.ABCD證明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D,∴∠CDB=∠ACB=90°，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBD（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似）.同理△ABC∽△ACD.ABCD證明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D.∴∠CDB=∠ACB=90°，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBD（兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似）.同理△ABC∽△ACD.∴△ABC∽△CBD∽△ACD.ABCD例2

已知：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB

試圖中有幾對(duì)相似三角形.觀察CADB如圖Rt△ABC中，

CD是斜邊上的高。則△ABC∽△CBD∽△ACD直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。此結(jié)論可以稱為“母子相似定理”,今后可以直接使用.練習(xí)找出圖中所有的相似三角形．你會(huì)用語(yǔ)言描述該結(jié)論嗎？試試看證明

(1)、CD2=AD·BD(2)、AC2=AD·AB