第九章 能量法1

第一節(jié)桿件應(yīng)變能計算第二節(jié)功的互等定理及位移互等定理第三節(jié)卡氏第二定理第四節(jié)莫爾定理及圖乘法第九章能量方法初步第九章能量方法初步第一節(jié)桿件應(yīng)變能計算彈性體在外力作用下將發(fā)生變形，在變形過程中，一方面載荷將在相應(yīng)的位移上做功，稱為外力功，用W表示；另一方面，彈性體由于變形，在其內(nèi)部存儲了能量，這種因變形而存儲的能量稱為應(yīng)變能（變形能），用Vε或U表示。根據(jù)能量守恒定律:如果載荷是靜載，則應(yīng)變能在數(shù)值上應(yīng)等于外力功:利用這個能量原理和在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出的其他功、能關(guān)系，可以求解彈性體的變形、位移和內(nèi)力等，這種方法稱為能量法。功能原理第一節(jié)桿件應(yīng)變能計算預(yù)備知識：作用在彈性桿件上的力所作的常力功和變力功常力功

彈性體在平衡力系的作用下，在一定的變形狀態(tài)保持平衡，這時，如果某種外界因素使這一變形狀態(tài)發(fā)生改變，作用在彈性體上的力作功，是常力功:預(yù)備知識：作用在彈性桿件上的力所作的常力功和變力功變力功

作用在彈性桿件上的力，其加力點的位移，隨著桿件受力和變形的增加而增加，在這種情形下，力所作的功為變力功。對于材料滿足胡克定律、又在小變形條件下工作的彈性桿件，作用在桿件上的力與位移成線性關(guān)系。FPΔOFP預(yù)備知識：作用在彈性桿件上的力所作的常力功和變力功需要指出的是，上述功的表達式中，力和位移都是廣義的。FP可以是一個力，也可以是一個力偶；當(dāng)FP是一個力時，對應(yīng)的位移Δ是線位移，當(dāng)FP是一個力偶時，對應(yīng)的位移Δ是角位移。一、彈性應(yīng)變能的一般公式克拉貝依隆原理（ClapeyronLaw）：

線彈性體的應(yīng)變能等于每一個外力與其相應(yīng)的位移乘積的二分之一的總和。二、桿件的變形能計算1、軸向拉伸（壓縮）外力F作用是緩慢加載，F(xiàn)-DL關(guān)系符合胡克定律，呈線性關(guān)系當(dāng)加載至F，變形為DL時，外力作功為圖示的陰影部分面積。外力作功:變形能:二、桿件的變形能計算1、軸向拉伸（壓縮）若桿件中軸力為：FN當(dāng)桿件的軸力沿桿件的軸線發(fā)生變化時,dx微段的應(yīng)變能:整個拉伸桿件的應(yīng)變能:桿件的比能：二、桿件的變形能計算2、扭轉(zhuǎn)外力偶矩從0緩慢增加至最終值，圓軸的轉(zhuǎn)角j與外力偶矩T的關(guān)系也是一條斜直線。若當(dāng)扭矩沿軸線變化時，整個軸的應(yīng)變能為:則3、彎曲根據(jù)撓曲線近似微分方程，可計算兩端截面相對轉(zhuǎn)角:彎曲力偶所作的功是:純彎曲梁的應(yīng)變能：二、桿件的變形能計算二、桿件的變形能計算3、彎曲對于橫力彎曲，梁截面上同時有彎矩和剪力，且一般都隨截面位置變化，這時應(yīng)分別計算彎曲應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能.剪切應(yīng)變能:彎曲應(yīng)變能:但是在細長梁(l:h>10)下，剪切應(yīng)變能與彎曲應(yīng)變能相比，可以忽略不計。設(shè)切應(yīng)變?yōu)棣肒是無量綱的量，僅與截面形狀有關(guān)！兩種變形能的比較兩種變形能之比U2:U1=———12EIkGAl2矩形截面梁k=6/5I/A=h2/12所以U2:U1=

—(1+m)(—)2125hl若m=0.3,h/l=1/5,則U2:U1=0.125若m=0.3,h/l=1/10,則U2:U1=0.0312所以,剪切變形能通常可以忽略二、桿件的變形能計算根據(jù)軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)和彎曲的分析，應(yīng)變能可綜合寫成統(tǒng)一形式:

F廣義力

D廣義位移在線彈性情況下，廣義力和廣義位移之間是線性關(guān)系。對于非線性彈性材料組成的構(gòu)件，不能用上式計算變形能或外力功，而應(yīng)有下式計算：桿件在基本變形情況下的變形能：

變形形式外力功位移與力的關(guān)系變形能例9-1集中力F作用的矩形截面簡支梁如圖所示。比較其彎曲和剪切兩種應(yīng)變能，并在忽略切應(yīng)變能的情況下，求中點C的撓度wc。二、桿件的變形能計算二、桿件的變形能計算解：（1）分別求彎曲應(yīng)變能

和剪切應(yīng)變能首先求支座反力，由對稱性易知再求出剪力方程和彎矩方程由對稱性得：桿件的彎曲應(yīng)變能：剪切應(yīng)變能：二、桿件的變形能計算剪切應(yīng)變能與彎曲應(yīng)變能之比：矩形截面梁：因此，對于細長梁可以不考慮剪切應(yīng)變能。二、桿件的變形能計算（2）求中點C的撓度wc外力F做的功：桿件變形能：根據(jù)功能原理二、桿件的變形能計算例9-2如圖所示簡支梁，集中力F作用于C點，試用能量原理計算截面C的撓度wc。EI為常數(shù)。二、桿件的變形能計算[解]1、計算約束反力，寫出彎矩方程2、應(yīng)變能二、桿件的變形能計算3、外力作功4、根據(jù)功能原理二、桿件的變形能計算4、應(yīng)變能普通表達式組合變形情況下的應(yīng)變能

在所截取的微段內(nèi)，可以認為內(nèi)力為常量。軸力、剪力、彎矩、扭矩對微段來說是處于外力位置。所以注意：對以抗彎為主的桿件及桿系，因軸力和剪力遠小于彎矩對變形的影響，所以在計算這類桿件的變形時通常不計軸力和剪力的影響。二、桿件的變形能計算4、應(yīng)變能普通表達式整個桿的變形能思考：變形能的計算能不能用疊加原理

能量與內(nèi)力的平方成正比不同類型的能量可以疊加同類型的能量不可以疊加橫力彎曲時的剪切變形能通常忽略變形能計算的要點第二節(jié)功的互等定理及位移互等定理第九章能量方法初步第二節(jié)功的互等定理及位移互等定理一、功的互等定理對于線彈性體（梁、桁架、框架等），第一組力在第二組力引起的位移上所作的功，等于第二組力在第一組力引起的位移上所作的功。第二節(jié)功的互等定理及位移互等定理[證明]注:由于在F2作用之前F1已經(jīng)作用在梁上，因此F1在F2引起的位移D12上作功是常力作功F1

D12兩次加載作的功應(yīng)等于彈性體存儲的應(yīng)變能。而應(yīng)變能與加載次序無關(guān)（若有關(guān)，則和能量守恒相矛盾）。第二節(jié)功的互等定理及位移互等定理二、位移互等定理若F1=F2

F1作用點沿F1方向由于F2而引起的位移D12,等于F2作用點沿F2方向由于F1引起的位移D21.上述互等定理中的力和位移都應(yīng)理解為廣義的，如果力換成力偶，則相應(yīng)的位移應(yīng)當(dāng)是角位移。一個力作用在2點時，在1點所引起的位移等于該力作用在1點時，在2點所引起的位移.第二節(jié)功的互等定理及位移互等定理例9-3如圖所示懸臂梁，已知梁的抗彎剛度為EI,若B點的垂直位移為0，試用互等定理求FB第二節(jié)功的互等定理及位移互等定理[解]第一組力:F,FB第二組力:F0=1(單位力)根據(jù)功互等定理，第一組力在第二組力引起的位移作功等于第二組力在第一組力引起的位移作功計算D1,D2（第二組力，查P78表4-2）

第一組力在第二組力引起的位移上作功:第二節(jié)功的互等定理及位移互等定理第一組力在第二組力引起的位移上作功:第二組力在第一組力引起的位移上作功為0（第一組力引起B(yǎng)點位移為0）:由功的互等定理第二節(jié)功的互等定理及位移互等定理另解思路：

第一組力F，第二組力FB。

兩組力分別單獨作用時，在B點的撓度代數(shù)和為0，可列出兩組力之間的關(guān)系。

第二節(jié)功的互等定理及位移互等定理課堂練習(xí):如圖所示簡支梁，已知梁中點C作用F力時，B截面的轉(zhuǎn)角:試求在B截面作用力偶矩M時，C的撓度DC第二節(jié)功的互等定理及位移互等定理課堂練習(xí)解答根據(jù)功的互等定理，F(xiàn)力在M所引起的位移上所作的功等于M在F力所引起的位移（角位移）上所作的功，即方向向下第三節(jié)

卡氏第二定理第九章能量方法初步第三節(jié)

卡氏第二定理結(jié)構(gòu)因外力作用而存儲的應(yīng)變能：力Fi有一個增量dFi，則應(yīng)變能增量（功增量）略去高階小量第一組力第二組力根據(jù)功互等定理：若dFi趨于0卡氏第二定理(通常稱卡氏定理):線彈性桿件或桿系的應(yīng)變能對于作用在該桿系上某一載荷的變化率等于該載荷相關(guān)的位移。第三節(jié)卡氏第二定理若將結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能Vε表示為F1,F2,…Fi…的函數(shù)，則應(yīng)變能對任一載荷Fi的偏導(dǎo)數(shù)等于Fi的作用點沿Fi方向的位移Δi.2.梁：橫力彎曲1.桁架：各桿均受軸向力拉伸（壓縮）第三節(jié)卡氏第二定理卡氏定理的具體應(yīng)用：用卡氏定理求結(jié)構(gòu)某處位移時，該處需有與所求位移相應(yīng)的載荷（力或力偶），若該處沒有與此位移對應(yīng)的載荷，則可采用附加力法。第三節(jié)卡氏第二定理3.軸：扭轉(zhuǎn)即在該點沿位移方向虛設(shè)一個廣義力F,運用卡氏定理求廣義位移，求出位移