第三章 綜合指標(biāo)

第三章綜合指標(biāo)如何將一個(gè)變量的多個(gè)觀測值匯總為一個(gè)數(shù)值？怎樣匯總變量之間的區(qū)別？綜合指標(biāo)從它的作用和方法特點(diǎn)的角度可概括為三類：

絕對指標(biāo)相對指標(biāo)平均指標(biāo)一、總量指標(biāo)的概念和作用

總量指標(biāo)是反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象一定時(shí)間、地點(diǎn)、條件下總的規(guī)模、水平的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)?？偭恐笜?biāo)一般表示現(xiàn)象總量，其表現(xiàn)形式是絕對數(shù)，是一個(gè)有名數(shù)。總量指標(biāo)也可表現(xiàn)為總量之間的絕對差數(shù)，如增加量、減少量等。

第一節(jié)總量指標(biāo)(絕對指標(biāo))2004年中國GDP為136584.3億元。

2005年中國外匯儲(chǔ)備為8188.72

億美元。

2004年國家財(cái)政收入比上年增加4681.2億元。如按其反映的內(nèi)容不同可分為：總體單位總量——

說明總體的單位數(shù)數(shù)量。

標(biāo)志總量——

說明總體中某個(gè)標(biāo)志值總和的量。二、總量指標(biāo)的分類

例研究某地區(qū)的工業(yè)企業(yè)職工工資情況，“職工人數(shù)”為總體單位總量，“工資總額”為標(biāo)志總量。按其反映的時(shí)間狀況不同可分為：時(shí)期指標(biāo)——

反映現(xiàn)象在某一時(shí)期發(fā)展過程的總數(shù)量。時(shí)點(diǎn)指標(biāo)——

反映現(xiàn)象在某一時(shí)刻的狀況。時(shí)期指標(biāo)的特點(diǎn)

1.時(shí)期指標(biāo)數(shù)值是連續(xù)登記、累計(jì)的結(jié)果；

2.不同的時(shí)期指標(biāo)數(shù)值具有可加性；

3.時(shí)期指標(biāo)數(shù)值大小與時(shí)期長短有直接關(guān)系。

時(shí)點(diǎn)指標(biāo)的特點(diǎn)

1.時(shí)點(diǎn)指標(biāo)的數(shù)值是間斷計(jì)數(shù)的；

2.不同時(shí)點(diǎn)的指標(biāo)數(shù)值不具有可加性；

3.時(shí)點(diǎn)指標(biāo)的數(shù)值的大小與其時(shí)間間隔長短無關(guān)?？偖a(chǎn)值、銷售量為時(shí)期數(shù)；年末人口數(shù)、設(shè)備臺(tái)數(shù)為時(shí)點(diǎn)數(shù)。如計(jì)算原則：

3.計(jì)量單位必須一致。

2.明確的統(tǒng)計(jì)含義；

1.現(xiàn)象的同類性；

三、總量指標(biāo)的計(jì)算

根據(jù)總量指標(biāo)所反映的社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象性質(zhì)不同，計(jì)量單位分三種形式：

（1）實(shí)物單位是指采用實(shí)物單位計(jì)量的總量指標(biāo)。a.自然單位：輛、雙、頭、根、個(gè)……

b.度量衡單位：噸、米、克、立方米……

c.雙重單位：公里/小時(shí)、人/平方公里……d.復(fù)合單位：噸公里、千瓦時(shí)……

對有些性質(zhì)相同但規(guī)格或含量不同的產(chǎn)品總量的計(jì)算，要按折合標(biāo)準(zhǔn)實(shí)物量的方法計(jì)算。(2)貨幣單位(價(jià)值單位)

是指采用貨幣單位計(jì)量的總量指標(biāo)。

貨幣單位有現(xiàn)行價(jià)格和不變價(jià)格之分。

現(xiàn)行價(jià)格是各個(gè)時(shí)期的實(shí)際價(jià)格；

不變價(jià)格是在綜合不同產(chǎn)品產(chǎn)量并反映它們的總動(dòng)態(tài)時(shí)，為了消除不同時(shí)期價(jià)格變動(dòng)的影響所用的固定價(jià)格。(3)勞動(dòng)單位

用勞動(dòng)時(shí)間表示的計(jì)量單位

工時(shí)——

工人數(shù)和勞動(dòng)時(shí)數(shù)的乘積；臺(tái)時(shí)——

設(shè)備臺(tái)數(shù)和開動(dòng)時(shí)數(shù)的乘積。

例第二節(jié)相對指標(biāo)

是兩個(gè)有聯(lián)系的指標(biāo)數(shù)值之比。

2005年普通高等教育共招生504.46萬人,比上年增加57.12萬人，增長12.77%；在校生1561.78萬人，比上年增加228.28萬人,增長17.12%；畢業(yè)生306.8萬人,比上年增加67.68萬人,增長28.3%。例一、相對指標(biāo)的概念

-人口密度：人/平方公里

-平均每人分?jǐn)偟募Z食產(chǎn)量：千克/人

系數(shù)或倍數(shù)：是將比的基數(shù)抽象化為1；

成數(shù)：是將比的基數(shù)抽象化為10；百分?jǐn)?shù)：是將比的基數(shù)抽象化為100；

千分?jǐn)?shù)：是將比的基數(shù)抽象化為1000。

相對指標(biāo)的數(shù)值有兩種表現(xiàn)形式：無名數(shù)，分以下幾種:

有名數(shù)對比基數(shù)名稱功能計(jì)劃要求計(jì)劃完成相對數(shù)檢查計(jì)劃執(zhí)行情況歷史水平動(dòng)態(tài)相對數(shù)反映現(xiàn)象發(fā)展變化的速度總體水平結(jié)構(gòu)相對數(shù)說明總體內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征典型水平比較相對數(shù)反映不同空間的差距同一總體另一部分水平比例相對數(shù)反映總體結(jié)構(gòu)性比例關(guān)系另一現(xiàn)象水平強(qiáng)度相對數(shù)說明現(xiàn)象強(qiáng)度、密度、普遍程度和依存性比例關(guān)系相對指標(biāo)的種類(一)計(jì)劃完成相對指標(biāo)

二、相對指標(biāo)的種類及其計(jì)算1.計(jì)算公式(1)根據(jù)總量指標(biāo)來計(jì)算計(jì)劃完成相對數(shù)

計(jì)算結(jié)果表明該廠超額10%完成總產(chǎn)值計(jì)劃。

設(shè)某工廠某年計(jì)劃工業(yè)總產(chǎn)值為200萬元，實(shí)際完成220萬元，則：

2.計(jì)劃完成相對數(shù)的計(jì)算(2)根據(jù)相對指標(biāo)來計(jì)算計(jì)劃完成相對數(shù)

某企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品，上年度實(shí)際成本為420元/噸，本年度計(jì)劃單位成本降低6%，實(shí)際降低7.6%，則：∴

比計(jì)劃多完成1.71%；例1

某企業(yè)計(jì)劃規(guī)定勞動(dòng)生產(chǎn)率比上年提高10%，實(shí)際比上年提高15%，則：

∴勞動(dòng)生產(chǎn)率超額4.5%完成計(jì)劃任務(wù)。

例2(3)根據(jù)平均指標(biāo)來計(jì)算計(jì)劃完成相對數(shù)

某化肥廠某年每噸化肥計(jì)劃成本為200元，實(shí)際成本為180元，則：實(shí)際單位成本-計(jì)劃單位成本=180-200=-20(元)計(jì)算結(jié)果表明該廠化肥單位成本實(shí)際比計(jì)劃降低了10%，平均每噸化肥節(jié)約生產(chǎn)費(fèi)用20元。例3.計(jì)劃執(zhí)行進(jìn)度考核如果實(shí)際完成數(shù)所包含的時(shí)期只是計(jì)劃期的一部分，這種情況就被稱為計(jì)劃執(zhí)行進(jìn)度。以五年計(jì)劃來說明這個(gè)問題。

4.長期計(jì)劃的檢查(1)水平法

計(jì)算公式為：例某產(chǎn)品計(jì)劃規(guī)定第五年產(chǎn)量56萬噸，實(shí)際第五年產(chǎn)量63萬噸，則：

那么，提前多少時(shí)間完成計(jì)劃？

按水平法考核5年計(jì)劃完成程度，只要在連續(xù)一年內(nèi)（不論是否在同一個(gè)日歷年度內(nèi)，只要連續(xù)12個(gè)月即可）實(shí)際完成水平達(dá)到了計(jì)劃規(guī)定的最后一年水平就算完成5年計(jì)劃，往后所余的時(shí)間就是提前完成計(jì)劃的時(shí)間。

現(xiàn)假定第四年、第五年各月完成情況如下：(單位：萬噸)

月份一二三四五六七八九十十一十二合計(jì)第四年3.53.543.843.84(4(555449.6第五年4445555)6)666763第四年9月～第五年8月產(chǎn)量合計(jì)57萬噸第四年8月～第五年7月產(chǎn)量合計(jì)55萬噸

例當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到計(jì)劃規(guī)定的56萬噸時(shí)，時(shí)間一定在第五年八月某一天(即提前4個(gè)多月)。第四年9月～第五年7月第四年8月第五年8月5156(31-x)(31-x)xx

設(shè)提前X天(第五年8月中的X天)，則八月還有(31-X)天，第四年八月還有X天(因要滿足12個(gè)月)。正好生產(chǎn)56萬噸的時(shí)間應(yīng)是第四年八月第X天到第五年八月第(31-X)天。圖示如下：

如果無每日資料，則日資料可用月資料計(jì)算平均數(shù)代替解方程求X:

∴X=15.5(天)即提前四個(gè)月又15天半完成五年計(jì)劃。

（2）累計(jì)法

計(jì)算公式為：

累計(jì)法下提前完成計(jì)劃時(shí)間

某五年計(jì)劃的基建投資總額為2200億元，五年內(nèi)實(shí)際累計(jì)計(jì)劃完成2240億元，則：

假定計(jì)劃提前完成，如果1996—2000年間基建投資總額計(jì)劃為2200億元，實(shí)際至2000年六月底止累計(jì)實(shí)際投資額已達(dá)2200億元，則提前半年完成計(jì)劃。

例(二)

結(jié)構(gòu)相對指標(biāo)

計(jì)算公式為：

2003年中國企業(yè)500強(qiáng)營業(yè)收入總額6.9萬億元,占國內(nèi)生產(chǎn)總值68％。例上海GDP構(gòu)成2000年2001年2002年數(shù)量(億元)比率(%)數(shù)量(億元)比率(%)數(shù)量(億元)比率(%)第一產(chǎn)業(yè)81.651.7985.501.7388.241.63第二產(chǎn)業(yè)2186.9048.052355.5347.582564.6947.42第三產(chǎn)業(yè)2282.6050.152509.8150.692755.8350.95合計(jì)4551.15100.004950.84100.005408.76100.00例(三)比例相對指標(biāo)

計(jì)算公式為：

常用的比例形式有兩種：

1.將作為比較基礎(chǔ)的數(shù)值抽象化為1、10、100或1000，看被比較的數(shù)值是多少。

我國2000年第五次人口普查結(jié)果，男女性別比例為106.74:100，這說明以女性為100，男性人口是女性人口數(shù)的106.74倍。簡稱性別比例106.74。

例2.首先將總體全部數(shù)值抽象化100，求得各部分?jǐn)?shù)值在總體中所占百分?jǐn)?shù)，然后將各部分的百分?jǐn)?shù)連比得比例相對數(shù)。

2002年我國GDP抽象化為100，第一產(chǎn)業(yè)、第二產(chǎn)業(yè)、第三產(chǎn)業(yè)的比例為：14.5︰51.8︰33.7。

例(四)比較相對指標(biāo)(類比相對指標(biāo))

計(jì)算公式為：

計(jì)算比較相對數(shù)時(shí)，作為比較基數(shù)的分母可取不同的對象，一般有兩種情況：

①

比較標(biāo)準(zhǔn)是一般對象，如：這時(shí)，分子與分母的位置可以互換。

②

比較標(biāo)準(zhǔn)(基數(shù))典型化，如：

把企業(yè)的各項(xiàng)技術(shù)經(jīng)濟(jì)指標(biāo)都和國家規(guī)定的質(zhì)量水平比較，和同類企業(yè)的先進(jìn)水平比較，和國外先進(jìn)水平比較等，這時(shí)，分子與分母的位置不能互換。

某年有甲、乙兩企業(yè)同時(shí)生產(chǎn)一種性能相同的產(chǎn)品，甲企業(yè)工人勞動(dòng)生產(chǎn)率為19,307元，乙企業(yè)為27,994元。說明甲企業(yè)勞動(dòng)生產(chǎn)率比乙企業(yè)低31%。例(五)強(qiáng)度相對指標(biāo)

計(jì)算公式為：

〔例〕我國土地面積為960萬平方公里，1996年

底人口總數(shù)為122389萬人，則我國1996年末人口密度

＝122389÷960＝127（人∕平方公里）①一般用復(fù)名數(shù)表示；

②也有少數(shù)用百分?jǐn)?shù)或千分?jǐn)?shù)表示。1.強(qiáng)度相對數(shù)的數(shù)值表示有兩種方法：用百分?jǐn)?shù)表示說明平均每百元銷售額負(fù)擔(dān)多少流通費(fèi)。產(chǎn)值利潤率、資金利潤率一般用千分?jǐn)?shù)表示。

例某城市人口100萬人，有零售商業(yè)機(jī)構(gòu)5000個(gè)，則：例2.有些強(qiáng)度相對數(shù)有正、逆兩種計(jì)算方法：

正指標(biāo)的數(shù)值愈大，表示零售商業(yè)網(wǎng)密度愈大，它是從正方向說明現(xiàn)象的密度；逆指標(biāo)的數(shù)值愈大，表示零售商業(yè)網(wǎng)密度愈小，它是從相反方向說明現(xiàn)象的密度。

(六)動(dòng)態(tài)相對指標(biāo)

計(jì)算公式為：

基期

——作為對比標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)間報(bào)告期

——

同基期比較的時(shí)期，也稱計(jì)算期

2.相對指標(biāo)要和總量指標(biāo)結(jié)合起來運(yùn)用。1.注意二個(gè)對比指標(biāo)的可比性。三、正確運(yùn)用相對指標(biāo)的原則

統(tǒng)計(jì)我國歷年鋼產(chǎn)量發(fā)展對比情況：

表中：增長量=報(bào)告期水平-基期水平年份194919501978197919861987鋼產(chǎn)量(萬噸)15.8613178344852205628發(fā)展速度(%)100.0386100108.5100107.8增長量(萬噸)-45.2-270-408增長1%絕對值(萬噸)-0.16-31.8-52.2我國歷年鋼產(chǎn)量發(fā)展情況

例練習(xí)一、判斷題1.標(biāo)志總量是指總體單位某一數(shù)量標(biāo)志值的總和。（）2.全國人均國民生產(chǎn)總值，屬于強(qiáng)度相對數(shù)。（）3.在計(jì)算相對指標(biāo)時(shí)，分子、分母可以互換的唯一相對指標(biāo)是強(qiáng)度相對數(shù)。（）4.某企業(yè)工人勞動(dòng)生產(chǎn)率，計(jì)劃提高5％，實(shí)際提高10％，則勞動(dòng)生產(chǎn)率的計(jì)劃完成程度為104.76％（）二、單選題1.絕對指標(biāo)的基本特點(diǎn)是計(jì)量單位都是（）①無名數(shù)②有名數(shù)

③復(fù)名數(shù)④無名數(shù)和有名數(shù)2.相對指標(biāo)的表現(xiàn)形式是（）①無名數(shù)②有名數(shù)

③復(fù)名數(shù)④無名數(shù)和有名數(shù)3.人口自然增長率屬于（）①結(jié)構(gòu)相對數(shù)②比較相對數(shù)③強(qiáng)度相對數(shù)④比例相對數(shù)三、多選題1.下列指標(biāo)中屬于時(shí)點(diǎn)指標(biāo)的有（）①年末職工人數(shù)②年初職工人數(shù)③月末設(shè)備數(shù)④年國民生產(chǎn)總值⑤月銷售額2.時(shí)期指標(biāo)的數(shù)值（）①可以連續(xù)計(jì)量②反映現(xiàn)象在某一時(shí)期內(nèi)狀況的總量③相鄰兩時(shí)期指標(biāo)有可加性④其數(shù)值大小和時(shí)間長短相關(guān)⑤有時(shí)可以間斷計(jì)量，一般是連續(xù)計(jì)量四、計(jì)算題

1.某廠計(jì)劃產(chǎn)值比上年提高5％，實(shí)際提高7％，則該廠計(jì)劃完成相對數(shù)為多少？

解：2.某廠產(chǎn)值計(jì)劃為去年的103％，實(shí)際比去年增長5％，試問該廠計(jì)劃完成相對數(shù)是多少？又知該廠的產(chǎn)品每臺(tái)成本應(yīng)在去年699元的水平上降低12元，實(shí)際今年成本672元，試確定降低成本計(jì)劃完成情況指標(biāo)。3.某市“五年計(jì)劃”規(guī)定，計(jì)劃期最末一年A產(chǎn)品產(chǎn)量應(yīng)達(dá)到70萬噸，實(shí)際生產(chǎn)情況如下表：時(shí)間第一年第二年第三年第四年第五年上半年下半年第一季第二季第三季第四季第一季第二季第三季第四季產(chǎn)量454825271616181718202325試計(jì)算該市A產(chǎn)品產(chǎn)量五年計(jì)劃完成程度和提前完成計(jì)劃的時(shí)間。解：從第四年第三季度至第五年第二季度產(chǎn)量之和為：18＋17＋18＋20＝73（萬噸）。比計(jì)劃數(shù)70萬噸多了3萬噸，則：2.特點(diǎn)

-數(shù)量抽象性

-同類現(xiàn)象計(jì)算

-集中趨勢代表性1.概念

平均指標(biāo)是指在同質(zhì)總體內(nèi)將各單位某一數(shù)量標(biāo)志的差異抽象化，用以反映總體在具體條件下的一般水平。

一、平均指標(biāo)的意義和作用

第三節(jié)平均指標(biāo)-

比較作用

a.利用平均指標(biāo)可以進(jìn)行同類現(xiàn)象在不同空間的對比。

b.利用平均指標(biāo)可以進(jìn)行同一總體在不同時(shí)間上的比較。

-利用平均指標(biāo)可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系

-利用平均指標(biāo)還可以進(jìn)行數(shù)量上的推算，還可以作為論斷事物的一種數(shù)量標(biāo)準(zhǔn)或參考3.作用

4.種類

算術(shù)平均數(shù)

數(shù)值平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù) 眾數(shù)

位置平均數(shù)

中位數(shù)1.算術(shù)平均數(shù)的基本公式二、算術(shù)平均數(shù)

平均數(shù)和強(qiáng)度相對數(shù)的區(qū)別平均數(shù)的分子和分母必屬于同一總體；強(qiáng)度相對數(shù)的分子和分母不屬于同一總體。例：農(nóng)民勞動(dòng)生產(chǎn)率是平均數(shù)指標(biāo)，而人均糧食產(chǎn)量卻是強(qiáng)度相對數(shù)指標(biāo)。式中：——

算術(shù)平均數(shù)

X——

各單位的標(biāo)志值

n——

總體單位數(shù)

——

求和符號(hào)2.簡單算術(shù)平均數(shù)式中：——

算術(shù)平均數(shù)

X——

各組數(shù)值

f——

各組數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)(即權(quán)數(shù))3.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)各組標(biāo)志總量總體單位數(shù)在掌握比重權(quán)數(shù)（即頻率）的情況下，可以直接利用權(quán)數(shù)系數(shù)來求加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，其公式為：設(shè)某廠職工按日產(chǎn)量分組后所得組距數(shù)列如下，據(jù)此求平均日產(chǎn)量。按日產(chǎn)量分組(千克)組中值X(千克)工人數(shù)f(人)Xf60以下551055060–706519123570–807550375080–908536306090–10095272565100–110105141470110以上1158920合計(jì)-16413550例按日產(chǎn)量分組(千克)組中值X(千克)工人數(shù)f(人)ff/∑f

60以下55100.063.360–7065190.127.870–8075500.3022.580–9085360.2218.790–10095270.1615.2100–110105140.099.45110以上11580.055.75合計(jì)-1641.0082.7加權(quán)算術(shù)平均數(shù)受兩因數(shù)的影響：

變量值大小的影響。次數(shù)多少的影響。次數(shù)大的標(biāo)志值對影響大；

反之，影響小。

而簡單算術(shù)平均數(shù)只反映變量值大小這一因素的影響。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)與簡單算術(shù)平均數(shù)不同在于：①各個(gè)變量值與算術(shù)平均數(shù)離差之和等于零4.算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì)②各個(gè)變量值與算術(shù)平均數(shù)離差平方之和

等于最小值△算術(shù)平均數(shù)的特點(diǎn)算術(shù)平均數(shù)適合用代數(shù)方法運(yùn)算，因此運(yùn)用比較廣泛；易受極端變量值的影響，使的代表性變??；受極大值的影響大于受極小值的影響；當(dāng)組距數(shù)列為開口組時(shí)，由于組中點(diǎn)不易確定，使的代表性也不很可靠。三、調(diào)和平均數(shù)(又稱“倒數(shù)平均數(shù)”)

市場平均價(jià)格(元)X銷售額(元)m=Xf銷售額(元)÷平均價(jià)格(元)(即銷售量)

甲2.006000030000乙2.505000020000丙2.406000025000合計(jì)計(jì)算方法如下：在社會(huì)經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)學(xué)中經(jīng)常用到的僅是一種特定權(quán)數(shù)的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。即有以下數(shù)學(xué)關(guān)系式成立：m是一種特定權(quán)數(shù)，它不是各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)，而是各組標(biāo)志值總量。已知某商品在三個(gè)集市貿(mào)易市場上的平均價(jià)格及銷售額資料如下：市場平均價(jià)格(元)X銷售額(元)m=Xf銷售額(元)÷平均價(jià)格(元)(即銷售量)

甲2.006000030000乙2.505000020000丙2.406000025000合計(jì)-170000750001.由平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)時(shí)調(diào)和平均數(shù)法的應(yīng)用：例某公司有四個(gè)工廠，已知其計(jì)劃完成程度(%)及實(shí)際產(chǎn)值資料如下：工廠計(jì)劃完成程度(%)X實(shí)際產(chǎn)值(萬元)m=Xf實(shí)際產(chǎn)值÷計(jì)劃完成程度(%)(即計(jì)劃產(chǎn)值)(萬元)

甲9090100乙100200200丙110330300丁120480400合計(jì)-1,1001,0002.由相對數(shù)計(jì)算平均數(shù)時(shí)調(diào)和平均數(shù)法的應(yīng)用：例△調(diào)和平均數(shù)的特點(diǎn)如果數(shù)列中有一標(biāo)志值等于零，則無法計(jì)算；它作為一種數(shù)值平均數(shù)，受所有標(biāo)志值的影響；但較之算術(shù)平均數(shù)，受極端值的影響要小，適用范圍較小。1.簡單幾何平均數(shù)四、幾何平均數(shù)(又稱“對數(shù)平均數(shù)”)2.加權(quán)幾何平均數(shù)

投資銀行某筆投資的年利率是按復(fù)利計(jì)算的，25年的年利率分配是：有1年為3%，有4年為5%，有8年為8%，有10年為10%，有2年為15%，求平均年利率。本利率(%)X年數(shù)f本利率的對數(shù)lgXf·lgX10312.01282.012810542.02128.084810882.033416.2672110102.041420.414011522.06074.1214合計(jì)25-50.9002例

這就是說，25年的平均本利率為108.6%，年平均利率即為8.6%?！鲙缀纹骄鶖?shù)的特點(diǎn)如果數(shù)列中有一個(gè)標(biāo)志值等于零或負(fù)值，就無法計(jì)算；受極端值的影響較和??；它適用于反映特定現(xiàn)象的平均水平，即現(xiàn)象的總標(biāo)志值是各單位標(biāo)志值的連乘積。由定義可看出眾數(shù)存在的條件：1.概念：在總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)標(biāo)志值就是眾數(shù)。五、分類數(shù)據(jù)：眾數(shù)M0(Mode)

M0M0M0M0M0若有兩個(gè)次數(shù)相等的眾數(shù)，則稱復(fù)眾數(shù)。①只有總體單位數(shù)比較多，而且又有明顯的集中趨勢時(shí)才存在眾數(shù)。下三圖無眾數(shù)：②在單位數(shù)很少，或單位數(shù)雖多但無明顯集中趨勢時(shí)，計(jì)算眾數(shù)是沒有意義的。①根據(jù)單項(xiàng)數(shù)列確定眾數(shù)；價(jià)格(元)銷售數(shù)量(千克)2.00202.40603.001404.0080合計(jì)300某種商品的價(jià)格情況眾數(shù)M0=3.00(元)例2.眾數(shù)的計(jì)算方法②根據(jù)組距數(shù)列確定眾數(shù)⑵利用比例插值法推算眾數(shù)的近似值。⑴由最多次數(shù)來確定眾數(shù)所在組；計(jì)算眾數(shù)的近似值：GEFDCABfXf3f2f1dXLXUM0Δ1Δ2眾數(shù)的兩個(gè)計(jì)算公式可以從幾何圖形得到證明：按日產(chǎn)量分組(千克)工人人數(shù)(人)60以下1060-701970-805080-903690-10027100-11014110以上8表中70-80，即眾數(shù)所在組。例計(jì)算△眾數(shù)的特點(diǎn)

眾數(shù)是一個(gè)位置平均數(shù)，它只考慮總體分布中最頻繁出現(xiàn)的變量值，而不受各單位標(biāo)志值的影響，從而增強(qiáng)了對變量數(shù)列一般水平的代表性。不受極端值和開口組數(shù)列的影響。

眾數(shù)是一個(gè)不容易確定的平均指標(biāo)，當(dāng)分布數(shù)列沒有明顯的集中趨勢而趨均勻分布時(shí)，則無眾數(shù)可言；當(dāng)變量數(shù)列是不等距分組時(shí)，眾數(shù)的位置也不好確定。①由未分組資料確定中位數(shù)2.中位數(shù)的計(jì)算方法1.概念：將總體中各單位標(biāo)志值按大小順序排列，居于中間位置的那個(gè)標(biāo)志值就是中位數(shù)。六、順序數(shù)據(jù)：中位數(shù)Me(Medion)

⑴n為奇數(shù)時(shí)，則居于中間位置的那個(gè)標(biāo)志值就是中位數(shù)。例⑵n為偶數(shù)時(shí)，則中間位置的兩個(gè)標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)為中位數(shù)。②由單項(xiàng)數(shù)列確定中位數(shù)某企業(yè)按日產(chǎn)零件分組如下：按日產(chǎn)零件分組（件）工人數(shù)（人）向上累計(jì)向下累計(jì)26338031101377321427673427545336187226418808合計(jì)80--例③由組距數(shù)列確定中位數(shù)

按日產(chǎn)量分組(千克)工人數(shù)(人)向上累計(jì)向下累計(jì)50–60101016460–70192915470–80507913580–90361158590–1002714249100-1101415622110以上81648合計(jì)164--中位數(shù)公式推導(dǎo)f:X:LUMed?fm①中位數(shù)也是一種位置平均數(shù)，它也不受極端值及開口組的影響，具有穩(wěn)健性。②各單位標(biāo)志值與中位數(shù)離差的絕對值之和是個(gè)最小值。③對某些不具有數(shù)學(xué)特點(diǎn)或不能用數(shù)字測定的現(xiàn)象，可以用中位數(shù)求其一般水平。3.中位數(shù)的特點(diǎn)（一）三者的關(guān)系表示為：七、各種平均數(shù)之間的相互關(guān)系例f如圖：(二）三者的關(guān)系1.當(dāng)總體分布呈對稱狀態(tài)時(shí)，三者合而為一,如圖：fX2.

當(dāng)總體分布呈非對稱狀態(tài)時(shí)如圖：fX所以

一組工人的月收入眾數(shù)為700元，月收入的算術(shù)平均數(shù)為1000元，則月收入的中位數(shù)近似值是：例1.平均指標(biāo)只能適用于同質(zhì)總體。2.用組平均數(shù)補(bǔ)充說明總平均數(shù)。八、平均指標(biāo)的運(yùn)用原則3.用分配數(shù)列補(bǔ)充說明平均數(shù)

據(jù)統(tǒng)計(jì)，某市2月份商品住宅均價(jià)為每平方米4969元，比一月的5043元下降了74元，且市區(qū)商品住宅銷售量占全市商品住宅銷售量的比例從今年1月的66%持續(xù)下滑到2月份的48%。但從該市各區(qū)看，情況卻正好相反，各區(qū)的商品住宅均價(jià)都較1月份增長了月份一月二月增長率％市區(qū)56905987＋5.22郊區(qū)37874030＋6.42例某工業(yè)部門100個(gè)企業(yè)年度利潤計(jì)劃完成程度資料如下：按計(jì)劃完成程度分組(%)企業(yè)數(shù)85-89.9290-94.9895-99.910100-104.940105-109.930110-114.910合計(jì)100

經(jīng)計(jì)算，100個(gè)企業(yè)年度平均利潤計(jì)劃完成程度為103.35％。3.用分配數(shù)列補(bǔ)充說明平均數(shù)例

？思考你在公路部門工作，你想向省長報(bào)告收到26條公路投資項(xiàng)目的平均值是多少。其中一條公路收到的資助額最大（2200萬元），另外的25個(gè)，每項(xiàng)投資在20萬到100萬之間，均值是110萬，眾數(shù)是20萬。你會(huì)選擇那一種平均數(shù)來代表每一條高速公路從政府獲得的投資呢？這種選擇的缺點(diǎn)是什么？①標(biāo)志變動(dòng)度是評(píng)價(jià)平均數(shù)代表性的依據(jù)。2.作用：1.概念：標(biāo)志變動(dòng)度是指總體中各單位標(biāo)志值差別大小的程度，又稱離散程度或離中程度。一、標(biāo)志變動(dòng)度的意義、作用和種類

第四節(jié)標(biāo)志變動(dòng)度甲、乙兩學(xué)生某次考試成績列表語文數(shù)學(xué)物理化學(xué)政治英語甲959065707585乙1107095508075

甲、乙兩學(xué)生的平均成績?yōu)?0分，集中趨勢一樣，但是他們偏離平均數(shù)的程度卻不一樣。乙組數(shù)據(jù)的離散程度大，數(shù)據(jù)分布越分散，平均數(shù)的代表性就越差；甲組數(shù)據(jù)的離散程度小，數(shù)據(jù)分布越集中，平均數(shù)的代表性越大。例②標(biāo)志變動(dòng)度可用來反映社會(huì)生產(chǎn)和其他社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)過程的均衡性或協(xié)調(diào)性，以及產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定程度。

供貨計(jì)劃完成百分比(%)季度總供貨計(jì)劃執(zhí)行結(jié)果一月二月三月鋼廠甲100323434乙100203050例3.種類即測定標(biāo)志變動(dòng)度的方法,主要有：全距、四分位差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差、離散系數(shù)等。

全距 R四分位差 Q.D.平均差 A.D.標(biāo)準(zhǔn)差 S.D.(σ)離散系數(shù) Vσ①優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算方便，易于理解。②缺點(diǎn)：全距只考慮數(shù)列兩端數(shù)值差異，它是測定標(biāo)志變動(dòng)度的一種粗略方法，不能全面反映總體各單位標(biāo)志的變異程度。1.全距是總體各單位標(biāo)志值最大值和最小值之差,2.全距的特點(diǎn)二、全距R①根據(jù)未分組資料求Q.D.2.計(jì)算：1.概念：將總體各單位的標(biāo)志值按大小順序排列，然后將數(shù)列分為四等分，形成三個(gè)分割點(diǎn)(Q1、Q2、Q3)，這三個(gè)分割點(diǎn)稱為四分位數(shù)，(其中第二個(gè)四分位數(shù)Q2就是數(shù)列的中位數(shù)Me)。

四分位差

Q.D.=Q3-Q1三、四分位差Q.D.例②根據(jù)分組資料求Q.D.

2)若單項(xiàng)數(shù)列，則Q1與Q3所在組的標(biāo)志值就是Q1與Q3的數(shù)值；

若組距數(shù)列，確定了Q1與Q3所在組后，還要用以下公式求近似值：根據(jù)某車間工人日產(chǎn)零件分組資料，求Q.D.按日產(chǎn)零件分組(件)工人數(shù)(人)累計(jì)工人數(shù)(人)5-10121210-15465815-20369420-256100合計(jì)100-這表明有一半工人的日產(chǎn)量分布在11.41件至17.36件之間，且相差5.95件。例①四分位差不受兩端各25%數(shù)值的影響，能對開口組數(shù)列的差異程度進(jìn)行測定；②用四分位差可以衡量中位數(shù)的代表性高低；③四分位差不反映所有標(biāo)志值的差異程度，它所描述的只是次數(shù)分配中一半的離差，所以也是一個(gè)比較粗略的指標(biāo)。3.四分位差的特點(diǎn)

平均差是數(shù)列中各單位標(biāo)志值與平均數(shù)之間絕對離差的平均數(shù)。1.概念和計(jì)算：四、平均差A(yù).D.以某車間100個(gè)工人按日產(chǎn)量編成變量數(shù)列的資料：工人按日產(chǎn)量分組(千克)工人數(shù)(人)f組中值XXf20-30525125-178530-4035351225-724540-5045452025313550-60155582513195合計(jì)100-4200-660例①平均差是根據(jù)全部標(biāo)志值與平均數(shù)離差而計(jì)算出來的變異指標(biāo)，能全面反映標(biāo)志值的差異程度；②平均差越大，說明數(shù)據(jù)的離散程度越大；反之，則說明數(shù)據(jù)的離散程度越小。2.平均差的特點(diǎn)③為了避免離差之和等于0而無法計(jì)算平均差這一問題，平均差在計(jì)算時(shí)對離差取了絕對值，以離差的絕對值來表示總離差，這給計(jì)算帶來了不便。同時(shí)平均差在數(shù)學(xué)性質(zhì)上也不是最優(yōu)的，因而實(shí)際中應(yīng)用較少。

標(biāo)準(zhǔn)差是離差平方平均數(shù)的平方根，故又稱“均方差”。其意義與平均差基本相同。1.概念和計(jì)算：五、標(biāo)準(zhǔn)差S.D.(σ)計(jì)算σ的一般步驟：①算出每個(gè)變量值對平均數(shù)的離差；②將每個(gè)離差平方；③計(jì)算這些平方數(shù)值的算術(shù)平均數(shù)；④把得到的數(shù)值開平方，即得到σ。

工人按日產(chǎn)量分組(千克)工人數(shù)(人)f組中值X50-601055-27.627628.64460-701965-17.625898.823670-805075-7.622903.918480-9036852.38203.918490-100279512.384138.1388100-1101410522.387012.1016110以上811532.388387.7152合計(jì)164--36172.5616例標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用：

1.測定偏度2.標(biāo)準(zhǔn)分：比較蘋果和桔子假設(shè)某同學(xué)的數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)考試成績資料如下：你認(rèn)為該同學(xué)考試成績就全班而言，哪門課程考得比較好，為什么？考試成績?nèi)嗥骄秩喑煽儤?biāo)準(zhǔn)差數(shù)學(xué)807510統(tǒng)計(jì)學(xué)75705

離散系數(shù)，是各種變異指標(biāo)與平均數(shù)的比率。反映總體各單位標(biāo)志值的相對離散程度，最常用的是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。六、離散系數(shù)Vσ例一.判斷題

1．平均數(shù)反映了總體分布的集中趨勢，它是總體分布的重要特征值。()

2．當(dāng)各組的單位數(shù)相等時(shí)，各組單位數(shù)所占比重相等，權(quán)數(shù)的作用相等，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就等于簡單算術(shù)平均數(shù)。()3.幾何平均數(shù)是計(jì)算平均比率和平均速度的比較適用的一種方法。（）4．各變量值的次數(shù)相同時(shí)，眾數(shù)不存在。（）5．標(biāo)志變異指標(biāo)說明變量的集中趨勢。（）6．如果根據(jù)組距式分組資料計(jì)算變異全距則計(jì)算式為：

變異全距＝最高組的上限—最低組的下限（）7．平均差是各標(biāo)志值對其算術(shù)平均數(shù)的離差的

平均數(shù)。()

8．標(biāo)準(zhǔn)差是總體中各單位標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)

離差平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。()

9．標(biāo)準(zhǔn)差的實(shí)質(zhì)與平均差基本相同，也是各個(gè)標(biāo)志值對其算術(shù)平均數(shù)的平均距離。()(二）單項(xiàng)選擇題1．平均指標(biāo)是指同類社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象在一定時(shí)間、地點(diǎn)和條件下(）①復(fù)雜的總體數(shù)量的總和水平②可比的總體數(shù)量的相對水平③總體內(nèi)各單位數(shù)量差異抽象化的代表水平④總體內(nèi)各單位數(shù)量差異程度的相對水平2．算術(shù)平均數(shù)的分子和分母是()①兩個(gè)有聯(lián)系的而性質(zhì)不同的總體總量②分子是總體單位總量，分母是總體標(biāo)準(zhǔn)總量③分子是總體標(biāo)志總量，分母是另一總體單位總量④是同一總體的標(biāo)志總量和總體單位總量4．平均數(shù)反映了總體(）

①分布的集中趨勢

②分布的變動(dòng)趨勢

③各組權(quán)數(shù)不等

④各組變量值之差相等

3．下列指標(biāo)中，不屬于平均數(shù)有()

①某省人均糧食產(chǎn)量

②某省人均糧食消費(fèi)量

③某企業(yè)職工的人均工資收入

④某企業(yè)個(gè)人勞動(dòng)生產(chǎn)率5.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的大小受各組（）

（1）次數(shù)f的影響最大

（2）標(biāo)志值x的影響最大

（3）權(quán)數(shù)的影響最大

（4）次數(shù)f和標(biāo)志值x的共同影響

6.根據(jù)同一分組資料計(jì)算簡單算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)

平均數(shù)其結(jié)果相同，是因?yàn)椋ǎ?）各組權(quán)數(shù)不等（2）各組權(quán)數(shù)相等（3）各組變量值之差相等（4）變量值大致相等7.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式中

的權(quán)數(shù)是（）（1）f（2）（3）（4）8.根據(jù)平均指標(biāo)的確定方法和依據(jù)資料不同主要有5種，

其中()

（1）中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)是位置平均數(shù)

（2）眾數(shù)和調(diào)和平均數(shù)是位置平均數(shù)（3）算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)是位置平均數(shù)（4）中位數(shù)和眾數(shù)是位置平均數(shù)9．眾數(shù)就是所研究的變量數(shù)列中(）①具有最多次數(shù)的變量值②具有最少次數(shù)的變量值③具有中等次數(shù)的變量值④具有平均次數(shù)的變量值10．某年某市機(jī)械工業(yè)公司所屬三個(gè)企業(yè)計(jì)劃規(guī)定的產(chǎn)值分別為400萬元、600萬元、500萬元。執(zhí)行結(jié)果，計(jì)劃完成程度分別為108％、106％、108％，則該公司三個(gè)企業(yè)平均計(jì)劃完成程度為()11．標(biāo)志變異指標(biāo)說明變量的(）①變動(dòng)趨勢②集中趨勢

③離散趨勢④一般趨勢

12．標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)數(shù)值越小，則反映變量值()

①越分散，平均數(shù)代表性越低②越集中，平均數(shù)代表性越高

③越分散，平均數(shù)代表性越高④越集中，平均數(shù)代表性越低13．下列標(biāo)志變異指標(biāo)中易受極端值影響的是()

①全距②平均差

③標(biāo)準(zhǔn)差④標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)

14．標(biāo)志變異指標(biāo)中的平均差是各標(biāo)志值()

①離差的平均數(shù)

②對其算術(shù)平均數(shù)的平均離差

③對其算術(shù)平均數(shù)離差絕對值

④對其算術(shù)平均數(shù)離差絕對值的平均數(shù)15．標(biāo)志變異指標(biāo)中的標(biāo)準(zhǔn)差是各標(biāo)志值對

算術(shù)平均數(shù)的()

①離差平方的平均數(shù)②離差平均數(shù)的平方根

③離差平方平均數(shù)的平方根④離差平均數(shù)平方的平方根

16．在抽樣推斷中應(yīng)用比較廣泛的指標(biāo)是()

①全距②平均差

③標(biāo)準(zhǔn)差④標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)(三)多項(xiàng)選擇題1．平均指標(biāo)的顯著特點(diǎn)是(）①某一數(shù)量標(biāo)志在總體單位之間的數(shù)量差異抽象化②總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志的代表值③總體內(nèi)各單位的品質(zhì)標(biāo)志差異抽象化④總體指標(biāo)值的數(shù)量差異抽象化⑤異質(zhì)總體的各單位標(biāo)志值的差異抽象化2.簡單算術(shù)平均數(shù)所以簡單是因?yàn)?)

①所依以計(jì)算的資料已分組

②各變量值的頻率相等③各變量值的頻率不等

④所依以計(jì)算的資料未分組⑤各變量值的次數(shù)分布不同

3．加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式有(）

①②

③④4．加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的大小(）

①受各組次數(shù)多少的影響

②受各組標(biāo)志值大小的影響

③受各組標(biāo)志值和次數(shù)的共同影響

④不受各組標(biāo)志值的影響

⑤與各組次數(shù)分布多少無關(guān)系5.標(biāo)志變異指標(biāo)有（）（1）變異全距（2）平均差（3）標(biāo)準(zhǔn)差（4）標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)（5）相關(guān)系數(shù)（四）計(jì)算分析題

1.某廠400名職工工資如下按月工資分組（元）職工人數(shù)（人）450-550550-650650-750750-850850-950601001406040合計(jì)400根據(jù)上述資料計(jì)算該廠職工平均工資和標(biāo)準(zhǔn)差。解：職工人數(shù)f組中值xxf601001406040500600700800900300006000098000480003600019440006400056000864000193600040027200054400002.某縣去年年糧食產(chǎn)量資料如下：按單位面積產(chǎn)量分組（千克／公頃）播種面積比重3000以下3000-37503750-60006000以上0.050.350.400.20根據(jù)上表資料計(jì)算該縣糧食作物平均單位面積產(chǎn)量。解：x26253375487571250.050.350.40.2131.251181.251950.001425.001.004687.53.某地甲、乙兩個(gè)農(nóng)貿(mào)市場三種主要蔬菜價(jià)格及銷

售資料如下：品種價(jià)格（元／千克）甲銷售額(萬元）乙銷售額(萬元）ABC0.300.320.3675.040.045.037.580.045.0比較該地區(qū)哪個(gè)農(nóng)貿(mào)市場蔬菜平均價(jià)格高？并說明原因。解：品種價(jià)格x甲市場乙市場m比重%m比重ABC0.300.320.3675.040.045.0250.125.12550252537.580.045.0125250125255025合計(jì)160.0500100162.5500100

解：由于產(chǎn)品是由三個(gè)車間連續(xù)加工完成的，第二個(gè)車間加工的是第一個(gè)車間完工的合格品，第三個(gè)車間加工的又是第二個(gè)車間完工的合格品，因此，三個(gè)車間總合格品率是三個(gè)車間相應(yīng)合格品率的連乘積，求平均加工合格品率就不能采用算術(shù)平均法：

(95%+90%+98%)/3=94.333%。4.某產(chǎn)品需經(jīng)三個(gè)車間加工，已知第一個(gè)車間加工合格率為95%，第二個(gè)車間加工合格率為90%，第三個(gè)車間加工合格率為98%，求三個(gè)車間平均加工合格率。而應(yīng)當(dāng)用幾何平均法求三個(gè)車間的平均加工合格率。5.某地區(qū)抽樣調(diào)查職工家庭收入資料如下，計(jì)算職工

家庭平均每人月收入（算術(shù)平均數(shù)），并用下限公式

計(jì)算中位數(shù)和眾數(shù)。 按平均