理論力學(xué) 第12章 達(dá)朗貝爾原理

第12章達(dá)朗貝爾原理返回總目錄TheoreticalMechanics第三篇?jiǎng)恿W(xué)制作與設(shè)計(jì)賈啟芬劉習(xí)軍

目錄TheoreticalMechanics12.1主要內(nèi)容12.2基本要求12.3重點(diǎn)討論12.4例題分析12.5典型習(xí)題返回首頁

第12章達(dá)朗貝爾原理

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第12章達(dá)朗貝爾原理

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第12章達(dá)朗貝爾原理

12.1.1質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理設(shè)一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M，在主動(dòng)力F、約束力FN的作用下運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律ma=F+FN

移項(xiàng)后整理得F＋FN＋FI=0其中FI

=–ma稱為慣性力，它可表述為：質(zhì)點(diǎn)在作非慣性運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，對(duì)于施力于它的物體會(huì)作用一個(gè)慣性力，這個(gè)力的方向與其加速度的方向相反，大小等于其質(zhì)量與加速度的乘積。此式表明：在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，如果在其質(zhì)點(diǎn)上假想地加上一慣性力FI

，則此慣性力與主動(dòng)力、約束力在形式上組成一平衡力系。這就是質(zhì)點(diǎn)的達(dá)朗貝爾原理。

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第12章達(dá)朗貝爾原理

12.1.2質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理設(shè)某質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成。如果在某質(zhì)點(diǎn)mi上假想地加上一慣性力FIi＝–miai

則對(duì)于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系來說，在運(yùn)動(dòng)的任意瞬時(shí)，虛加于質(zhì)點(diǎn)系上各質(zhì)點(diǎn)的慣性力與作用于該系上的主動(dòng)力、約束力將組成一平衡力系，即

這就是質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理。

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第12章達(dá)朗貝爾原理

12.1.3剛體慣性力系的簡化

（１）剛體平移平移剛體的慣性力系可簡化為一合力FI=–maC

它的作用線通過剛體的質(zhì)心，方向與平移加速度的方向相反，大小等于剛體質(zhì)量與加速度的乘積。（２）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

慣性力系簡化的主矢為繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的慣性力系向轉(zhuǎn)軸上任意點(diǎn)O簡化時(shí)，慣性力主矢、主矩由上式計(jì)算。但應(yīng)注意，慣性力系的簡化結(jié)果，主矢和主矩必須作用在同一個(gè)簡化中心上。

慣性力系對(duì)簡化中心O的主矩為

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第12章達(dá)朗貝爾原理（３）平面運(yùn)動(dòng)

隨同質(zhì)心平移而虛加的慣性力系將合成為一合力FI，合力作用線通過質(zhì)心，方向與aC的方向相反，大小等于剛體的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，即FI＝–MaC

主矩為一慣性力偶矩，且作用于質(zhì)心C處，它的轉(zhuǎn)向與角加速度的轉(zhuǎn)向相反，大小等于角加速度與剛體對(duì)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的乘積，即MIC=–IC

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第12章達(dá)朗貝爾原理根據(jù)達(dá)朗貝爾原理求解可知，軸承動(dòng)約束力由兩部分組成：一是由主動(dòng)力引起的，與運(yùn)動(dòng)無關(guān)，為靜約束力；二是由慣性力主矢、主矩引起的，為附加動(dòng)約束力。若xC＝y(tǒng)C＝0，Ixz＝Iyz＝0，則軸承動(dòng)約束力為零。所以，為了消除軸承的附加動(dòng)約束力，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的轉(zhuǎn)軸必須是中心慣性主軸。

12.1.4定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承動(dòng)約束力設(shè)剛體上的慣性力系向O點(diǎn)簡化的主矢和主矩為

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第12章達(dá)朗貝爾原理

12.1.5靜平衡和動(dòng)平衡簡介

（１）靜平衡

當(dāng)剛體的質(zhì)心在轉(zhuǎn)軸上時(shí)，稱剛體為靜平衡。（２）剛性轉(zhuǎn)子動(dòng)平衡

當(dāng)剛體的質(zhì)心在轉(zhuǎn)軸上，且作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，軸承處的附加動(dòng)反力等于零時(shí)稱為動(dòng)平衡。動(dòng)平衡的剛體必然是靜平衡，但靜平衡的剛體不一定是動(dòng)平衡。

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第12章達(dá)朗貝爾原理

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第12章達(dá)朗貝爾原理12.2基本要求

１.對(duì)慣性力的概念有清晰的理解。

２.熟練掌握質(zhì)點(diǎn)系慣性力簡化的方法，能正確地計(jì)算平移、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和平面運(yùn)動(dòng)剛體的慣性力主矢和主矩。

３.能熟練地應(yīng)用達(dá)朗貝爾原理求解動(dòng)力學(xué)問題及求解定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)軸承的附加動(dòng)約束力。

４.了解靜平衡與動(dòng)平衡的概念及其轉(zhuǎn)子質(zhì)量均衡調(diào)試的方法。

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第12章達(dá)朗貝爾原理

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第12章達(dá)朗貝爾原理12.3重點(diǎn)討論１.慣性力不是真實(shí)作用在質(zhì)點(diǎn)上的力，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)與周圍物體相聯(lián)系時(shí)，它表現(xiàn)為質(zhì)點(diǎn)對(duì)周圍施力物體的反作用力的合力。慣性力是假想的加在質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系上的虛擬力，真正作用在質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系上的力是主動(dòng)力和約束力。２.特別應(yīng)注意在計(jì)算慣性力問題的主矢、主矩時(shí)，其作用點(diǎn)必須是相應(yīng)的簡化中心，因?yàn)橹骶嘏c簡化中心有關(guān)。３.達(dá)朗貝爾原理是將牛頓定律的右端移到等式左端，從形式上變?yōu)殪o力學(xué)的平衡方程式，故又稱為靜法，是用靜力學(xué)的平衡方程求解動(dòng)力學(xué)的一種方法。

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第12章達(dá)朗貝爾原理12.3重點(diǎn)討論向O點(diǎn)簡化：向質(zhì)點(diǎn)C點(diǎn)簡化：作用在C點(diǎn)作用在O點(diǎn)例如：對(duì)于有慣性主軸物體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性力主矢、主矩與簡化中心的關(guān)系為

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題

分

析

第12章達(dá)朗貝爾原理

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題

分

析

第12章達(dá)朗貝爾原理例12-1已知：均質(zhì)桿AB的質(zhì)量為m，球鉸鏈A和繩子BC與鉛垂軸OD相連，繩子的重量略去不計(jì)，小環(huán)可沿軸滑動(dòng)，如圖示。設(shè)AC＝BC＝l，CD＝OA＝l/2，勻角速度為，求繩子的張力、鉸鏈A的約束力及軸承O、D的附加動(dòng)約束力。解：研究AB桿作用點(diǎn)在距A點(diǎn)(2/3)AB處，由達(dá)朗貝爾原理

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題

分

析

第12章達(dá)朗貝爾原理FOy＝mg附加動(dòng)約束力為 解得以整體為研究對(duì)象解得

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題

分

析

第12章達(dá)朗貝爾原理例12-2均質(zhì)圓盤半徑為r，質(zhì)量為m，在重力作用下沿傾角為的斜面向下作純滾動(dòng)，求圓盤下降的加速度及斜面的摩擦力。解：1）研究圓盤，畫受力圖。由達(dá)朗貝爾原理解得

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分

析

第12章達(dá)朗貝爾原理例12-3均質(zhì)直角構(gòu)件ABC

，AB、BC的質(zhì)量各為3.0kg，l=1.0m。假若突然剪斷繩子，。求此瞬時(shí)連桿AD、BE所受的力。解：研究ABC桿，ABC作平移運(yùn)動(dòng)，初瞬時(shí)＝0，所以，受力圖如圖示，由達(dá)朗貝爾原理解得

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分

析

第12章達(dá)朗貝爾原理例12-4在懸臂梁AB的B端裝有質(zhì)量為mB、半徑為r的均質(zhì)鼓輪，如圖示，一主動(dòng)力偶，其矩為M，作用于鼓輪以提升質(zhì)量為mC的物體。設(shè)AB=l，梁和繩子的自重都略去不計(jì)。求A處的約束力。解：研究鼓輪及物塊mc，設(shè)物體mc上升加速度為a，則鼓輪角加速度為

=a/r，所以慣性力分別為a根據(jù)達(dá)朗貝爾原理解得

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題

分

析

第12章達(dá)朗貝爾原理研究整體解得解得

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題

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析

第12章達(dá)朗貝爾原理例12-5傳動(dòng)軸上安裝有兩個(gè)齒輪，質(zhì)量分別為m1、m2，偏心距分別為e1和e2。在圖示瞬時(shí)，C1D1平行于z軸，該軸的轉(zhuǎn)速是n。求此時(shí)軸承A、B的附加動(dòng)約束力。解：研究AB軸，受力圖如圖示

根據(jù)達(dá)朗貝爾原理解得

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分

析

第12章達(dá)朗貝爾原理軸承A，B的附加動(dòng)約束力為解得

TheoreticalMechanics12.4例

題

分

析

第12章達(dá)朗貝爾原理例12-6定滑輪的半徑為r，質(zhì)量為m0。軟繩兩端懸掛質(zhì)量分別為m1、m2的物體，m1>m2。假設(shè)滑輪的質(zhì)量均勻分布在輪緣上，求物體運(yùn)動(dòng)的加速度和輪軸O的約束力。解：已知m1>m2，則M1向下運(yùn)動(dòng)，M2向上運(yùn)動(dòng)。加速度為a，滑輪的角速度、角加速度為及，則有a＝r。

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的達(dá)朗貝爾原理

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分

析

第12章達(dá)朗貝爾原理解得

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題

分

析

第12章達(dá)朗貝爾原理例12-7圖示裝有圓盤的軸可繞水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)。已知：兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1＝0.5kg、m2＝1kg。圓盤的厚度為2cm。密度為7.8×103kg/m3，c＝e＝9cm，b＝18cm。為了動(dòng)平衡，在盤上離軸d＝8cm處各鉆一孔。求孔的直徑d1、d2和方位角1、2。解：研究圓盤與軸，其慣性力分別為其中

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分

析

第12章達(dá)朗貝爾原理代入數(shù)據(jù)，得1＝-18.4，2＝-71.6由達(dá)朗貝爾原理

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析

第12章達(dá)朗貝爾原理例12-7均質(zhì)圓柱體重為P，半徑為R，由靜止自O(shè)點(diǎn)開始純滾動(dòng)。平板對(duì)水平線的傾角為，試求OA=S時(shí)平板在O點(diǎn)的約束約束力。板的重力略去不計(jì)。解：1.研究圓柱體P即解得由達(dá)朗貝爾原理

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分

析

第12章達(dá)朗貝爾原理列出平衡方程：解得(2)用達(dá)朗貝爾原理求約束力,取系統(tǒng)為研究對(duì)象

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析

第12章達(dá)朗貝爾原理例12-8

繞線輪重P，半徑為R及

r

，對(duì)質(zhì)心O轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IO，在與水平成角的常力FT

作用下純滾動(dòng)，不計(jì)滾阻。求：(1)輪心的加速度；(2)分析純滾動(dòng)的條件。解：用達(dá)朗貝爾原理求解繞線輪作平面運(yùn)動(dòng)（純滾動(dòng)）由達(dá)朗貝爾原理，得將FI、MIO代入上式，可得

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第12章達(dá)朗貝爾原理純滾動(dòng)的條件

F≤fFN

解得解得

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析

第12章達(dá)朗貝爾原理例12-9在圖示機(jī)構(gòu)中，沿斜面向上作純滾動(dòng)的圓柱體和鼓輪O均為均質(zhì)物體，各重為P和Q，半徑均為R，繩子不可伸長，其質(zhì)量不計(jì)，斜面傾角，如在鼓輪上作用一常力偶矩M，試求：鼓輪A的角加速度。解：方法1用達(dá)朗伯原理求解,取輪O為研究對(duì)象，慣性力偶矩列出平衡方程：取輪A為研究對(duì)象，慣性力FIA

和慣性力偶MIA如圖示。

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析

第12章達(dá)朗貝爾原理將MI，F(xiàn)IA，MIA及運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系代入并聯(lián)立求解得列出動(dòng)靜方程運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系

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第12章達(dá)朗貝爾原理方法2動(dòng)能定理求解，取系統(tǒng)為研究對(duì)象由兩邊對(duì)t求導(dǎo)數(shù)：得

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第12章達(dá)朗貝爾原理方法3：用動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理求解。

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第12章達(dá)朗貝爾原理例12-10質(zhì)量為m1和m2的兩重物，分別掛在兩條繩子上，繩又分別繞在半徑為r1和r2并裝在同一軸的兩鼓輪上，已知兩鼓輪對(duì)于轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，系統(tǒng)在重力作用下發(fā)生運(yùn)動(dòng)，求鼓輪的角加速度。解：方法1用達(dá)朗伯原理求解取系統(tǒng)為研究對(duì)象,慣性力和慣性力偶為由動(dòng)靜法：列補(bǔ)充方程：得

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析

第12章達(dá)朗貝爾原理方法2用動(dòng)量矩定理求解根據(jù)動(dòng)量矩定理取系統(tǒng)為研究對(duì)象

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析

第12章達(dá)朗貝爾原理取系統(tǒng)為研究對(duì)象兩邊除以dt，并求導(dǎo)數(shù)，得方法3用動(dòng)能定理求解

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第12章達(dá)朗貝爾原理

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第12章達(dá)朗貝爾原理

12-1已知物塊與水平臂之間的摩擦系數(shù)fS

=0.2，水平臂下降加速度為a。求

1）a為多大，物塊不滑？2）h/d為多大，物塊在滑動(dòng)之前先傾倒？

答：

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第12章達(dá)朗貝爾原理

12-2已知半徑為r的圓輪對(duì)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，輪上作用有恒力偶矩M，輪緣上的銷子C推動(dòng)質(zhì)量為m的滑槽ABD沿水平滑道運(yùn)動(dòng)，滑道處摩擦系數(shù)為f，其余各處光滑。求圓輪的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程。答：

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第12章達(dá)朗貝爾原理

12-3已知車重心為G，加速度為a，以及尺寸b、c、h；求前后輪的壓力；又a為多大，方可使前后輪壓力相等。

答：

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第12章達(dá)朗貝爾原理

12-4已知均質(zhì)曲桿隨轉(zhuǎn)軸以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，OC=OB=a，欲使AB及CD段的橫截面上只受沿桿的軸向力。求AB、CD段的曲線方程。

答：

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第12章達(dá)朗貝爾原理

12-5已知調(diào)速器外殼質(zhì)量m2，兩相同圓盤質(zhì)量皆為m1，尺寸a、l，不計(jì)摩擦。求勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，調(diào)速器轉(zhuǎn)速與圓盤偏轉(zhuǎn)角的關(guān)系。

答：

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第12章達(dá)朗貝爾原理

12-6已知小球質(zhì)量皆為m，當(dāng)轉(zhuǎn)速

=0時(shí)，鉸接于轉(zhuǎn)軸上O點(diǎn)的無重桿CD偏角

=0，扭轉(zhuǎn)彈簧的恢復(fù)力矩為M=k(

0)。求軸的轉(zhuǎn)速與偏角的關(guān)系。

答：

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第12章達(dá)朗貝爾原理

12-7已知直角均質(zhì)桿以勻角速度隨鉛垂軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求偏角與的關(guān)系。

答：

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第12章達(dá)朗貝爾原理

12-8已知火箭加速度為a，衛(wèi)星整流罩從圖(a)位置開始自由倒下，轉(zhuǎn)到90位置時(shí)自動(dòng)脫落。整流罩質(zhì)心為C，OC=r，質(zhì)量為m，對(duì)O點(diǎn)回轉(zhuǎn)半徑為。求

整流罩在脫落位置時(shí)的角速度。

答：

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第12章達(dá)朗貝爾原理

12-9已知均質(zhì)矩形板質(zhì)量m=27kg，突然撤去銷子B。求此瞬時(shí)板的角加速度e和A處反力。

e

=47rad/s2FAx

=95.34

NFAy

=137.72N答：

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第12章達(dá)朗貝爾原理

12-10已知塔輪半徑是R和r，重為P，對(duì)軸O轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IO，在質(zhì)量為m1和m2的懸掛物作用下順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。求角加速度e和軸O處附加動(dòng)約束力。

答：

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第12章達(dá)朗貝爾原理

12-11