控制測量學課件第13講

控制測量學第13講，授課人：李玉寶

8.4高斯投影坐標正反算公式將橢球面上元素投影到平面，涉及包括坐標、方向、長度三類值的數(shù)學歸算問題，本小節(jié)僅討論高斯投影中大地坐標和高斯平面坐標的相互換算問題。其中將經(jīng)度、緯度值（L、B）轉(zhuǎn)換為高斯平面坐標值（x、y）稱為高斯投影正算，反之則稱為高斯投影反算。8.4.1.高斯投影坐標正算高斯投影正算是滿足正形投影條件及下列兩個條件的投影方法：（1）中央子午線投影后為直線,這是對稱于中央子午線的圖形,投影后圖形仍對稱于X軸的基本條件;（2）中央子午線投影后長度不變。8.4.1.高斯投影坐標正算公式由于地球橢球是一旋轉(zhuǎn)橢球體，橢圓柱體與中央子午線相切，所以橢球面相對于橢圓柱體的空間位置在中央子午線兩側(cè)對稱，即在橢球體上對稱于中央子午線上的兩點，投影到高斯平面上后仍然對稱于中央子午線的投影。換言之，當B不變時，以－l代替l，x坐標不變，而y坐標絕對值不變而符號相反，即在公式：中，第一式是的偶函數(shù)，第二式是的奇函數(shù)。由于分帶投影，每帶內(nèi)對于中央子午線的經(jīng)差l是一小量，所以可將公式（8－41）展開為l的冪級數(shù)，形式為：8.4.1.高斯投影坐標正算公式式中mi是待定系數(shù)，但不是常系數(shù)，而是B（q）的函數(shù)。將(8-64)式分別對求q、l求偏導，并顧及柯西－黎曼條件（8－51）,就得到（8－65）式。(8-64)(8-65)8.4.1.高斯投影坐標正算公式要使（8－65）式等號兩邊相等，充分必要條件是l同次冪的系數(shù)相等。為此就有：（8－66）由（8－66）式可見，要求出投影具體表達式（8－64）中的系數(shù)，關(guān)鍵在于求出，為此就首先要求出m0的表達式。8.4.1.高斯投影坐標正算公式根據(jù)中央子午線投影后長度不變的條件知道當l=0時，x=m0=X，即中央子午線上某點的縱坐標就等于從赤道量至該點的子午線弧長。顧及dX=MdB、，于是得；按照（8－66）式逐次進行，求出m2、m3，...等待定系數(shù)，再代回（8－64），整理就得到了高斯投影坐標正算公式（8－73）。（8－68）高斯投影正算精密公式：0.001m8.4.1.高斯投影坐標正算公式式中：(8-73)中央子午線中央子午線和赤道交點一般子午線赤道8.4.1.高斯投影坐標正算公式根據(jù)公式（8－73）可以得出以下結(jié)論：平行圈8.4.2.高斯投影坐標反算公式由高斯平面投影到橢球面，相應的投影方程式為：

與高斯正算一樣，除正形投影條件外，對投影函數(shù)設(shè)置以下兩個條件：（1）x軸投影后成為中央子午線，也是投影的對稱軸。（2）x軸上的長度投影后保持不變。（8－74）8.4.2.高斯投影坐標反算公式由于采用分帶投影，投影區(qū)域不大，y值相對于橢球半徑而言是一小量，因而可以將大地坐標（q，l）展開成y的冪級數(shù)。由于是對稱投影，在此冪級數(shù)中，q必是y的偶函數(shù)；l必是y的奇函數(shù)。因此應有下列級數(shù)形式：

式中ni是待定系數(shù)，和高斯投影正算一樣，ni不是常系數(shù),而是x坐標的函數(shù)。(8-76)8.4.2.高斯投影坐標反算公式將(8-76)式分別對x和y求偏導數(shù)（ni是x的函數(shù)），同正算公式一樣，根據(jù)柯西－黎曼條件，并顧及根據(jù)等式兩端y同次冪系數(shù)相等，求得系數(shù)ni的表達式。8.4.2.高斯投影坐標反算公式根據(jù)條件：x軸上的長度投影后保持不變，利用特殊點（x,0)得：

（是底點緯度）8.4.2.高斯投影坐標反算公式依次求出系數(shù)ni

代入（8－76），并且以X代替x，并加注下標f表示系數(shù)是底點緯度的函數(shù)，得到高斯投影反算公式：（8－87）8.4.2.高斯投影坐標正反算公式的幾何解釋1.正算時已知（B，l）求（x，y），由于l不大，求x的公式可表示為：式中X是過點的平行圈在中央子午線上的交點到赤道的弧長。（圖8－14）8.4.2.高斯投影坐標正反算公式的幾何解釋2.反算時已知（x，y）求（B，l），分帶投影y不大，所以有：式中Bf

是圖（8－15）中p點在x軸上的垂足的緯度值，稱為底點緯度。(由圖可見，B小于Bf，所以式中取負號，教材圖中P點底點緯度Bf沒有加下標f)。f8.4.2.高斯投影坐標反算公式的幾何解釋由此可見，正算公式

可以看作是在中央子午線上點展開為l的冪級數(shù)，而反算公式

是在中央子午線上點

展開為y的冪級數(shù)。通過對正算公式（8－42）的分析，有下列結(jié)論：（1）l為常數(shù)時，隨著B增加，x加大，y減?。挥捎赾osB是偶函數(shù)，所以除中央子午線外，其余子午線投影后，均向中央子午線彎曲，并向兩極收斂，同時還以中央子午線和赤道為對稱軸。8.4.2.高斯投影坐標反算公式的幾何解釋（2）B為常數(shù)時，隨著l的增加，x和y值都增加。所以在橢球面上對稱于赤道的緯圈，投影后仍為對稱的曲線，并且與子午線投影曲線互相垂直，凹向兩極。（3）距中央子午線越遠的子午線，投影后彎曲越厲害，長度變形越大。8.5高斯投影坐標的實用公式及算例8.5.1、適于查表的高斯坐標計算實用公式及算例（略）8.5.2、適于電算的高斯坐標計算實用公式及算例1、正算：克氏橢球參數(shù)公式是（8－100），國際橢球參數(shù)公式是（8－102）。2、反算：克氏橢球參數(shù)公式是（8－105），國際橢球參數(shù)公式是（8－106）。（8－100）和（8－105）均是代入具體橢球參數(shù)的公式。現(xiàn)在計算可以采用不涉及具體橢球參數(shù)的正反算公式，如前面介紹過的（8－73）和（8－87），在計算其中的N、η參數(shù)時，再代入采用的橢球參數(shù)。8.6平面子午線收斂角公式三四等及其以下等級平面控制網(wǎng)不在橢球面上計算,而是將觀測值和大地方位角投影到高斯平面上,在高斯平面上完成平差計算.將橢球面上的大地方位角轉(zhuǎn)換為高斯平面上的坐標方位角需要計算子午線收斂角。更常見的做法將橢球面上控制點（B.L)投影到高斯平面上，按平面坐標反算坐標方位角。但是如果遇到起算點是一個已知大地點，一個已知大地方位角，除了要將已知點投影到高斯平面上，還要通過計算子午線收斂角γ和方向改正值δ（后一小節(jié)介紹），按下式將大地方位角轉(zhuǎn)換為坐標方位角：8.6平面子午線收斂角公式8.6.1平面子午線收斂角的定義平行圈子午線如圖8－17所示，過p點的子午線在高斯平面上的投影與坐標北方向之間的夾角，就是子午線收斂角，通常用γ表示。根據(jù)正形投影的特性，也等于平行圈在高斯平面上投影與橫軸y的夾角。圖8－17p8.6平面子午線收斂角公式8.6.2公式推導平面子午線收斂角是坐標的函數(shù)，所以既可由大地坐標（L，B）計算，也可由平面坐標（x，y）計算，下面分別求其計算公式。1.由大地坐標計算的公式：根據(jù)（圖8－17）及一階導數(shù)的幾何意義可以寫出：而在平行圈上B＝常數(shù)，于是對求全微分有：（8－108）8.6平面子午線收斂角公式根據(jù)高斯投影正算公式（8－73）求得和的具體表達式，代回（8－108）后經(jīng)整理，最終得到根據(jù)大地坐標計算子午線收斂角的公式（8－112）。根據(jù)公式（8－112），可以得到如下結(jié)論：①.γ是l的奇函數(shù)，而且l越大，γ越大（因為l越大，大地方位角的基準線－經(jīng)線投影描寫形越彎曲，與中央子午線夾角越大）。②.γ有正負，當點p在中央子午線以東時為正，反之為負。③.當l不變時，γ隨緯度增大而增大（因為經(jīng)線向兩極收斂，緯度加大，收斂角加大）。8.6平面子午線收斂角公式2.由平面坐標x，y計算平面子午線收斂角的公式利用高斯投影反算公式（8－87）中以平面坐標表達l的關(guān)系式，并導出以底點緯度表達sinB、cosB的函數(shù)式，代入大地坐標計算子午線收斂角的公式（8－112），就得到平面坐標x，y計算平面子午線收斂角的公式（8－114）。8.6平面子午線收斂角公式以Bf表示sinB的方法是:將(8-103)式中（Bf-B）的表達式代入只取主項,并顧及

,就得:同理:8.6平面子午線收斂角公式將l和cosB,sinB的表達式代入（8－112）式，就得到以平面坐表示的子午線收斂角計算公式（8－114）。應用公式(8-114)一般是將坐標方位角換算為大地方位角,計算時要根據(jù)x坐標計算底點緯度Bf,然后結(jié)合橢球參數(shù)計算N、M、t、η等參數(shù)，才能計算γ。所以若是用于將大地方位角轉(zhuǎn)換為坐標方位角，還是公式（8－108）更方便些。8.6.3實用公式及其算例分電算和查表計算兩類，查表計算現(xiàn)在已經(jīng)很少應用了，電算公式和上一小節(jié)介紹的公式，就編程來說也沒有什么特別之處。（8－114）8.7方向改化公式大地線投影到平面后是一曲線，為利用平面公式平差計算，要用兩點間連線代替曲線，為此引起的方向值變化就稱為“方向改化”。8.7.1、方向改化近似公式的推導圖8－18如圖（8－18），假設(shè)地球為一圓球，在球面中央子午線東側(cè)有一大地線A、B，它在高斯平面上的投影是a、b。過點A、B，在球面上分別作兩個大圓弧與中央子午線正交于D、E，弧線在投影面上投影分別是ad和be。8.7方向改化公式可以證明，ad、be都是垂直于軸的直線。大圓弧是過球心的平面與球面所截得弧線，垂直于中央子午線的大圓弧，并不是平行圈，大圓弧上點緯度不相等.圖8－188.7.1、方向改化近似公式的推導球面四邊形A、B、E、D投影到高斯平面后，除描寫形ab是曲線外都是直線。高斯投影是等角投影，所以球面上和平面上兩個四邊形內(nèi)角和應相等，設(shè)方向改正分別為和，則有等式，從中可得：。式中ε是球面角超，計算公式為。8.7.1、方向改化近似公式的推導球面角超是球面多邊形內(nèi)角和大于對應平面直線邊多邊形內(nèi)角和的數(shù)值，式中p是球面多邊形面積。實際上由于ε是一個小量，因此對p的計算精度要求不高，可以用平面投影圖形面積代替，因而最后得到方向改化計算公式：（8－139）（8－139）計算精度達0.1秒，可用于三四等三角導線測量改正。計算用到的平面坐標，可采用近似坐標。

8.7方向改化公式方向改化的量級可見92頁表8－5。由表可見，兩點距離較近或者兩點距中央子午線較近時，改化值數(shù)值很小。8.7.2方向改化較精密公式的推導精密公式精確到0.01－0.001秒,用于一二等三角、導線測量方向值改化。在工程測量中一般邊長較短，或者采用獨立中央子午線ym值很小，所以大多數(shù)情況向不需要做方向改化，即使要也只需要用近似公式計算即可。

8.8距離改化公式將橢球面上兩點間大地線長S改化為高斯平面上投影點間的直線長度D，需要加改正數(shù)⊿s，計算⊿s的公式就是距離改化公式。8.7.1.s與D的關(guān)系本節(jié)討論S投影后曲線s與直線的關(guān)系。根據(jù)圖8－22，可知兩者間微分關(guān)系式為：，因此：。式中v是一小角，最大不會超過方向改化δ，將cosv展開為級數(shù)，取至2次項代入積分式，并以最大值δ代替v，就得（8－148）式。圖8－228.7.1.s與D的關(guān)系按最不利的條件δ＝40″，s=50km估算，可以得出結(jié)論：D、s之差不會超過1mm，所以大多數(shù)情況下，橢球面邊長投影到高斯平面上時，可完全不顧及以弦線代替弧線的引起的距離差別。距離改化⊿s事實上就是大地線S投影到高斯平面上變?yōu)榍€s的改正量。(8-148)8.8距離改化公式8.8.2、長度比和長度變形高斯投影的長度比一般大于1（中央子午線上等于1），因此（m-1）是等于或大于0的值，稱為長度變形。高斯投影屬于正形投影，投影比只與位置有關(guān)，而與方向無關(guān)，所以m應是位置的函數(shù)。1、以大地坐標表示長度比m的公式由長度比定義式第2式(8-53),得到:(8-149)8.8.2、長度比和長度變形由高斯投影正算公式(8-73)對l求偏導，代入（8－149）式，并整理就得到大地坐標表示的公式：8.8.2、長度比和長度變形2.以高斯平面坐標表示長度比m的公式僅取高斯投影正算公式（8－73）式中第二式的主項，得到

,代入（8－151），顧及到,就得到以高斯平面坐標表示的投影比公式(8-156)(8-151)8.8距離改化公式幾點結(jié)論：（1）、長度比是y坐標的函數(shù)。（2）、中央子午線、縱坐標軸上長度比為1。（3）、除滿足條件（2）的情況外，橢球面上弧長投影到高斯平面上后長度加大。（4）、離中央子午線越長，投影后變長越多。99頁表8－7列出了不同的緯度和ym值，長度比的值，從中可以了解長度變形的具體量值。（8－156）8.8距離改化公式8.8.3.距離改化公式由于投影比是坐標的函數(shù)，理論上1條邊中的各微分弧段的投影比是不同的。但對于距離不長的一條邊而言，m在線段上變化很微小。若以D/S代替ds/dS，以端點坐標平均值ym代替y,直接可得到：工程測量距離較短，此公式已有足夠的精度。(8-160)8.8.3.距離改化公式若要采用精確到0.001米的公式，則整個大地線弧段S上，投影比m不能視為常數(shù)，投影后曲線長度（可視為直線D）：經(jīng)過變化整理，就達到精確到0.001米的改化公式：（8－164）8.9高斯投影坐標的鄰帶換算由于為了限制長度及面積變形，高斯投影采用分帶投影，較大的投影區(qū)域被分割成多個不同原點和坐標軸的坐標系統(tǒng)。當需要同時使用屬于不同投影帶的已知點坐標時，就需要進行高斯投影的鄰帶換算，將某一帶的坐標改算到另一帶，或者將分屬兩帶的已知點坐標同時改算為一個以新中央子午線為縱軸的坐標系統(tǒng)。換代計算是分帶投影帶來的必然結(jié)果.也是測繪生產(chǎn)實踐中常遇到的問題,是測繪專業(yè)技術(shù)人員必須熟練掌握的專業(yè)基礎(chǔ).8.9高斯投影坐標的鄰帶換算8.8.1應用應用高斯正反算投影公式間接進行換代計算這種方法是以大地坐標為過渡坐標，按下列程序進行：這種方法利用電算程序進行，理論嚴密、方便快捷，并且可以取任意經(jīng)度值為中央子午線值，是目前普遍采用的方法。在應用高斯反算公式時,要注意y坐標必須是去掉帶號和500公里常數(shù)的坐標值。有些成果資料可能省略了坐標前幾位的大數(shù)，工程坐標系統(tǒng)加常數(shù)不一定是500公里，或者采用任意中央子午線，如果這些數(shù)值都不清楚，會給換帶計算帶來困難。8.8.2.應用換帶表進行換帶計算在當前普遍使用計算機程序計算的背景下，已經(jīng)較少使用.8.10通用橫軸墨卡托投影及高斯－克呂格投影簇概念8.10.1、通用橫軸墨卡托投影概念這種投影方法與高斯投影類似，差別在于中央子午線上投影比m≠1，而是等于0.9996，,即通用橫軸墨卡托投影m0=0.9996X

，正算公式各系數(shù)均由此導出，所以對比高斯投影和通用橫軸墨卡托投影公式就知道，通用橫軸墨卡托投影式(8-200)就是高斯投影式(8-73)等號右邊通乘了0.9996而已。由于中央子午線上投影比小于1，而同高斯投影一樣，隨著離中央子午線距離加大，投影后距離變長，所以中央子午線兩側(cè)必各有一條線上長度變形為0，這條線稱做割線。作為分界線，兩條割線以內(nèi)變形為負，割線以外變形為正。通用橫軸墨卡托投影直角坐標和高斯投影相同,并且和高斯投影坐標有簡單的換算關(guān)系8.10通用橫軸墨卡托投影及高斯－克呂格投影簇概念8.10.2、高斯投影簇的概念將高斯投影中央子午線上的長度比不再設(shè)為1,而是表示為緯度B函數(shù)m=f(B)，則隨著函數(shù)值的不同，投影取得多種形式。由于其基本方法與高斯投影類似，所以稱之為高斯投影簇。高斯投影簇公式推導與高斯投影公式推導相同，只是長度比在中央子午線上改為，代入的具體表達式，即得到相應的投影公式（正算，反算公式推導類似）。8.10通用橫軸墨卡托投影及高斯－克呂格投影簇概念8.10.2、高斯投影簇的概念假如設(shè)中央子午線上投影比，其中q,k是常系數(shù)，即推導投影公式時,.那么當q=0時，投影就是高斯投影；設(shè)q=0.0004，k=0，投影就是通用橫軸墨卡托投影。由此可見，取不同的q，k值，可確定不同的投影方案，在高斯投影簇中包含無窮多種投影方法。8.11蘭勃脫投影概述蘭勃脫投影是正形、正軸、圓錐投影，圓錐軸與旋轉(zhuǎn)軸一致，圓錐面與橢球的一條緯線相切。蘭勃脫投影變形與經(jīng)度無關(guān)，而與緯度有關(guān)，所以這是一種適合南北狹窄、東西延伸的國家或地區(qū)使用的投影方法，是我國解放前采用的投影方法。蘭勃脫投影變形隨緯差（與相切緯線－標準緯線的緯度差）增大而迅速增加。為控制變形，蘭勃脫投影采用按緯度分帶。8.12工程測量投影面與投影帶選擇的概念8.12.1.工程測量中投影面與投影帶選擇的基本出發(fā)點1、歸算、投影變形的基本概念投影面與投影帶的選擇，主要是解決長度變形的問題。而長度變形發(fā)生在歸算和投影過程中。（1）實測邊長歸算到橢球面的變形：8.12工程測量投影面與投影帶選擇的概念設(shè)長度歸算變形為△s1

，將長度歸算公式只取一次項可得：，相對變形。式中R是歸算方向法截弧曲率半徑，Hm是歸算邊兩端平均大地高。由于Hm值相對于R較小，R可直接取概值6370km。另外從公式中可見歸算變形使距離縮短，縮短量與Hm成正比，若不同邊間高差相對平均高程較小，則各邊歸算變形是近似成比例的，這是綜合控制歸算投影變形的基礎(chǔ)。設(shè)橢球面邊長為S0,則8.12.1.工程測量中投影面與投影帶選擇的基本出發(fā)點（2）將橢球面上邊長投影到高斯平面上的變形：設(shè)長度變形量為△S2

，則從中可見，除ym=0即中央子午線上外，變形值△S2恒為正，就是長度在投影后變長，并且離子午線越遠，變形越大。投影變形與ym的平方成正比，各投影變變形不成比例。但若投影區(qū)域很小，東西兩端y坐標差相對于投影區(qū)域平距y坐標是一個小量的話，投影變形同樣是近似成比例的，這也是綜合控制歸算投影變形的基礎(chǔ)。8.12.1.工程測量中投影面與投影帶選擇的基本出發(fā)點2、有關(guān)工程測量平面控制網(wǎng)的精度要求的概念工程測量為滿足施工測量的精度，要求實地測量的水平邊長應與坐標反算的邊長盡可能相等。一般的說，歸算、投影變形引起的長度變形應小于施工放樣容許誤差的2分之1，若取長度放樣相對誤差為1／5000－1／20000，則歸算、投影變形引起的相對誤差應為1／1000－1／40000，即歸算、投影每公里長度改正數(shù)不能大于1.0cm-2.5cm。8.12.1.工程測量中投影面與投影帶選擇的基本出發(fā)點3、工程測量投影面和投影帶選擇的基本出發(fā)點：（1）、當歸算、投影變形能滿足工程測量的精度要求時，工程控制網(wǎng)應采用國家統(tǒng)一的基準面和投影中央子午線。（2）、當采用國家大地網(wǎng)的橢球面和投影帶不能滿足工程測量精度要求時，可選用獨立歸算面和任意經(jīng)線作為中央子午線。主要的做法有以下3種：3、工程測量投影面和投影帶選擇的基本出發(fā)點：（a）、通過改變Hm，即取代替Hm，使式△S1＋△S2≈0。即通過歸算變形△S1抵償投影變形△S2。式