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文檔簡介
長風(fēng)破浪會有時,直掛云帆濟(jì)滄海。住在富人區(qū)的她2023年白城職業(yè)技術(shù)學(xué)院高職單招(數(shù)學(xué))試題庫含答案解析(圖片大小可自由調(diào)整)全文為Word可編輯,若為PDF皆為盜版,請謹(jǐn)慎購買!第1卷一.綜合題(共50題)1.已知二元一次方程組a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的增廣矩陣是1-11113,則此方程組的解是______.答案:由題意,方程組
x-
y=1x+y=3解之得x=2y=1故為x=2y=12.對任意實數(shù)x,y,定義運(yùn)算x*y為:x*y=ax+by+cxy,其中a,b,c為常數(shù),等式右端運(yùn)算為通常的實數(shù)加法和乘法,現(xiàn)已知1*2=3,2*3=4,并且有一個非零實數(shù)m,使得對于任意的實數(shù)都有x*m=x,則d的值為(
)
A.4
B.1
C.0
D.不確定答案:A3.兩條直線l1:x-3y+2=0與l2:x-y+2=0的夾角的大小是______.答案:由于兩條直線l1:x-3y+2=0與l2:x-y+2=0的斜率分別為33、1,設(shè)兩條直線的夾角為θ,則tanθ=|k2-k11+k2?k1|=|1-331+1×33|=3-33+3=2-3,∴tan2θ=2tanθ1-tan2θ=33,∴2θ=π6,θ=π12,故為π12.4.設(shè)a、b∈R+且a+b=3,求證1+a+1+b≤10.答案:證明:證法一:(綜合法)∵(1+a+1+b)2=2+a+b+2(1+a)?(1+b)≤5+(1+a+1+b)=10∴1+a+1+b≤10證法二:(分析法)∵a、b∈R+且a+b=3,∴欲證1+a+1+b≤10只需證(1+a+1+b)2≤10即證2+a+b+2(1+a)?(1+b)≤10即證2(1+a)?(1+b)≤5只需證4(1+a)?(1+b)≤25只需證4(1+a)?(1+b)≤25即證4(1+a+b+ab)≤25只需證4ab≤9即證ab≤94∵ab≤(a+b2)2=(32)2=94成立∴1+a+1+b≤10成立5.函數(shù)y=ax+b和y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)的圖象只可能是()A.
B.
C.
D.
答案:對于A:函數(shù)y=ax+b遞增可得a>0,0<b<1;函數(shù)y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)遞減可得0<b<1且a>0故A正確對于B:函數(shù)y=ax+b遞增可得a>0,b>1;函數(shù)y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)遞減可得0<b<1且a>0,矛盾,故B不正確對于C:函數(shù)y=ax+b遞減可得a<0,0<b<1;函數(shù)y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)遞減可得0<b<1且a>0,矛盾,故C不正確對于D:函數(shù)y=ax+b遞減可得a<0,b>1;函數(shù)y=bax(a≠0,b>0,且b≠1)遞增可得b>1且a>0,矛盾,故D不正確故選A6.已知平面內(nèi)一動點P到F(1,0)的距離比點P到y(tǒng)軸的距離大1.
(1)求動點P的軌跡C的方程;
(2)過點F的直線交軌跡C于A,B兩點,交直線x=-1于M點,且MA=λ1AF,MB=λ2BF,求λ1+λ2的值.答案:(1)由題意知動點P到F(1,0)的距離與直線x=-1的距離相等,由拋物線定義知,動點P在以F(1,0)為焦點,以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線上,方程為y2=4x.(2)由題設(shè)知直線的斜線存在,設(shè)直線AB的方程為:y=k(x-1),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x-1)y2=4x,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,∵x1+x2=2(k2+2)k2,x1x2=1,由MA=λ1AF,得k2x2-2(k2+2)x+k2=0,∴x1+x2=2(k2+2)k2,x1x2=1,由MA=λ1AF,得λ1=-1-2x2-1,同理λ2=-1-2x2-1,∴λ1+λ2=-2-2(1x1-1+1x2-1)=0.7.已知函數(shù)f(x)=x+3x+1(x≠-1).設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=f(an),數(shù)列{bn}滿足bn=|an-3|,Sn=b1+b2+…+bn(n∈N*).
(Ⅰ)用數(shù)學(xué)歸納法證明bn≤(3-1)n2n-1;
(Ⅱ)證明Sn<233.答案:證明:(Ⅰ)當(dāng)x≥0時,f(x)=1+2x+1≥1.因為a1=1,所以an≥1(n∈N*).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式bn≤(3-1)n2n-1.(1)當(dāng)n=1時,b1=3-1,不等式成立,(2)假設(shè)當(dāng)n=k時,不等式成立,即bk≤(3-1)k2k-1.那么bk+1=|ak+1-3|=(3-1)|ak-3|1+ak3-12bk≤(3-1)k+12k.所以,當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.根據(jù)(1)和(2),可知不等式對任意n∈N*都成立.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn≤(3-1)n2n-1.所以Sn=b1+b2+…+bn≤(3-1)+(3-1)22+…+(3-1)n2n-1=(3-1)?1-(3-12)n1-3-12<(3-1)?11-3-12=233.故對任意n∈N*,Sn<233.8.下列語句不屬于基本算法語句的是()
A.賦值語句
B.運(yùn)算語句
C.條件語句
D.循環(huán)語句答案:B9.已知拋物線C1:x2=2py(p>0)上縱坐標(biāo)為p的點到其焦點的距離為3.
(Ⅰ)求拋物線C1的方程;
(Ⅱ)過點P(0,-2)的直線交拋物線C1于A,B兩點,設(shè)拋物線C1在點A,B處的切線交于點M,
(?。┣簏cM的軌跡C2的方程;
(ⅱ)若點Q為(?。┲星€C2上的動點,當(dāng)直線AQ,BQ,PQ的斜率kAQ,kBQ,kPQ均存在時,試判斷kPQkAQ+kPQkBQ是否為常數(shù)?若是,求出這個常數(shù);若不是,請說明理由.答案:(Ⅰ)由題意得p+p2=3,則p=2,…(3分)所以拋物線C1的方程為x2=4y.
…(5分)(Ⅱ)(?。┰O(shè)過點P(0,-2)的直線方程為y=kx-2,A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx-2x2=4y得x2-4kx+8=0.由△>0,得k<-2或k>2,x1+x2=4k,x1x2=8.…(7分)拋物線C1在點A,B處的切線方程分別為y-y1=x12(x-x1),y-y2=x22(x-x2),即y=x12x-x214,y=x22x-x224,由y=x12x-x214y=x22x-x224得x=x1+x22=2ky=x1x24=2.所以點M的軌跡C2的方程為y=2
(x<-22或x>22).…(10分)(ⅱ)設(shè)Q(m,2)(|m|>22),則kPQ=4m,kAQ=y1-2x1-m,kBQ=y2-2x2-m.…(11分)所以kPQkAQ+kPQkBQ=4m(1kAQ+1kBQ)=4m(x1-my1-2+x2-my2-2)…(12分)=4m[(x1-m)(y2-2)+(x2-m)(y1-2)(y1-2)(y2-2)]=4m[2kx1x2-(mk+4)(x1+x2)+8mk2x1x2-4k(x1+x2)+16]=4m[16k-(mk+4)?4k+8m8k2-4k?4k+16]=4m[8m-4mk216-8k2]=4m[4m(2-k2)8(2-k2)]=2,即kPQkAQ+kPQkBQ為常數(shù)2.
…(15分)10.若2x+3y=1,求4x2+9y2的最小值,并求出最小值點.答案:由柯西不等式(4x2+9y2)(12+12)≥(2x+3y)2=1,∴4x2+9y2≥12.當(dāng)且僅當(dāng)2x?1=3y?1,即2x=3y時取等號.由2x=3y2x+3y=1得x=14y=16∴4x2+9y2的最小值為12,最小值點為(14,16).11.在同一坐標(biāo)系下,函數(shù)y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的圖象如圖,則a、b、c、d、1之間從小到大的順序是______.答案:作直線x=1與各圖象相交,交點的縱坐標(biāo)即為底數(shù),故從下到上依次增大.所以b<a<1<d<c故為:b,a,1,d,c12.若矩陣滿足下列條件:①每行中的四個數(shù)所構(gòu)成的集合均為{1,2,3,4};②四列中有且只有兩列的上下兩數(shù)是相同的.則這樣的不同矩陣的個數(shù)為()
A.24
B.48
C.144
D.288答案:C13.已知點G是△ABC的重心,過G作直線與AB,AC兩邊分別交于M,N兩點,且,則的值()
A.3
B.
C.2
D.答案:B14.已知2,4,2x,4y四個數(shù)的平均數(shù)是5而5,7,4x,6y四個數(shù)的平均數(shù)是9,則xy的值是______.答案:因為2,4,2x,4y四個數(shù)的平均數(shù)是5,則2+4+2x+4y=4×5,又由5,7,4x,6y四個數(shù)的平均數(shù)是9,則5+7+4x+6y=4×9,x與y滿足的關(guān)系式為x+2y=72x+3y=12解得x=3y=2故為6.15.設(shè)a=(2,2m-3,n+2),b=(4,2m+1,3n-2),且a∥b,則實數(shù)m,n的值分別為______.答案:因為a=(2,2m-3,n+2),b=(4,2m+1,3n-2),且a∥b,根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)表示公式,
所以24=2m-32m+124=n+23n-2,解得:m=12,n=6.故為:m=12,n=6.16.已知橢圓的短軸長等于2,長軸端點與短軸端點間的距離等于5,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是______.答案:由題意可得2b=2a2+b2=(5)2,解得b=1a=2.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x24+y2=1或y24+x2=1.故為x24+y2=1或y24+x2=1.17.(文)若拋物線y2=2px的焦點與橢圓x26+y22=1的右焦點重合,則實數(shù)p的值是______.答案:∵x26+y22=1
中a2=6,b2=2,∴c2=4,c=2∴右焦點坐標(biāo)為(2,0)∵拋物線y2=2px的焦點與橢圓x26+y22=1的右焦點重合∴拋物線y2=2px中p=4故為418.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中,點M(ρ,θ)關(guān)于極點的對稱點的極坐標(biāo)是______.答案:由點的極坐標(biāo)的意義可得,點M(ρ,θ)關(guān)于極點的對稱點到極點的距離等于ρ,極角為π+θ,故點M(ρ,θ)關(guān)于極點的對稱點的極坐標(biāo)是(ρ,π+θ),故為(ρ,π+θ).19.袋中有4個形狀大小一樣的球,編號分別為1,2,3,4,從中任取2個球,則這2個球的編號之和為偶數(shù)的概率為()A.16B.23C.12D.13答案:根據(jù)題意,從4個球中取出2個,其編號的情況有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6種;其中編號之和為偶數(shù)的有(1,3),(2,4),共2種;則2個球的編號之和為偶數(shù)的概率P=26=13;故選D.20.給出函數(shù)f(x)的一條性質(zhì):“存在常數(shù)M,使得|f(x)|≤M|x|對于定義域中的一切實數(shù)x均成立.”則下列函數(shù)中具有這條性質(zhì)的函數(shù)是()A.y=1xB.y=x2C.y=x+1D.y=xsinx答案:根據(jù)|sinx|≤1可知|y|=|xsinx|=|x||sinx|≤|x|永遠(yuǎn)成立故選D.21.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),滿足條件(c-a)?(2b)=-2,則x=______.答案:c-a=(0,0,1-x),(c-a)?(2b)
=(2,4,2)?(0,0,1-x)=2(1-x)=-2,解得x=2,故為2.22.若關(guān)于x的方程x2-2ax+2+a=0有兩個不相等的實根,求分別滿足下列條件的a的取值范圍.
(1)方程兩根都大于1;
(2)方程一根大于1,另一根小于1。答案:解:設(shè)f(x)=x2-2ax+2+a,(1)∵兩根都大于1,∴,解得:2<a<3;(2)∵方程一根大于1,一根小于1,∴f(1)<0,∴a>3。23.設(shè)是的相反向量,則下列說法一定錯誤的是()
A.∥
B.與的長度相等
C.是的相反向量
D.與一定不相等答案:D24.一圓形紙片的圓心為O,點Q是圓內(nèi)異于O點的一個定點,點A是圓周上一動點,把紙片折疊使得點A與點Q重合,然后抹平紙片,折痕CD與OA交于點P,當(dāng)點A運(yùn)動時,點P的軌跡為()
A.橢圓
B.雙曲線
C.拋物線
D.圓答案:A25.拋物線x=14ay2的焦點坐標(biāo)為()A.(116a,0)B.(a,0)C.(0,116a)D.(0,a)答案:拋物線x=14ay2可化為:y2=4ax,它的焦點坐標(biāo)是(a,0)故選B.26.已知下列命題(其中a,b為直線,α為平面):
①若一條直線垂直于一個平面內(nèi)無數(shù)條直線,則這條直線與這個平面垂直;
②若一條直線平行于一個平面,則垂直于這條直線的直線必垂直于這個平面;
③若a∥α,b⊥α,則a⊥b;
④若a⊥b,則過b有且只有一個平面與a垂直.
上述四個命題中,真命題是()A.①,②B.②,③C.②,④D.③,④答案:①平面內(nèi)無數(shù)條直線均為平行線時,不能得出直線與這個平面垂直,將“無數(shù)條”改為“所有”才正確;故①錯誤;②垂直于這條直線的直線與這個平面可以是任何的位置關(guān)系,有可能是平行、相交、線在面內(nèi),故②錯誤.③若a∥α,b⊥α,則必有a⊥b,正確;④若a⊥b,則過b有且只有一個平面與a垂直,顯然正確.故選D.27.已知函數(shù)y=與y=ax2+bx,則下列圖象正確的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案:C28.如圖所示,設(shè)k1,k2,k3分別是直線l1,l2,l3的斜率,則()
A.k1<k2<k3
B.k3<k1<k2
C.k3<k2<k1
D.k1<k3<k2
答案:C29.高二年級某班有男生36人,女生28人,從中任選一位同學(xué)為數(shù)學(xué)科代表,則不同選法的種數(shù)是()A.36B.28C.64D.1008答案:高二年級某班有男生36人,女生28人,即共有64人,從中任選一位同學(xué)為數(shù)學(xué)科代表,則不同選法的種數(shù)64,故選C.30.若函數(shù)y=f(x)的定義域是[2,4],則y=f(log12x)的定義域是()A.[12,1]B.[4,16]C.[116,14]D.[2,4]答案:∵y=f(log12x),令log12x=t,∴y=f(log12x)=f(t),∵函數(shù)y=f(x)的定義域是[2,4],∴y=f(t)的定義域也為[2,4],即2≤t≤4,∴有2≤log12x≤4,解得:116≤x≤14,∵函數(shù)的定義域即解析式中自變量的取值范圍,∴y=f(log12x)的定義域為116≤x≤14,即:[116,14].故選C.31.在平行四邊形ABCD中,對角線AC與BD交于點O,AB+AD=λAO,則λ=______.答案:∵四邊形ABCD為平行四邊形,對角線AC與BD交于點O,∴AB+AD=AC,又O為AC的中點,∴AC=2AO,∴AB+AD=2AO,∵AB+AD=λAO,∴λ=2.故為:2.32.中心在坐標(biāo)原點,離心率為的雙曲線的焦點在y軸上,則它的漸近線方程為()
A.
B.
C.
D.答案:D33.|a|=4,a與b的夾角為30°,則a在b方向上的投影為______.答案:a在b方向上的投影為|a|cos30°=4×32=23故為:2334.若直線ax+by+c=0(a,b,c都是正數(shù))與圓x2+y2=1相切,則以a,b,c為邊長的三角形是()
A.銳角三角形
B.直角三角形
C.鈍角三角形
D.不能確定答案:B35.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別為AB、B1C的中點.用AB、AD、AA1表示向量MN,則MN=______.答案:∵M(jìn)N=MB+BC+CN=12AB+AD+12(CB+BB1)=12AB+AD+12(-AD+AA1)=12AB+12AD+12AA1.故為12AB+12AD+12AA1.36.下列函數(shù)中,與函數(shù)y=x(x≥0)有相同圖象的一個是()A.y=x2B.y=(x)2C.y=3x3D.y=x2x答案:一個函數(shù)與函數(shù)y=x
(x≥0)有相同圖象時,這兩個函數(shù)應(yīng)是同一個函數(shù).A中的函數(shù)和函數(shù)y=x
(x≥0)的值域不同,故不是同一個函數(shù).B中的函數(shù)和函數(shù)y=x
(x≥0)具有相同的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系,故是同一個函數(shù).C中的函數(shù)和函數(shù)y=x
(x≥0)的值域不同,故不是同一個函數(shù).D中的函數(shù)和函數(shù)y=x
(x≥0)的定義域不同,故不是同一個函數(shù).綜上,只有B中的函數(shù)和函數(shù)y=x
(x≥0)是同一個函數(shù),具有相同的圖象,故選B.37.已知向量a與向量b,|a|=2,|b|=3,a、b的夾角為60°,當(dāng)1≤m≤2,0≤n≤2時,|ma+nb|的最大值為______.答案:∵|a|=2,|b|=3,a、b的夾角為60°,∴|ma+nb|2=m2a2+2mna?b+n2b2=4m2+2mn×2×3×cos60°+9n2=4m2+6mn+9n2,∵1≤m≤2,0≤n≤2,∴當(dāng)m=2且n=2時,|ma+nb|2取到最大值,即|ma+nb|2max=100,∴,|ma+nb|的最大值為10.故為:10.38.一平面截球面產(chǎn)生的截面形狀是______;它截圓柱面所產(chǎn)生的截面形狀是______.答案:根據(jù)球的幾何特征,一平面截球面產(chǎn)生的截面形狀是圓;當(dāng)平面與圓柱的底面平行時,截圓柱面所產(chǎn)生的截面形狀為圓;當(dāng)平面與圓柱的底面不平行時,截圓柱面所產(chǎn)生的截面形狀為橢圓;故為:圓,圓或橢圓39.已知a、b、c為某一直角三角形的三條邊長,c為斜邊.若點(m,n)在直線ax+by+2c=0上,則m2+n2的最小值是______.答案:根據(jù)題意可知:當(dāng)(m,n)運(yùn)動到原點與已知直線作垂線的垂足位置時,m2+n2的值最小,由三角形為直角三角形,且c為斜邊,根據(jù)勾股定理得:c2=a2+b2,所以原點(0,0)到直線ax+by+2c=0的距離d=|0+0+2c|a2+b2=2,則m2+n2的最小值為4.故為:4.40.安排6名演員的演出順序時,要求演員甲不第一個出場,也不最后一個出場,則不同的安排方法種數(shù)是()
A.120
B.240
C.480
D.720答案:C41.設(shè)橢圓(m>0,n>0)的右焦點與拋物線y2=8x的焦點相同,離心率為,則此橢圓的方程為(
)
A.
B.
C.
D.答案:B42.甲、乙兩人投籃,投中的概率分別為0.6,0.7,若兩人各投2次,則兩人都投中1次的概率為______.答案:兩人都投中1次的概率為C210.6×0.4×C210.7×0.3=0.2016故為:0.201643.已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點,D為BC邊中點,且,那么(
)
A.
B.
C.
D.2
答案:A44.某項考試按科目A、科目B依次進(jìn)行,只有當(dāng)科目A成績合格時,才可繼續(xù)參加科目B的考試.已知每個科目只允許有一次補(bǔ)考機(jī)會,兩個科目成績均合格方可獲得證書.現(xiàn)某人參加這項考試,科目A每次考試成績合格的概率均為23,科目B每次考試成績合格的概率均為12.假設(shè)各次考試成績合格與否均互不影響.
(Ⅰ)求他不需要補(bǔ)考就可獲得證書的概率;
(Ⅱ)在這項考試過程中,假設(shè)他不放棄所有的考試機(jī)會,記他參加考試的次數(shù)為ξ,求ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ.答案:設(shè)“科目A第一次考試合格”為事件A1,“科目A補(bǔ)考合格”為事件A2;“科目B第一次考試合格”為事件B1,“科目B補(bǔ)考合格”為事件B2.(Ⅰ)不需要補(bǔ)考就獲得證書的事件為A1?B1,注意到A1與B1相互獨立,根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率可得P(A1?B1)=P(A1)×P(B1)=23×12=13.即該考生不需要補(bǔ)考就獲得證書的概率為13.(Ⅱ)由已知得,ξ=2,3,4,注意到各事件之間的獨立性與互斥性,根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率可得P(ξ=2)=P(A1?B1)+P(.A1?.A2)=23×12+13×13=13+19=49.P(ξ=3)=P(A1?.B1?B2)+P(A1?.B1?.B2)+P(.A1?A2?B2)=23×12×12+23×12×12+13×23×12=16+16+19=49,P(ξ=4)=P(.A1?A2?.B2?B2)+P(.A1?A2?.B1?.B2)=13×23×12×12+13×23×12×12=118+118=19,∴Eξ=2×49+3×49+4×19=83.即該考生參加考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為83.45.已知兩條直線l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a為實數(shù),當(dāng)這兩條直線的夾角在(0,)內(nèi)變動時,a的取值范圍是(
)
A.(0,1)
B.
C.
D.答案:C46.已知三個數(shù)a=60.7,b=0.76,c=log0.76,則a,b,c從小到大的順序為______.答案:因為a=60.7>60=1,b=0.76<0.70=1,且b>0,c=log0.76<0,所以c<b<a.故為c<b<a.47.參數(shù)方程x=cosαy=1+sinα(α為參數(shù))化成普通方程為
______.答案:∵x=cosαy=1+sinα(α為參數(shù))∴x2+(y-1)2=cos2α+sin2α=1.即:參數(shù)方程x=cosαy=1+sinα(α為參數(shù))化成普通方程為:x2+(y-1)2=1.故為:x2+(y-1)2=1.48.在△ABC中,AB=2,AC=1,D為BC的中點,則AD?BC=______.答案:AD?BC=AB+AC2?(AC-AB)=AC2-AB22=1-42=-32,故為:-32.49.設(shè)a,b,c為正數(shù),利用排序不等式證明a3+b3+c3≥3abc.答案:證明:不妨設(shè)a≥b≥c>0,∴a2≥b2≥c2,由排序原理:順序和≥反序和,得:a3+b3≥a2b+b2a,b3+c3≥b2c+c2b,c3+a3≥a2c+c2a三式相加得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2).又a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.所以2(a3+b3+c3)≥6abc,∴a3+b3+c3≥3abc.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立.50.為求方程x5-1=0的虛根,可以把原方程變形為(x-1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)=0,由此可得原方程的一個虛根為______.答案:由題可知(x-1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)=(x-1)[x4+(a+b)x3+(2+ab)x2+(a+b)x+1]比較系數(shù)可得a+b=1ab+2=1,∴a=1+52,b=1-52∴原方程的一個虛根為-1-5±10-25i4,-1+5±10+25i4中的一個故為:-1-5+10-25i4.第2卷一.綜合題(共50題)1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線關(guān)于x軸對稱,頂點在原點O,且過點P(2,4),則該拋物線的方程是______.答案:設(shè)所求拋物線方程為y2=ax,依題意42=2a∴a=8,故所求為y2=8x.故為:y2=8x2.已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,|2a+b|=則a與b的夾角為()
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°答案:C3.平面上動點M到定點F(3,0)的距離比M到直線l:x+1=0的距離大2,則動點M滿足的方程()
A.x2=6y
B.x2=12y
C.y2=6x
D.y2=12x答案:D4.某廠一批產(chǎn)品的合格率是98%,檢驗單位從中有放回地隨機(jī)抽取10件,則計算抽出的10件產(chǎn)品中正品數(shù)的方差是______.答案:用X表示抽得的正品數(shù),由于是有放回地隨機(jī)抽取,所以X服從二項分布B(10,0.98),所以方差D(X)=10×0.98×0.02=0.196故為:0.196.5.已知|log12x+4i|≥5,則實數(shù)x
的取值范圍是______.答案:由題意,得(log12x)2+42≥5?|log12x|≥3?0<x≤18或x≥8.∴則實數(shù)x
的取值范圍是0<x≤18或x≥8.故為:0<x≤18或x≥8.6.一牧場有10頭牛,因誤食含有病毒的飼料而被感染,已知該病的發(fā)病率為0.02.設(shè)發(fā)病的牛的頭數(shù)為ξ,則Dξ=______;.答案:∵由題意知該病的發(fā)病率為0.02,且每次實驗結(jié)果都是相互獨立的,∴ξ~B(10,0.02),∴由二項分布的方差公式得到Dξ=10×0.02×0.98=0.196.故為:0.1967.一個容量為n的樣本,分成若干組,已知某數(shù)的頻數(shù)和頻率分別為40、0.125,則n的值為()A.640B.320C.240D.160答案:由頻數(shù)、頻率和樣本容量之間的關(guān)系得到,40n=0.125,∴n=320.故選B.8.向量a=(2,-1,4)與b=(-1,1,1)的夾角的余弦值為______.答案:∵a?b=-2-1+4=1,|a|=22+1+42=21,|b|=3.∴cos<a,b>=a?b|a|
|b|=121?3=721.故為721.9.設(shè)復(fù)數(shù)z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,試求實數(shù)m的取值范圍,使得:
(1)z是純虛數(shù);
(2)z是實數(shù);
(3)z對應(yīng)的點位于復(fù)平面的第二象限.答案:(1)若z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i是純虛數(shù),則可得lg(m2-2m-2)=0m2+3m+2≠0,即m2-2m-2=1m2+3m+2≠0,解之得m=3(舍去-1);…(3分)(2)若z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i是實數(shù),則可得m2+3m+2=0,解之得m=-1或m=-2…(6分)(3)∵z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i對應(yīng)的點坐標(biāo)為(lg(m2-2m-2),m2+3m+2)∴若該對應(yīng)點位于復(fù)平面的第二象限,則可得lg(m2-2m-2)<0m2+3m+2>0,即0<m2-2m-2<1m2+3m+2>0,解之得-1<m<1-3或1+3<m<3.…(10分)10.下列4個命題
㏒1/2x>㏒1/3x
其中的真命題是()
、A.(B.C.D.答案:D解析:取x=,則=1,=<1,p2正確當(dāng)x∈(0,)時,()x<1,而>1.p4正確11.已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求3a+1+3b+1+3c+1的最大值.答案:根據(jù)柯西不等式,可得(3a+1+3b+1+3c+1)2=(1?3a+1+1?3b+1+1?3c+1)2≤(12+12+12)[(3a+1)2+(3b+1)2+(3c+1)2]=3[3(a+b+c)+3]=18當(dāng)且僅當(dāng)3a+1=3b+1=3c+1,即a=b=c=13時,(3a+1+3b+1+3c+1)2的最大值為18因此,3a+1+3b+1+3c+1的最大值為18=3212.已知圓的極坐標(biāo)方程為:ρ2-42ρcos(θ-π4)+6=0.
(1)將極坐標(biāo)方程化為普通方程;
(2)若點P(x,y)在該圓上,求x+y的最大值和最小值.答案:(1)ρ2-42ρcos(θ-π4)+6=0
即
ρ2-42(22ρcosθ+22ρsinθ
),即x2+y2-4x-4y+6=0.(2)圓的參數(shù)方程為x=
2
+2cosαy=
2
+2sinα,∴x+y=4+2(sinα+cosα)=4+2sin(α+π4).由于-1≤sin(α+π4)≤1,∴2≤x+y≤6,故x+y的最大值為6,最小值等于2.13.已知O是空間任意一點,A、B、C、D四點滿足任三點均不共線,但四點共面,且=2x+3y+4z,則2x+3y+4z=(
)答案:﹣114.與雙曲線x2-y24=1有共同的漸近線,且過點(2,2)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______.答案:設(shè)雙曲線方程為x2-y24=λ∵過點(2,2),∴λ=3∴所求雙曲線方程為x23-y212=1故為x23-y212=115.已知△ABC是邊長為4的正三角形,D、P是△ABC內(nèi)部兩點,且滿足AD=14(AB+AC),AP=AD+18BC,則△APD的面積為______.答案:取BC的中點E,連接AE,根據(jù)△ABC是邊長為4的正三角形∴AE⊥BC,AE=12(AB+AC)而AD=14(AB+AC),則點D為AE的中點,AD=3取AF=18BC,以AD,AF為邊作平行四邊形,可知AP=AD+18BC=AD+AF而△APD為直角三角形,AF=12∴△APD的面積為12×12×3=34故為:3416.集合A={3,2a},B={a,b},若A∩B={2},則A∪B=______.答案:根據(jù)題意,若A∩B={2},則2∈A,2∈B,而已知A={3,2a},則必有2a=2,故a=1,又由2∈B,且a=1則b=2,故A∪B={1,2,3},故為{1,2,3}.17.(理)下列以t為參數(shù)的參數(shù)方程中表示焦點在y軸上的橢圓的是()
A.
B.(a>b>0)
C.
D.
答案:C18.已知函數(shù)f(x)=|x+2|-1,g(x)=|3-x|+2,若不等式f(x)-g(x)≤K的解集為R.則實數(shù)K的取值范圍為______.答案:因為函數(shù)f(x)=|x+2|-1,g(x)=|3-x|+2,所以f(x)-g(x)=|x+2|-|x-3|-3,它的幾何意義是數(shù)軸上的點到-2與到3距離的差再減去3,它的最大值為2,不等式f(x)-g(x)≤K的解集為R.所以K≥2.故為:[2,+∞).19.正十邊形的一個內(nèi)角是多少度?答案:由多邊形內(nèi)角和公式180°(n-2),∴每一個內(nèi)角的度數(shù)是180°(n-2)n當(dāng)n=10時.得到一個內(nèi)角為180°(10-2)10=144°20.若角α和β的兩邊分別對應(yīng)平行且方向相反,則當(dāng)α=45°時,β=______.答案:由題意知∠α=45°°,AB∥CE,AE∥BD∵AE∥BD∴∠BDC=∠α=45°∵AB∥CE∴∠β=∠BDC=45°故為45°.21.參數(shù)方程,(θ為參數(shù))表示的曲線是()
A.直線
B.圓
C.橢圓
D.拋物線答案:C22.已知f(x)=3mx2-2(m+n)x+n(m≠0)滿足f(0)?f(1)>0,設(shè)x1,x2是方程f(x)=0的兩根,則|x1-x2|的取值范圍為()
A.[,)
B.[,)
C.[,)
D.[,)答案:A23.三棱錐A-BCD中,平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1,n2,若<n1,n2>=,則二面角A-BD-C的大小為()
A.
B.
C.或
D.或答案:C24.對于一組數(shù)據(jù)的兩個函數(shù)模型,其殘差平方和分別為153.4
和200,若從中選取一個擬合程度較好的函數(shù)模型,應(yīng)選殘差平方和為______的那個.答案:殘差的平方和是用來描述n個點與相應(yīng)回歸直線在整體上的接近程度殘差的平方和越小,擬合效果越好,由于153.4<200,故擬合效果較好的是殘差平方和是153.4的那個模型.故為:153.4.25.設(shè)a、b∈R+且a+b=3,求證1+a+1+b≤10.答案:證明:證法一:(綜合法)∵(1+a+1+b)2=2+a+b+2(1+a)?(1+b)≤5+(1+a+1+b)=10∴1+a+1+b≤10證法二:(分析法)∵a、b∈R+且a+b=3,∴欲證1+a+1+b≤10只需證(1+a+1+b)2≤10即證2+a+b+2(1+a)?(1+b)≤10即證2(1+a)?(1+b)≤5只需證4(1+a)?(1+b)≤25只需證4(1+a)?(1+b)≤25即證4(1+a+b+ab)≤25只需證4ab≤9即證ab≤94∵ab≤(a+b2)2=(32)2=94成立∴1+a+1+b≤10成立26.下列命題:
①垂直于同一直線的兩直線平行;
②垂直于同一直線的兩平面平行;
③垂直于同一平面的兩直線平行;
④垂直于同一平面的兩平面平行;
其中正確的有()
A.③④
B.①②④
C.②③
D.②③④答案:C27.以原點為圓心,且截直線3x+4y+15=0所得弦長為8的圓的方程是()A.x2+y2=5B.x2+y2=16C.x2+y2=4D.x2+y2=25答案:弦心距是:1525=3,弦長為8,所以半徑是5所求圓的方程是:x2+y2=25故選D.28.設(shè)雙曲線的焦點在x軸上,兩條漸近線為y=±x,則雙曲線的離心率e=()
A.5
B.
C.
D.答案:C29.(幾何證明選做題)若A,B,C是⊙O上三點,PC切⊙O于點C,∠ABC=110°,∠BCP=40°,則∠AOB的大小為______.答案:∵PC切⊙O于點C,OC為圓的半徑∴OC⊥PC,即∠PCO=90°∵∠BCP=40°∴∠BCO=50°由弦切角定理及圓周角定理可知,∠BOC=2∠PCB=80°∵△BOC中,∠OBC=50°,∠ABC=110°∴∠OBA=60°∵OB=OA∴∠AOB=60°故為:60°30.設(shè)a>2,給定數(shù)列{xn},其中x1=a,xn+1=x2n2(xn-1)(n=1,2…)求證:
(1)xn>2,且xn+1xn<1(n=1,2…);
(2)如果a≤3,那么xn≤2+12n-1(n=1,2…).答案:證明:(1)①當(dāng)n=1時,∵x2=x122(x1-1)=x1+(2-x1)x12(x1-1),x2=x122(x1-1)=4(x1-1)+x12
-4x1+42(x1-1)=2+(x1-2)22(x1-1),x1=a>2,∴2<x2<x1.結(jié)論成立.②假設(shè)n=k時,結(jié)論成立,即2<xk+1<xk(k∈N+),則xk+2=xk+122(xk+1-1)=xk+1+(2-xk+1)xk+12(xk+1-1)>xk+1,xk+2=xk+122(xk+1-1)=2+(xk+1-2)22(xk+1-1)>2.∴2<xk+2<xk+1,綜上所述,由①②知2<xn+1<xn.∴xn>2且xn+1xn<1.(2)由條件x1=a≤3知不等式當(dāng)n=1時成立假設(shè)不等式當(dāng)n=k(k≥1)時成立當(dāng)n=k+1時,由條件及xk>2知xk+1≤1+12k?x2k≤2(xk-1)(2+12k)?x2k-2(2+12k)xk+2(2+12k)≤0?(xk-2)[xk-(2+12k-1)]≤0,再由xk>2及歸納假設(shè)知,上面最后一個不等式一定成立,所以不等式xk+1≤2+12k也成立,從而不等式xn≤2+12n-1對所有的正整數(shù)n成立31.設(shè)p,q是簡單命題,則“p且q為真”是“p或q為真”的()A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案:若“p且q為真”成立,則p,q全真,所以“p或q為真”成立若“p或q為真”則p,q全真或真q假或p假q真,所以“p且q為真”不一定成立∴“p且q為真”是“p或q為真”的充分不必要條件故選B32.若函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的反函數(shù),且y=f(x)的圖象過點(2,1),則f(x)=______.答案:因為函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=ax(a>0且a≠1)的反函數(shù),且y=f(x)的圖象過點(2,1),所以函數(shù)y=ax經(jīng)過(1,2),所以a=2,所以函數(shù)y=f(x)=log2x.故為:log2x.33.設(shè)a1,a2,…,a2n+1均為整數(shù),性質(zhì)P為:對a1,a2,…,a2n+1中任意2n個數(shù),存在一種分法可將其分為兩組,每組n個數(shù),使得兩組所有元素的和相等求證:a1,a2,…,a2n+1全部相等當(dāng)且僅當(dāng)a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P.答案:證明:①當(dāng)a1,a2,…,a2n+1全部相等時,從中任意2n個數(shù),將其分為兩組,每組n個數(shù),兩組所有元素的和相等,故性質(zhì)P成立.②下面證明:當(dāng)a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P時,a1,a2,…,a2n+1全部相等.反證法:假設(shè)a1,a2,…,a2n+1不全部相等,則其中至少有一個整數(shù)和其它的整數(shù)不同,不妨設(shè)此數(shù)為a1,若a1在取出的2n個數(shù)中,將其分為兩組,每組n個數(shù),則a1在的那個組所有元素的和與另一個組所有元素的和不相等,這與性質(zhì)P矛盾,故假設(shè)不成立,所以,當(dāng)a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P時,a1,a2,…,a2n+1全部相等.綜上,a1,a2,…,a2n+1全部相等當(dāng)且僅當(dāng)a1,a2,…,a2n+1具有性質(zhì)P.34.參數(shù)方程(t是參數(shù))表示的圖象是()
A.射線
B.直線
C.圓
D.雙曲線答案:A35.一名同學(xué)先后投擲一枚骰子兩次,第一次向上的點數(shù)記為x,第二次向上的點數(shù)記為y,在直角坐標(biāo)系xOy中,以(x,y)為坐標(biāo)的點落在直線2x+y=8上的概率為()A.16B.112C.536D.19答案:由題意知本題是一個古典概型,∵試驗發(fā)生包含的事件是先后擲兩次骰子,共有6×6=36種結(jié)果,滿足條件的事件是(x,y)為坐標(biāo)的點落在直線2x+y=8上,當(dāng)x=1,y=6;x=2,y=4;x=3,y=2,共有3種結(jié)果,∴根據(jù)古典概型的概率公式得到P=336=112,故選B.36.已知拋物線x2=4y上的點p到焦點的距離是10,則p點坐標(biāo)是
______.答案:根據(jù)拋物線方程可求得焦點坐標(biāo)為(0,1)根據(jù)拋物線定義可知點p到焦點的距離與到準(zhǔn)線的距離相等,∴yp+1=10,求得yp=9,代入拋物線方程求得x=±6∴p點坐標(biāo)是(±6,9)故為:(±6,9)37.如圖,設(shè)P,Q為△ABC內(nèi)的兩點,且AP=25AB+15AC,AQ=23AB+14AC,則△ABP的面積與△ABQ的面積之比為______.答案:設(shè)AM=25AB,AN=15AC則AP=AM+AN由平行四邊形法則知NP∥AB
所以△ABP的面積△ABC的面積=|AN||AC|=15同理△ABQ的面積△ABC的面積=14故△ABP的面積△ABQ的面積=45故為:4538.曲線x2+ay+2y+2=0經(jīng)過點(2,-1),則a=______.答案:由題意,∵曲線x2+ay+2y+2=0經(jīng)過點(2,-1),∴22-a-2+2=0∴a=4故為439.如圖,在四棱柱的上底面ABCD中,AB=DC,則下列向量相等的是()
A.AD與CB
B.OA與OC
C.AC與DB
D.DO與OB
答案:D40.已知函數(shù)y=與y=ax2+bx,則下列圖象正確的是(
)
A.
B.
C.
D.
答案:C41.集合M={(x,y)|xy≤0,x,y∈R}的意義是()A.第二象限內(nèi)的點集B.第四象限內(nèi)的點集C.第二、四象限內(nèi)的點集D.不在第一、三象限內(nèi)的點的集合答案:∵xy≤0,∴xy<0或xy=0當(dāng)xy<0時,則有x<0y>0或x>0y<0,點(x,y)在二、四象限,當(dāng)xy=0時,則有x=0或y=0,點(x,y)在坐標(biāo)軸上,故選D.42.滿足{1,2}∪A={1,2,3}的集合A的個數(shù)為______.答案:由{1,2}∪A={1,2,3},所以A={3},或{1,3},或{2,3},或{1,2,3}.所以集合A的個數(shù)為4.43.若直線l經(jīng)過點M(1,5),且傾斜角為2π3,則直線l的參數(shù)方程為______.答案:由于過點(a,b)傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為x=a+t?cosαy=b+t?sinα(t是參數(shù)),∵直線l經(jīng)過點M(1,5),且傾斜角為2π3,故直線的參數(shù)方程是x=1+t?cos2π3y=5+t?sin2π3即x=1-12ty=5+32t(t為參數(shù)).故為:x=1-12ty=5+32t(t為參數(shù)).44.如圖放置的等腰直角三角形ABC薄片(∠ACB=90°,AC=2)沿x軸滾動,設(shè)頂點A(x,y)的軌跡方程是y=f(x),則f(x)在其相鄰兩個零點間的圖象與x軸所圍區(qū)域的面積為______.答案:作出點A的軌跡中相鄰兩個零點間的圖象,如圖所示.其軌跡為兩段圓弧,一段是以C為圓心,CA為半徑的四分之一圓?。灰欢问且訠為圓心,BA為半徑,圓心角為3π4的圓?。渑cx軸圍成的圖形的面積為12×22×π2+12×2×2+12×(22)2×3π4=2+4π.故為:2+4π.45.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=sin2+icos2對應(yīng)的點位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案:∵sin2>0,cos2<0,∴z=sin2+icos2對應(yīng)的點在第四象限,故選D.46.已知F1、F2為橢圓x225+y216=1的左、右焦點,若M為橢圓上一點,且△MF1F2的內(nèi)切圓的周長等于3π,則滿足條件的點M有
()個.A.0B.1C.2D.4答案:設(shè)△MF1F2的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓的半徑等于r,則由題意可得2πr=3π,∴r=32.由橢圓的定義可得
MF1+MF2=2a=10,又2c=6,∴△MF1F2的面積等于12
(MF1+MF2+2c)r=8r=12.又△MF1F2的面積等于12
2cyM=12,∴yM=4,故M是橢圓的短軸頂點,故滿足條件的點M有2個,故選
C.47.若直線l過拋物線y=ax2(a>0)的焦點,并且與y軸垂直,若l被拋物線截得的線段長為4,則a=______.答案:拋物線方程整理得x2=1ay,焦點(0,14a)l被拋物線截得的線段長即為通徑長1a,故1a=4,a=14;故為14.48.定義在R上的二次函數(shù)y=f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,其圖象關(guān)于直線x=2對稱,則下列式子可以成立的是()
A.
B.
C.
D.答案:D49.橢圓x2+my2=1的焦點在y軸上,長軸長是短軸長的兩倍,則m的值為()
A.
B.
C.2
D.4答案:A50.直線l過點(-3,1),且它的一個方向向量n=(2,-3),則直線l的方程為______.答案:設(shè)直線l的另一個方向向量為a=(1,k),其中k是直線的斜率可得n=(2,-3)與a=(1,k)互相平行∴12=k-3?k=-32所以直線l的點斜式方程為:y-1=-32(x+3)化成一般式:3x+2y+7=0故為:3x+2y+7=0第3卷一.綜合題(共50題)1.用反證法證明某命題時,對結(jié)論:“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”正確的反設(shè)為()
A.a(chǎn),b,c中至少有兩個偶數(shù)
B.a(chǎn),b,c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)
C.a(chǎn),b,c都是奇數(shù)
D.a(chǎn),b,c都是偶數(shù)答案:B2.若復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)是虛數(shù),則a、b應(yīng)滿足的條件是()A.a(chǎn)=0,b≠0B.a(chǎn)≠0,b≠0C.a(chǎn)≠0,b∈RD.b≠0,a∈R答案:∵復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R)是虛數(shù),∴根據(jù)虛數(shù)的定義得b≠0,a∈R,故選D.3.設(shè)a,b,c為正數(shù),利用排序不等式證明a3+b3+c3≥3abc.答案:證明:不妨設(shè)a≥b≥c>0,∴a2≥b2≥c2,由排序原理:順序和≥反序和,得:a3+b3≥a2b+b2a,b3+c3≥b2c+c2b,c3+a3≥a2c+c2a三式相加得2(a3+b3+c3)≥a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2).又a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.所以2(a3+b3+c3)≥6abc,∴a3+b3+c3≥3abc.當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時,等號成立.4.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,已知直三棱柱的頂點A在x軸上,AB平行于y軸,側(cè)棱AA1平行于z軸.當(dāng)頂點C在y軸正半軸上運(yùn)動時,以下關(guān)于此直三棱柱三視圖的表述正確的是()
A.該三棱柱主視圖的投影不發(fā)生變化
B.該三棱柱左視圖的投影不發(fā)生變化
C.該三棱柱俯視圖的投影不發(fā)生變化
D.該三棱柱三個視圖的投影都不發(fā)生變化
答案:B5.如圖,⊙O中弦AB,CD相交于點P,已知AP=3,BP=2,CP=1,則DP=()
A.3
B.4
C.5
D.6答案:D6.三個數(shù)a=60.5,b=0.56,c=log0.56的大小順序為______.(按大到小順序)答案:∵a=60.5>60=1,0<b=0.56<0.50=1,c=log0.56<log0.51=0.∴a>b>c.故為a>b>c.7.若e1、e2、e3是三個不共面向量,則向量a=3e1+2e2+e3,b=-e1+e2+3e3,c=2e1-e2-4e3是否共面?請說明理由.答案:解:設(shè)c=1a+2b,則即∵a、b不共線,向量a、b、c共面.8.將參數(shù)方程x=2sinθy=1+2cos2θ(θ為參數(shù),θ∈R)化為普通方程,所得方程是______.答案:由x=2sinθ
①y=1+2cos2θ
②,因為θ∈R,所以-1≤sinθ≤1,則-2≤x≤2.由①兩邊平方得:x2=2sin2θ③由②得y-1=2cos2θ④③+④得:x2+y-1=2,即y=-x2+3(-2≤x≤2).故為y=-x2+3(-2≤x≤2).9.2008年北京奧運(yùn)會期間,計劃將5名志愿者分配到3個不同的奧運(yùn)場館參加接待工作,每個場館至少分配一名志愿者的方案種數(shù)為()A.540B.300C.150D.180答案:將5個人分成滿足題意的3組有1,1,3與2,2,1兩種,分成1、1、3時,有C53?A33種分法,分成2、2、1時,有C25C23A22?A33種分法,所以共有C53?A33+C25C23A22?A33=150種分法,故選C.10.化簡:AB+CD+BC=______.答案:如圖:AB+CD+BC=AB+BC+CD=AC+CD=AD.故為:AD.11.若關(guān)于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一負(fù)根,則a的取值范圍為______.答案:令f(x)=x2+ax+a2-1,∴二次函數(shù)開口向上,若方程有一正一負(fù)根,則只需f(0)<0,即a2-1<0,∴-1<a<1.故為:-1<a<1.12.若2x1+3y1=4,2x2+3y2=4,則過點A(x1,y1),B(x2,y2)的直線方程是______.答案:∵2x1+3y1=4,2x2+3y2=4,∴點A(x1,y1),B(x2,y2)在直線2x+3y=4上,又因為過兩點確定一條直線,故所求直線方程為2x+3y=4故為:2x+3y=413.設(shè)a=20.3,b=0.32,c=log20.3,則用“>”表示a,b,c的大小關(guān)系式是______.答案:∵0<0.32<1,log20.3<0,20.3>1∴0.32<20.3<log20.3故為:a>b>c14.已知方程x2+y2+4x-2y-4=0,則x2+y2的最大值是()A.95B.45C.14-65D.14+65答案:由方程x2+y2+4x-2y-4=0得到圓心為(-2,1),半徑為3,設(shè)圓上一點為(x,y)圓心到原點的距離是(-2)2+1
2=5圓上的點到原點的最大距離是5+3故x2+y2的最大值是為(5+3)2=14+65故選D15.已知=(2,-1,3),=(-1,4,-2),=(7,5,λ),若、、三向量共面,則實數(shù)λ等于()
A.
B.
C.
D.答案:D16.已知橢圓的焦點是F1、F2,P是橢圓上的一個動點,如果延長F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么動點Q的軌跡是______.答案:解析:∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,即|F1Q|=2a,∴動點Q到定點F1的距離等于定長2a,故動點Q的軌跡是圓.故:圓.17.以過橢圓+=1(a>b>0)的右焦點的弦為直徑的圓與直線l:x=的位置關(guān)系是()
A.相交
B.相切
C.相離
D.不能確定答案:C18.設(shè)集合A和B都是自然數(shù)集合N,映射f:A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n+n,則在映射f下,象20的原象是()A.2B.3C.4D.5答案:由2n+n=20求n,用代入法可知選C.故選C19.已知動點P(x,y)滿足(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=2,則動點P的軌跡是______.答案:∵(x+2)2+y2-(x-2)2+y2=2,即動點P(x,y)到兩定點(-2,0),(2,0)的距離之差等于2,由雙曲線定義知動點P的軌跡是雙曲線的一支(右支).:雙曲線的一支(右支).20.雙曲線(n>1)的兩焦點為F1、、F2,P在雙曲線上,且滿足|PF1|+|PF2|=2,則△P
F1F2的面積為()
A.
B.1
C.2
D.4答案:B21.將參數(shù)方程化為普通方程為(
)
A.y=x-2
B.y=x+2
C.y=x-2(2≤x≤3)
D.y=x+2(0≤y≤1)答案:C22.下列哪組中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)()A.y=(x)2與y=xB.y=(3x)3與y=xC.y=x2與y=(x)2D.y=3x3與y=x2x答案:A、y=x與y=x2的定義域不同,故不是同一函數(shù).B、y=(3x)3=x與y=x的對應(yīng)關(guān)系相同,定義域為R,故是同一函數(shù).C、fy=x2與y=(x)2的定義域不同,故不是同一函數(shù).D、y=3x3與y=x2x
具的定義域不同,故不是同一函數(shù).故選B.23.已知橢圓C的左右焦點坐標(biāo)分別是(-2,0),(2,0),離心率22,直線y=x-1與橢圓C交于不同的兩點A,B.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求弦AB的長度.答案:(本小題滿分13分)(1)依題意可設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)…(1分)則c=2e=ca=22,解得a=22c=2…(3分)∴b2=a2-c2=8-4=4…(5分)∴橢圓C的方程為x28+y24=1…(6分)(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)…(7分)聯(lián)立方程x28+y24=1y=x-1,消去y,并整理得:3x2-4x-6=0…(9分)∴x1+x2=43x1?x2=-2…(10分)∴|AB|=1+12|x2-x1|=2[(x1+x2)2-4x1x2]
=2[(43)2-4×(-2)]=4113…(12分)∴|AB|=4113…(13分)24.設(shè)向量a=(1,0),b=(sinθ,cosθ),0≤θ≤π,則|a+b|的最大值為
______.答案:|a|=1因為|b|=1,所以|a+b|2=a2+b2+2a?b=2+2sinθ因為0≤θ≤π,所以0≤sinθ≤1,所以2+2sinθ≤4,|a+b|≤2故為:225.設(shè)a,b,λ都為正數(shù),且a≠b,對于函數(shù)y=x2(x>0)圖象上兩點A(a,a2),B(b,b2).
(1)若AC=λCB,則點C的坐標(biāo)是______;
(2)過點C作x軸的垂線,交函數(shù)y=x2(x>0)的圖象于D點,由點C在點D的上方可得不等式:______.答案:(1)設(shè)點C(x,y),因為點A(a,a2),B(b,b2),AC=λCB,則(x-a,y-a2)=λ(b-x,b2-y),所以:x=a+λb1+λ,y=a2+λb21+λ(2)因為點C在點D的上方,則y>yD,所以a2+λb21+λ>(a+λb1+λ)226.若一次函數(shù)y=mx+b在(-∞,+∞)上是增函數(shù),則有()A.b>0B.b<0C.m>0D.m<0答案:∵一次函數(shù)y=mx+b在(-∞,+∞)上是增函數(shù),∴一次項系數(shù)m>0,故選C.27.______稱為向量的長度(或稱為模),記作
______,______稱為零向量,記作
______,______稱為單位向量.答案:向量AB所在線段AB的長度,即向量AB的大小,稱為向量AB的長度(或成為模),記作|AB|;長度為零的向量稱為零向量,記作0;長度等于1個單位的向量稱為單位向量.故為:向量AB所在線段AB的長度,即向量AB的大小,|AB|;長度為零的向量,0;長度等于1個單位的向量.28.正方形ABCD的邊長為1,=,=,則|+|=(
)
A.0
B.2
C.
D.2答案:C29.若直線y=x+b與圓x2+y2=2相切,則b的值為(
)
A.±4
B.±2
C.±
D.±2
答案:B30.已知一直線斜率為3,且過A(3,4),B(x,7)兩點,則x的值為()
A.4
B.12
C.-6
D.3答案:A31.種植兩株不同的花卉,它們的存活率分別為p和q,則恰有一株存活的概率為(
)A.p+q-2pqB.p+q-pqC.p+qD.pq答案:A解析:恰有一株存活的概率為p(1-q)+(1-p)q=p+q-2pq。32.“△ABC中,若∠C=90°,則∠A、∠B都是銳角”的否命題為()
A.△ABC中,若∠C≠90°,則∠A、∠B都不是
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