江蘇專用2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)解三角形47解三角形的綜合應(yīng)用課件理

§4.7解三角形的綜合應(yīng)用基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線

叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線

叫俯角(如圖①).知識梳理上方下方2.方向角相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等.3.方位角指從

方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的方位角為α(如圖②).正北知識拓展1.三角形的面積公式2.坡度(又稱坡比)：坡面的垂直高度與水平長度之比.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.(

)(2)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為[0，].(

)(3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系.(

)(4)方位角大小的范圍是[0，2π)，方向角大小的范圍一般是[0，).(

)××√√考點(diǎn)自測1.(教材改編)如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為______m.答案解析又∵B＝30°，2.輪船A和輪船B在中午12時同時離開海港C，兩船航行方向的夾角為120°，兩船的航行速度分別為25nmile/h，15nmile/h，則下午2時兩船之間的距離是_____nmile.答案解析70設(shè)兩船之間的距離為d，則d2＝502＋302－2×50×30×cos120°＝4900，∴d＝70，即兩船相距70nmile.3.(教材改編)海面上有A，B，C三個燈塔，AB＝10nmile，從A望C和B成60°視角，從B望C和A成75°視角，則BC＝_____nmile.答案解析如圖，在△ABC中，AB＝10，A＝60°，B＝75°，4.如圖所示，D，C，B三點(diǎn)在地面的同一直線上，DC＝a，從C，D兩點(diǎn)測得A點(diǎn)的仰角分別為60°，30°，則A點(diǎn)離地面的高度AB＝_____.答案解析5.在一次抗洪搶險中，某救生艇發(fā)動機(jī)突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動，失去動力的救生艇在洪水中漂行，此時，風(fēng)向是北偏東30°，風(fēng)速是20km/h；水的流向是正東，流速是20km/h，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向?yàn)楸逼珫|_____，速度的大小為______km/h.60°如圖，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，故OC＝20，∠COY＝30°＋30°＝60°.答案解析題型分類深度剖析題型一求距離、高度問題例1

(1)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高AD是60m，則河流的寬度BC＝___________m.答案解析如圖，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60m，在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，(2)如圖，A，B是海平面上的兩個點(diǎn)，相距800m，在A點(diǎn)測得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點(diǎn)測得∠ABD＝45°，其中D是點(diǎn)C到水平面的射影，則山高CD＝___________m.答案解析在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°.∵CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，求距離、高度問題應(yīng)注意(1)理解俯角、仰角的概念，它們都是視線與水平線的夾角；理解方向角的概念.(2)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.(3)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.思維升華跟蹤訓(xùn)練1(1)一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔B在北偏東60°，行駛4h后，船到達(dá)C處，看到這個燈塔在北偏東15°，這時船與燈塔的距離為______km.答案解析如圖，由題意，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，∴B＝45°，AC＝60km，(2)如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取A，B兩點(diǎn)，從A，B兩點(diǎn)分別測得樹尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點(diǎn)間的距離為60m，則樹的高度為___________m.答案解析在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60，題型二求角度問題例2甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9海里的B處，并以20海里每小時的速度沿南偏西15°方向行駛，若甲船沿南偏東θ的方向，并以28海里每小時的速度行駛，恰能在C處追上乙船.問用多少小時追上乙船，并求sinθ的值.(結(jié)果保留根號，無需求近似值)解答設(shè)用t小時，甲船追上乙船，且在C處相遇，那么在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理，128t2－60t－27＝0，所以AC＝21(海里)，BC＝15(海里)，又∠ABC＝120°，∠BAC為銳角，所以θ＝45°－∠BAC，sinθ＝sin(45°－∠BAC)＝sin45°cos∠BAC－cos45°sin∠BAC解決測量角度問題的注意事項(xiàng)(1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義；(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步；(3)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用.思維升華跟蹤訓(xùn)練2(1)(2016·蘇州模擬)如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cosθ的值為_____.答案解析在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)題型三三角形與三角函數(shù)的綜合問題例3

(2016·揚(yáng)州調(diào)研)在斜三角形ABC中，tanA＋tanB＋tanAtanB＝1.(1)求C的值；解答方法一因?yàn)閠anA＋tanB＋tanAtanB＝1，即tanA＋tanB＝1－tanAtanB，因?yàn)樵谛比切蜛BC中，1－tanAtanB≠0，即tan(180°－C)＝1，即tanC＝－1，因?yàn)?°<C<180°，所以C＝135°.方法二由tanA＋tanB＋tanAtanB＝1，化簡得sinAcosB＋sinBcosA＋sinAsinB＝cosAcosB，即sin(A＋B)＝cos(A＋B)，所以sinC＝－cosC，因?yàn)樾比切蜛BC，所以C＝135°.(2)若A＝15°，AB＝

，求△ABC的周長.解答在△ABC中，A＝15°，C＝135°，則B＝180°－A－C＝30°.故BC＝2sin15°＝2sin(45°－30°)CA＝2sin30°＝1.三角形與三角函數(shù)的綜合問題，要借助三角函數(shù)性質(zhì)的整體代換思想，數(shù)形結(jié)合思想，還要結(jié)合三角形中角的范圍，充分利用正弦定理、余弦定理解題.思維升華跟蹤訓(xùn)練3(2016·南京學(xué)情調(diào)研)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosB＝bcosA.(1)求

的值；解答方法一由acosB＝bcosA，即sin(A－B)＝0.結(jié)合正弦定理得sinAcosB＝sinBcosA，方法二由acosB＝bcosA，因?yàn)锳，B∈(0，π)，所以A－B∈(－π，π)，解答典例(14分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇.(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/小時，試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由.

函數(shù)思想在解三角形中的應(yīng)用思想與方法系列10思想方法指導(dǎo)規(guī)范解答已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可以設(shè)出第三邊，利用余弦定理列方程求解；對于三角形中的最值問題，可建立函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決.返回解(1)設(shè)相遇時小艇航行的距離為S海里，

[1分]即小艇以30海里/小時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小.[7分](2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇.則v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，∵0<v≤30，此時，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20. [13分]故可設(shè)計(jì)航行方案如下：航行方向?yàn)楸逼珫|30°，航行速度為30海里/小時. [14分]返回課時作業(yè)12345678910111213141.(2017·蘇北四市聯(lián)考)一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是________海里.答案解析如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，2.在高出海平面200m的小島頂上A處，測得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45°與30°，此時兩船間的距離為____________m.答案解析過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，由圖易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m，12345678910111213143.江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水平面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距______m.答案解析如圖，OM＝AOtan45°＝30(m)，在△MON中，由余弦定理得，12345678910111213144.(2016·南京模擬)如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為______.答案解析45°1234567891011121314又CD＝50(m)，所以在△ACD中，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.12345678910111213145.如圖所示，測量河對岸的塔高AB時可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點(diǎn)C與D，測得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30，并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60°，則塔高AB＝________.答案解析在△BCD中，∠CBD＝180°－15°－30°＝135°.12345678910111213146.某校運(yùn)動會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15°的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個水平面上.若國歌長度約為50秒，升旗手應(yīng)以____(米/秒)的速度勻速升旗.答案解析0.61234567891011121314在△BCD中，12345678910111213147.如圖，CD是京九鐵路線上的一條穿山隧道，開鑿前，在CD所在水平面上的山體外取點(diǎn)A，B，并測得四邊形ABCD中，∠ABC＝

，∠BAD＝π，AB＝BC＝400米，AD＝250米，則應(yīng)開鑿的隧道CD的長為________米.答案解析3501234567891011121314∴在△CAD中，由余弦定理，得CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos∠CAD∴CD＝350米.12345678910111213148.如圖，一艘船上午9∶30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10∶00到達(dá)B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8nmile.此船的航速是______nmile/h.答案解析32設(shè)航速為vnmile/h，∠BSA＝45°，12345678910111213149.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為________米.答案解析1234567891011121314如圖，連結(jié)OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°.由余弦定理得OC2＝1002＋1502－2×100×150×cos60°＝17500，解得OC＝50.1234567891011121314*10.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，且滿足a＋b＝cx，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________.答案解析123456789101112131411.要測量電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測得塔頂A的仰角是45°，在D點(diǎn)測得塔頂A的仰角是30°，并測得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求電視塔的高度.解答1234567891011121314中如圖，設(shè)電視塔AB高為xm，則在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°，得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，解得x＝40，所以電視塔高為40m.1234567891011121314(1)求a和sinC的值；解答得bc＝24，又由b－c＝2，解得b＝6，c＝4.由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得a＝8.1234567891011121314解答1234567891011121314*13.在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(－1)海里的B處有一艘走私船.在A處北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船奉命以10海里/小時的速度追截走私船，此時走私船正以10海里/小時的速度從B處向北偏東30°方向逃竄.問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間.解