求體積幾種求法及割補(bǔ)法

求幾何體的體積問題，可以多角度、全方位地考慮問題，常采用的方法有“換底法”、“分割法”、“補(bǔ)體法”等，尤其是“等積轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)高度重視．換底法求體積.(2014·惠州模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,棱長為2,E是棱CD的中點(diǎn),P是棱AA1的中點(diǎn).求三棱錐B-AB1E的體積正方體ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABE,故BB1為高,BB1=2,因?yàn)镃D∥AB,所以S△ABE==BB1·S△ABE=.S△ABC故=.【通關(guān)題組】

1.(2013·安徽高考)如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°.已知PB=PD=2,PA=(1)證明:PC⊥BD.(2)若E為PA的中點(diǎn),求三棱錐P-BCE的體積.【解析】(1)連接AC,交BD于O點(diǎn)，連接PO，因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以AC⊥BD,BO=DO,由PB=PD知，PO⊥BD,再由PO∩AC=O，知BD⊥平面APC，又PC?平面APC，因此PC⊥BD.(2)因?yàn)镋是PA的中點(diǎn)，所以VP-BCE=VC

-PEB=由PB=PD=AB=AD=2知，△ABD≌△PBD,因?yàn)椤螧AD=60°，所以BO=1,又PO2+AO2=PA2，即PO⊥AC,故由(1)知BO⊥平面APC，因此(2)∵VM—ABD=VD—ABM,由(1)知OD⊥平面ABC,∴OD=3為三棱錐D-ABM的高.例3.如圖：已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中,棱長為a,

M、N分別為CC1、

AA1的中點(diǎn),求：四棱錐A－MB1ND的體積VA－DMN=VM－ADN底面積：高：為點(diǎn)M到平面ADN的距離h=a∴V四棱錐=2VA－DMN=∴VA－DMN解(簡):AD1CDA1BC1B1MNAD1CDA1BC1B1NM例2、在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，求D1到截面C1BD的距離。ABCDA1B1C1D1提示：利用

=求解。注意：等體積法求點(diǎn)面距離。KEY：例3、在各棱長均為1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，（1）BC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為__________；（2）如果M為CC1的中點(diǎn)，則截面AB1M與底面所成的角的大小為__________。ABCA1B1C1DB1ABCA1C1MN注：（1）中利用面面垂直的性質(zhì)找線面成角。（2）中射影面積公式的應(yīng)用：S△AB1M?cosα=S△ABC.45o分割法求體積【突破訓(xùn)練2】(2012·巢湖二模)如圖是某三棱柱被削去一個底面后的直觀圖與側(cè)(左)視圖、俯視圖．已知CF＝2AD，側(cè)(左)視圖是邊長為2的等邊三角形；俯視圖是直角梯形，有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示．求該幾何體的體積．例1、已知三棱錐的兩個側(cè)面都是邊長為的等邊三角形，另一個側(cè)面是等腰直角三角形。求此三棱錐的體積。ABCSEF提示：設(shè)三棱錐S-ABC，側(cè)面SAC、SBC為等邊三角形，邊長為，SASB。取SA中點(diǎn)E，AB中點(diǎn)F，連接AE、BE、EF?？勺C得：SC平面ABE。利用：VS-ABC=VS-ABE+VC-ABE得三棱錐體積。注意：分割法求體積。（KEY：）BCADEF二、分割法MN用“分割法”把原幾何體分割成一個直三棱柱和一個四棱錐.如圖：取CM=AN=BD,連結(jié)DM,MN,DN.分析：∴V幾何體=V三棱柱+V四棱錐如圖：△ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，F(xiàn)C=4，AE=5。求：此幾何體的體積？例2.如圖：在棱長為a的正方體ABCD--A1B1C1D1中取點(diǎn)A1、C1、B、D，依次連結(jié)成一個多面體，求：此多面體的體積.解二：用分割法AD1CDA1BC1B11、在四面體ABCD中，AB=AC=DB=DC=10，BC=AD=12，求：四面體ABCD的體積.取BC的中點(diǎn)E，則AE⊥BC，DE⊥BC.ABCDEV四面體

=

VB－ADE+VC－ADE補(bǔ)形法BCADEF如圖：△ABC中，AB=8、BC=10、AC=6，DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，F(xiàn)C=4，AE=5.求：此幾何體的體積？一、補(bǔ)形法用“補(bǔ)形法”把原幾何體補(bǔ)成一個直三棱柱。BCADEF分析：∴V幾何體=V三棱柱例1.如圖:斜三棱柱的一個側(cè)面ABB1A1的面積為S，側(cè)棱CC1到這個側(cè)面的距離為h

.求：斜三棱柱的體積.C1B1A1ABCO如圖所示：將左圖補(bǔ)成一個斜四棱柱（平行六面體）則V四棱柱＝S×h∴V三棱柱＝s×hB1C1A1ABCOAD1CDA1BC1B1例2.如圖：在棱長為a的正方體ABCD--A1B1C1D1中取點(diǎn)A1、C1、B、D，依次連結(jié)成一個多面體，求：此多面體的體積.例4.過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA⊥平面ABCD，如果AB=PA。求：平面ABP與平面CDP所成的二面角的大小.PDACBACDBPB1如圖所示、將左圖補(bǔ)成一個正方體.∴平面ABP即為平面ABB1P所在平面∴平面PDC即為平面PDCB1所在平面∴所求二面角即為正方體的對角面

PDCB1與側(cè)面

ABB1P所成角即：∠CB1B=解：2、如圖：正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長為3。求：側(cè)面PAB與PCD所成的二面角.DBACpACDBpMND1A1B1C13、如圖：在正方體AC1中，E為B1C1的中點(diǎn)，求：異面直線A1C和BE所成的角.如圖，補(bǔ)一個正方體，取C1F的中點(diǎn)E1，則BE∥CE1∴∠A1CE1（或其補(bǔ)角）為A1C與

BE

所成的角.在△A1CE1中，有余弦定理得：∴A1C和BE所成的角即為∠A1CE1，其值為AD1CDA1BC1B1FE可得：E1解:例5、已知三棱錐P-ABC，PA=BC=5，PB=A