電磁場(chǎng)預(yù)備知識(shí)

標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng)的梯度矢量場(chǎng)的通量與散度矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度無(wú)源場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)第0章矢量分析下頁(yè)返回VectorAnalysis電磁場(chǎng)的特殊形式微分算子及矢量運(yùn)算亥姆霍茲定理0.1.1

場(chǎng)的概念如果在空間的某區(qū)域中，每一點(diǎn)都存在一個(gè)確定的物理量，我們就說(shuō)，此區(qū)域中存在由此物理量構(gòu)成的場(chǎng)，此物理量稱(chēng)為場(chǎng)量，該區(qū)域稱(chēng)為場(chǎng)域。如果這個(gè)物理量是標(biāo)量，稱(chēng)為標(biāo)量場(chǎng)；若為矢量，稱(chēng)為矢量場(chǎng)。按場(chǎng)中物理量是否隨時(shí)間變化，又可分為靜態(tài)場(chǎng)（恒定場(chǎng)）和時(shí)變場(chǎng)（動(dòng)態(tài)場(chǎng)）。0.1

標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)ScalarFieldandVectorField下頁(yè)上頁(yè)返回0.1.2

場(chǎng)的描述表示場(chǎng)量空間和時(shí)間分布特性的函數(shù)稱(chēng)為場(chǎng)函數(shù)。記為或。例如，在直角坐標(biāo)下：標(biāo)量場(chǎng)矢量場(chǎng)如溫度場(chǎng)、電位場(chǎng)、高度場(chǎng)等；如流速場(chǎng)、電場(chǎng)、渦流場(chǎng)等。下頁(yè)上頁(yè)返回其方程為:圖0.1.1等高線(xiàn)

標(biāo)量場(chǎng)--等值線(xiàn)(面)形象描繪場(chǎng)分布的工具—場(chǎng)線(xiàn)（圖）思考在某一高度上沿什么方向高度變化最快？下頁(yè)上頁(yè)返回三維場(chǎng)二維場(chǎng)圖0.1.2矢量線(xiàn)矢量場(chǎng)--矢量線(xiàn)其方程為：在直角坐標(biāo)下：下頁(yè)上頁(yè)返回0.2標(biāo)量場(chǎng)的梯度

GradientofScalarField研究一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)，不僅要掌握物理量在空間的分布情況，更為重要的是要知道它的變化規(guī)律以及與其它物理量之間的相互關(guān)系。本節(jié)將介紹標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度。0.2.1

方向?qū)?shù)標(biāo)量場(chǎng)的分布情況，可借助于等值面或等值線(xiàn)來(lái)了解，但這只能大致地了解標(biāo)量場(chǎng)的整體分布情況。而要詳細(xì)地研究標(biāo)量場(chǎng)，還必須對(duì)它作局部性的下頁(yè)上頁(yè)返回了解，即要考察物理量在場(chǎng)中各點(diǎn)處的鄰域內(nèi)沿每一方向的變化情況。為此，引入方向?qū)?shù)的概念。數(shù)學(xué)上，標(biāo)量函數(shù)(P)從點(diǎn)P0沿路徑l

變到點(diǎn)

P

的變化率稱(chēng)為方向?qū)?shù)，記作，即

式中,,分別是任一方向與x,y,z軸的夾角,l

方向的單位矢量可以表示為下頁(yè)上頁(yè)返回0.2.2

梯度方向?qū)?shù)解決了標(biāo)量場(chǎng)中(P)在給定點(diǎn)處沿某一方向l

的變化率問(wèn)題。但是，函數(shù)(P)從給定點(diǎn)出發(fā)有無(wú)窮多個(gè)變化方向，其中哪個(gè)方向的變化率最大？最大變化率是多少？以下從方向?qū)?shù)的計(jì)算公式出發(fā)來(lái)討論此問(wèn)題。設(shè)下頁(yè)上頁(yè)返回則有：上式表明：l與g

方向一致時(shí),方向?qū)?shù)取最大值,增加得最快；l與g

方向相反時(shí),方向?qū)?shù)取最小值,減小得最快；l

與g

方向垂直時(shí),方向?qū)?shù)為0。定義矢量函數(shù)g為標(biāo)量場(chǎng)的梯度，記作grad。在直角坐標(biāo)系中，下頁(yè)上頁(yè)返回——梯度(gradient)——哈密頓算子式中圖0.1.3等溫線(xiàn)分布梯度的方向?yàn)樵擖c(diǎn)最大方向?qū)?shù)的方向。梯度的大小為該點(diǎn)標(biāo)量函數(shù)的最大變化率，即最大方向?qū)?shù)。標(biāo)量場(chǎng)的梯度是一個(gè)矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。梯度的意義下頁(yè)上頁(yè)返回例0.2.1

三維高度場(chǎng)的梯度圖0.2.1三維高度場(chǎng)的梯度高度場(chǎng)的梯度與過(guò)該點(diǎn)的等高線(xiàn)垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)位移的最大變化率；指向地勢(shì)升高的方向。下頁(yè)上頁(yè)返回例0.2.2

電位場(chǎng)的梯度圖0.2.2電位場(chǎng)的梯度電位場(chǎng)的梯度與過(guò)該點(diǎn)的等位線(xiàn)垂直；數(shù)值等于該點(diǎn)的最大方向?qū)?shù)；指向電位增加的方向。下頁(yè)上頁(yè)返回0.3矢量場(chǎng)的通量與散度0.3.1通量(Flux)1.面元矢量一個(gè)曲面有兩側(cè)，對(duì)于非閉合曲面（開(kāi)曲面），可以規(guī)定其中一側(cè)為正側(cè)；對(duì)于閉合曲面，則是規(guī)定其外側(cè)為正側(cè)。規(guī)定了正側(cè)的曲面為有向曲面。稱(chēng)為面元矢量。FluxandDivergenceofVectorField下頁(yè)上頁(yè)返回2.通量

矢量E沿有向曲面S的面積分若S

為閉合曲面根據(jù)通量的大小判斷閉合面中源的性質(zhì)：

>0

(有正源)

=0(無(wú)源)圖0.3.2矢量場(chǎng)通量的性質(zhì)

下頁(yè)上頁(yè)返回圖0.3.1矢量場(chǎng)的通量

稱(chēng)為穿過(guò)的通量

<0(有負(fù)源)0.3.2散度(Divergence)根據(jù)穿出閉合面的通量的正負(fù)，可判斷出該曲面內(nèi)有正源或負(fù)源，但源在S

內(nèi)的分布情況和強(qiáng)弱卻是通量無(wú)法說(shuō)明的。為此，引入矢量場(chǎng)的散度。1.定義

如果包圍點(diǎn)P的閉合面S

所圍區(qū)域V

以任意方式縮小到點(diǎn)P時(shí)：下頁(yè)上頁(yè)返回

矢量場(chǎng)A的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，它表示在場(chǎng)中任一點(diǎn)處，通過(guò)包圍該點(diǎn)的單位體積的表面的通量，故該散度可稱(chēng)為通量源密度，它是該點(diǎn)處的通量源強(qiáng)度的量度。散度的絕對(duì)值表示該點(diǎn)處源的體密度的大小，若divA>0,則該點(diǎn)有發(fā)出通量線(xiàn)的正源，若divA<0,則該點(diǎn)有發(fā)出通量線(xiàn)的負(fù)源，若divA=0,則該點(diǎn)無(wú)源。如下圖所示。

下頁(yè)上頁(yè)返回

2.表達(dá)式

根據(jù)散度的定義，divA描述的是一點(diǎn)的值，與體積元V形狀無(wú)關(guān)，在取零極限時(shí)，所有尺寸都趨于零，在推導(dǎo)散度的表達(dá)式時(shí)，采用直角坐標(biāo)系，體積元取平行六面體元，可得：———散度(divergence)下頁(yè)上頁(yè)返回3.散度的意義在矢量場(chǎng)中，若?

A=0，稱(chēng)之為有源場(chǎng)，稱(chēng)為(通量)源密度；若矢量場(chǎng)中處處?A=0

，稱(chēng)之為無(wú)源場(chǎng)。矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；散度代表矢量場(chǎng)的通量源的分布特性。

(無(wú)源）

(正源)

(負(fù)源)圖0.3.3通量的物理意義

下頁(yè)上頁(yè)返回0.3.3散度定理(DivergenceTheorem)圖0.3.4散度定理通量元密度——高斯公式矢量函數(shù)的面積分與體積分的相互轉(zhuǎn)換。下頁(yè)上頁(yè)返回0.4

矢量場(chǎng)的環(huán)量與旋度0.4.1環(huán)量(Circulation)矢量A

沿空間有向閉合曲線(xiàn)L的線(xiàn)積分——環(huán)量環(huán)量的大小與閉合路徑L及沿L的積分正方向（通常為逆時(shí)針）有關(guān)，它表示繞環(huán)線(xiàn)旋轉(zhuǎn)趨勢(shì)的大小。CirculationandRotationofVectorField下頁(yè)上頁(yè)返回圖0.4.1環(huán)量的計(jì)算矢量場(chǎng)的環(huán)量與通量一樣，是描述矢量場(chǎng)特性的重要積分量。我們已知，若矢量場(chǎng)通過(guò)閉合曲面的通量不為零，表示該閉合面內(nèi)存在通量源。而如果矢量場(chǎng)沿某閉合曲線(xiàn)的環(huán)量不為零，則此矢量場(chǎng)中必有產(chǎn)生場(chǎng)的旋渦源。下頁(yè)上頁(yè)返回水流沿平行于水管軸線(xiàn)方向流動(dòng)，=0，無(wú)渦旋運(yùn)動(dòng)。例：流速場(chǎng)圖0.4.2

流速場(chǎng)流體做渦旋運(yùn)動(dòng)，0，有產(chǎn)生渦旋的源。下頁(yè)上頁(yè)返回0.4.2旋度(Rotation)1.環(huán)量密度過(guò)點(diǎn)P作一微小曲面S，它的邊界曲線(xiàn)記為L(zhǎng)，面的法線(xiàn)方向與曲線(xiàn)繞向符合右手定則。當(dāng)S

點(diǎn)P

時(shí)，存在極限——環(huán)量密度環(huán)量密度是單位面積上的環(huán)量。下頁(yè)上頁(yè)返回矢量場(chǎng)的環(huán)量是一個(gè)積分量，它不能說(shuō)明矢量場(chǎng)中的旋渦源在每點(diǎn)上的大小和方向。為此，我們先引入矢量場(chǎng)在任一點(diǎn)處的某方向上的環(huán)量面密度的概念，再討論矢量場(chǎng)的旋度。2.旋度旋度是一個(gè)矢量，其大小等于環(huán)量密度的最大值；其方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向——旋度(curl)－S

的法線(xiàn)方向它與環(huán)量密度的關(guān)系為在直角坐標(biāo)下:下頁(yè)上頁(yè)返回3.旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)。某點(diǎn)旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)量密度的最大值，其方向是最大環(huán)量密度的方向。在矢量場(chǎng)中，若A=J0

稱(chēng)之為旋度場(chǎng)（或渦旋場(chǎng)），J

稱(chēng)為旋度源（或渦旋源）。若矢量場(chǎng)處處A=0，稱(chēng)之為無(wú)旋場(chǎng)。下頁(yè)上頁(yè)返回4.斯托克斯定理(Stockes’Theorem)矢量函數(shù)的線(xiàn)積分與面積分的相互轉(zhuǎn)化。圖0.4.3斯托克斯定理——斯托克斯定理下頁(yè)上頁(yè)在電磁場(chǎng)理論中，高斯定理和斯托克斯定理是兩個(gè)非常重要的公式。返回

0.5

無(wú)散場(chǎng)與無(wú)旋場(chǎng)SolenoidalFieldandIrrotational(Conservative)Field下頁(yè)上頁(yè)返回

任何一個(gè)場(chǎng)必然有源來(lái)激發(fā)它，場(chǎng)和源是同時(shí)存在的。矢量場(chǎng)的散度對(duì)應(yīng)著一種源，稱(chēng)為通量源；矢量場(chǎng)的旋度對(duì)應(yīng)著另一種源，稱(chēng)為旋渦源。0.5.1無(wú)散場(chǎng)（必有旋）

設(shè)有矢量場(chǎng)A,如果在場(chǎng)域中每一點(diǎn)處恒有：，A稱(chēng)為無(wú)散場(chǎng)。無(wú)散場(chǎng)具有兩個(gè)重要性質(zhì)。性質(zhì)1

下頁(yè)上頁(yè)返回性質(zhì)2數(shù)學(xué)上有恒等式可令,稱(chēng)為的矢勢(shì)。0.5.2無(wú)旋場(chǎng)（必有散）

設(shè)有矢量場(chǎng)A,如果在場(chǎng)域中每一點(diǎn)處恒有：

A稱(chēng)為無(wú)旋場(chǎng)。無(wú)旋場(chǎng)具有兩個(gè)重要性質(zhì)。性質(zhì)1性質(zhì)2數(shù)學(xué)上有恒等式可令,稱(chēng)為的標(biāo)勢(shì)。

下頁(yè)上頁(yè)返回0.5.3調(diào)和場(chǎng)

設(shè)有矢量場(chǎng)A,如果在場(chǎng)域中每一點(diǎn)處恒有：

A稱(chēng)為調(diào)和場(chǎng)。

0.6

亥姆霍茲定理0.6.1

亥姆霍茲定理內(nèi)容在有限區(qū)域內(nèi)，矢量場(chǎng)由它的散度、旋度及邊界條件惟一地確定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場(chǎng)域邊界條件（矢量A惟一地確定）電荷密度電流密度J場(chǎng)域邊界條件在電磁場(chǎng)中HymherzeTheorem下頁(yè)上頁(yè)返回

0.6.2

場(chǎng)方程

矢量場(chǎng)A的場(chǎng)方程決定了場(chǎng)的性質(zhì)，為：

亥姆霍茲定理是研究電磁場(chǎng)理論的一條主線(xiàn)。無(wú)論是靜態(tài)場(chǎng)還是時(shí)變場(chǎng)，都是圍繞著它們的旋度、散度和邊界條件展開(kāi)理論分析的。

下頁(yè)上頁(yè)返回例0.6.1

試判斷下列各圖中矢量場(chǎng)的性質(zhì)。000000下頁(yè)上頁(yè)返回0.7

特殊形式的電磁場(chǎng)如果在經(jīng)過(guò)某一軸線(xiàn)(設(shè)為z

軸）的一族平行平面上，場(chǎng)F

的分布都相同，即F=f（x,y），則稱(chēng)這個(gè)場(chǎng)為平行平面場(chǎng)。1.平行平面場(chǎng)SpecialFormsofElectromagneticField如無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)產(chǎn)生的電場(chǎng)。下頁(yè)上頁(yè)返回0如果在經(jīng)過(guò)某一軸線(xiàn)(設(shè)為z

軸)的一族子午面上，場(chǎng)F

的分布都相同，即F=f（r,），則稱(chēng)這個(gè)場(chǎng)為軸對(duì)稱(chēng)場(chǎng)。2.軸對(duì)稱(chēng)場(chǎng)如螺線(xiàn)管線(xiàn)圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)；有限長(zhǎng)直帶電導(dǎo)線(xiàn)產(chǎn)生的電場(chǎng)。下頁(yè)上頁(yè)返回3.球面對(duì)稱(chēng)場(chǎng)如果在一族同心球面上（設(shè)球心在原點(diǎn)），場(chǎng)F

的分布都相同，即F=f（r），則稱(chēng)這個(gè)場(chǎng)為球面對(duì)稱(chēng)場(chǎng)。如點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)；帶電球體產(chǎn)生的電場(chǎng)。上頁(yè)0返回

0.8

微分算子及矢量運(yùn)算DifferentialOperatorandVectorOperation

0.8.1

微分算子在直角坐標(biāo)系中，哈密頓算子梯度散度下頁(yè)上頁(yè)返回

下頁(yè)上頁(yè)返回旋度拉普拉斯算子