2023年博士資格考試大綱

202３年版博士資格考試大綱考試時(shí)間：１50分鐘分析學(xué)(1０0分,三門中選二門)復(fù)分析(50分)Cａuｃｈｙ積分理論Weiｅrｓtｒａss級(jí)數(shù)理論解析延拓Rｉeｍann的幾何理論正規(guī)族理論Ｒiemanｎ映射定理及邊界相應(yīng)原理5分式線性變換群和特殊區(qū)域的解析自同胚群6Sｃhwarz引理(ａ)Schwarz-Ｐick－Ahlfors定理（b）Poinｃarｅ度量７Riemaｎn曲面的基本理論（a)Riemanｎ曲面的概念(b)虧格和Riｅmanｎ-Roch定理(c)緊Rieｍａnn曲面的分類實(shí)分析（5０分)Fouｒieｒ變換函數(shù)的Fourｉeｒ變換Schwaｒtｚ函數(shù)與緩增分布Planchｅrel公式，函數(shù)的Fourｉｅr變換收斂與求和,Poissoｎ核、Gａｕｓｓ核Ｈａｒdｙ-Lｉｔtlｅwｏoｄ極大函數(shù)恒等逼近Mａrcｉnkiewｉcz插值定理Ｈardy-Litｔlewoｏd極大函數(shù)奇異積分Ｈilberｔ變換Rｉesz變換卷積型奇異積分算子一般（非卷積型)Calderoｎ-Zygmund算子Hardy空間與ＢMO空間原子Hａrdy空間BMO空間Litｔｅｗooｄ-Ｐaｌey理論與乘子Lｉｔteｗｏod－Palｅy理論H?rｍaｎdeｒ乘子定理泛函分析（５０分)Ｂａｎach空間和Hilbeｒt空間的基本理論及典型例子Ｂaｎａch空間和Ｈｉlｂeｒｔ空間上有界線性泛函和線性算子基本理論緊算子Riesz-Frｅdholｍ理論緊算子的基本性質(zhì),譜理論對(duì)稱緊算子有界自伴算子的譜分解閉算子的理論（f）自伴擴(kuò)張（g）無(wú)界自伴算子的擾動(dòng)算子半群Hille-Yｏsidａ定理單參數(shù)算子酉群的Stoｎe定理參考書目:【１】Ahlfoｒs:ComplexAnaｌysｉs.McGｒａw－HillBoｏkCoｍｐany【2】伍鴻熙等:緊Ｒiｅmann曲面引論科學(xué)出版社【3】J．Dｕｏanｄikoeｔｘea,Fourieranaｌysis，Ameｒ.Matｈ.Soc.;【4】程民德，鄧東皋，龍瑞麟編著,實(shí)分析,高等教育出版社.【5】張恭慶,林源渠等：泛函分析講義上,下冊(cè)【6】Yｏsｉda：FunctiｏnａlAnａｌysiｓＳpringｅr－Verｌaｇ;)二．代數(shù)學(xué)（100分)群１群,子群，正規(guī)子群,商群;同態(tài)與同構(gòu),同態(tài)定理與同構(gòu)定理.群例:循環(huán)群,二面體群,四元數(shù)群，置換群,線性群,＄A＿n＄,$Ｓ_ｎ$．自由群,生成元與定義關(guān)系.群在集合上的作用;Sylow定理和群.Ｊordaｎ-Ｈｏldｅr定理,直積分解定理.可解群.算子群.特殊射影線性群的單性．空間上的型與典型群.辛群.環(huán)環(huán)，子環(huán),抱負(fù),商環(huán);同態(tài)與同構(gòu),同態(tài)定理與同構(gòu)定理.環(huán)的直和.素抱負(fù)和極大抱負(fù),冪零根和Jacobsｏｎ根.環(huán)的整除性理論,唯一分解環(huán),主抱負(fù)整環(huán),歐幾里得環(huán).整環(huán)的分式域．互換環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán),Gauｓs引理.形式冪級(jí)數(shù)環(huán).四元數(shù)體.域有限擴(kuò)張,擴(kuò)張次數(shù)乘積公式.多項(xiàng)式的分裂域，正規(guī)擴(kuò)張.可分?jǐn)U張．單擴(kuò)張定理.Ｇaloｉs基本定理,簡(jiǎn)樸的Ｇａlois擴(kuò)張.用根式解方程的判別準(zhǔn)則．有限域.模模,子模，商模;模同態(tài)與同構(gòu),模同態(tài)定理與同構(gòu)定理.模的自同態(tài)環(huán).模的直和與直積.自由模.主抱負(fù)整環(huán)上的有限生成模的結(jié)構(gòu)定理.Nａｋａyａma引理.模的張量積.同態(tài)函子和張量函子整性相關(guān)．結(jié)合代數(shù)和有限群的表達(dá)論代數(shù)和模.不可約模和完全可約模.半單代數(shù)的結(jié)構(gòu).群的表達(dá)、特性標(biāo)、正交關(guān)系、特性標(biāo)表.初等數(shù)論1.算術(shù)基本定理?２.數(shù)論函數(shù)?３.孫子定理?4.二次互反律

５.連分?jǐn)?shù)

６．Pell方程參考書目【１】聶靈沼,丁石孫，《代數(shù)學(xué)引論》，高等教育出版社，20２３．【2】徐明曜，趙春來(lái),《抽象代數(shù)(II)》,,北京大學(xué)出版社【3】N．Ｊacobｓｏｎ:BasｉｃＡｌgebrａ１,2ndEditｉonＷ.Ｈ.Fｒeeｍａn&Ｃompany1９７4【4】柯斯特利金:代數(shù)學(xué)引論(第一卷)高等教育出版社【5】潘承洞，潘承彪：初等數(shù)論,第二版,北京大學(xué)出版社，2023三.幾何與拓?fù)洌?00分，其中幾何與拓?fù)涓?0分)代數(shù)拓?fù)鋋)基本群與覆疊空間b)曲面的分類c)同調(diào)與上同調(diào)的理論、計(jì)算、常見例子和應(yīng)用d)同倫群及其基本性質(zhì)微分流形微分流形的概念切叢與向量叢橫截性理論微分形式，Stokes定理，deRhaｍ上同調(diào)微分幾何聯(lián)絡(luò)和曲率的基本概念Ｒｉemａｎｎ幾何的基本理論緊曲面上的Gauss－Bonｎｅt公式參考書目:尤承業(yè)著,《基礎(chǔ)拓?fù)鋵W(xué)講義》。北京大學(xué)出版社，1９97.姜伯駒著，《同調(diào)論》。北京大學(xué)出版社，2023.陳省身、陳維桓著,《微分幾何講義》(第二版)。北京大學(xué)出版社,２023年。（第１章到第七章,附錄一)ＡlｌｅnＨａt(yī)cｈer,ＡlgｅbraicＴopoｌogｙ.CambｒidgeＵnｉv.Presｓ,202３.(略去占其一半篇幅的AddｉtionalＴｏpics部分)VictorGuillemin，AlａｎＰolｌaｃｋ,DifferｅntｉａlTopｏｌogy.Ｐｒentｉcｅ-Hall,1974.ＴhｅodorＢrockｅr,ＫlausJaｎicｈ,ＩntrｏduｃtｉonｔｏDiｆｆerenｔialTｏpｏloｇy.CambｒidgeUniv.Press,陳維桓李興?！独杪鼛缀我摗罚ㄉ?(第一到第六章)。四.微分方程（1０0分，常微偏微各5０分)常微分方程定性理論:線性方程(組）的解法,初次積分,冪級(jí)數(shù)解法,解的存在和唯一性定理,解的延拓和對(duì)參數(shù)及初值的依賴性，奇解與包絡(luò),邊值問(wèn)題,平面奇點(diǎn)分類與極限環(huán)，李雅普諾夫第二方法，Ｈopf分支,二維周期系統(tǒng)的調(diào)和解,擬線性系統(tǒng),耗散系統(tǒng)，Ｄuｆfinｇ方程，環(huán)面上的常微系統(tǒng)，旋轉(zhuǎn)數(shù)，極限點(diǎn)集,各態(tài)歷經(jīng)偏微分方程：數(shù)學(xué)物理方程位勢(shì)方程：基本解和Gｒeen函數(shù),極值原理和最大模估計(jì)。熱方程:Fourier變換方法，分離變量法，極值原理和最大模估計(jì)。波動(dòng)方程：特性線法，分離變量法，能量不等式。二階橢圓型方程廣義函數(shù)理論和Fｏurier變換基本理論Ｓobｏlｅv嵌入定理,理論(解的存在唯一性）。Ｓchauder估計(jì)的結(jié)論及應(yīng)用。估計(jì)的結(jié)論及應(yīng)用。參考書目:【1】丁同仁,李承治:《常微分方程》;【2】張芷芬等，《微分方程定性理論》第６、７章；【3】姜禮尚等，《數(shù)學(xué)物理方程講義》;【４】陳亞浙,吳蘭成,《二階橢圓型方程與橢圓型方程組》【５】D.Gｉlbarg,N．Ｓ．Trｕｄｉngｅr：EｌliptiｃＰartiａlＤiｆferenｔｉalEｑuaｔiｏnsoｆSecondOrder(Part１Liｎｅａrequatｉons),Sｐriｎgｅr世界圖書出版公司?！荆丁浚萶ｒmandｅr:Theａnａlyｓｉsoflｉneaｒpａｒtialdifｆerentialｏpｅratoｒs（第一卷)，Spriｎgｅr-Ｖerlａｇ,1983.五:概率論（1００分)《概率論》博士生資格考試涵蓋了研究生課程《高等概率論》和《隨機(jī)過(guò)程論》，前者以本科生課程《測(cè)度論》為基礎(chǔ)，后者是本科生課程《應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程》的后續(xù)課,因此隨機(jī)過(guò)程部分也包含難度較低的《應(yīng)用隨機(jī)過(guò)程》的內(nèi)容。測(cè)度論σ域，λ－π方法積分的性質(zhì),Levy單調(diào)收斂定理，F(xiàn)ａt(yī)ｏｕ引理,Lｅbesguｅ控制收斂定理，積分的絕對(duì)連續(xù)性條件盼望，Radon-Nｉkodｙm導(dǎo)數(shù),條件概率,正則條件概率乘積空間,Ｋolｍogorov延拓定理Fuｂｉni定理隨機(jī)變量四種收斂的定義及其互相關(guān)系概率論概率空間,隨機(jī)變量的獨(dú)立性歐氏空間的測(cè)度性質(zhì),弱收斂弱大數(shù)定律，Chebyshｅv不等式強(qiáng)大數(shù)定律，Borｅl－Cantelli引理隨機(jī)變量級(jí)數(shù)的收斂,Kｏlmogorov三級(jí)數(shù)定理中心極限定理,Linｄebｅrg－Feｌler定理Ｆｏuriｅr變換,特性函數(shù)，逆轉(zhuǎn)公式，Poiｓson收斂定理?xiàng)l件獨(dú)立尾事件,Kｏｌmｏｇorov0－1律，可互換序列隨機(jī)過(guò)程σ域流,停時(shí),Wald引理鞅、上鞅、下鞅（離散時(shí)間）,Dooｂ不等式，一致可積,停時(shí)定理,Dooｂ分解馬氏鏈（離散狀態(tài),離散時(shí)間或連續(xù)時(shí)間),一些特例（如隨機(jī)游動(dòng))，常返與非常返,平穩(wěn)分布,漸近行為與收斂速度,可逆性與可逆分布寬平穩(wěn)過(guò)程與嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程,Bｉrkhoff遍歷定理，布朗運(yùn)動(dòng)的定義及其構(gòu)造,強(qiáng)馬氏性，轉(zhuǎn)移概率，熱核OU過(guò)程,生成元與馬氏半群初步隨機(jī)微分方程初步參考書目：【1】RickDurrett,Ｐrｏｂaｂility:TｈeorｙaｎdExamplｅs,ThirdＥdｉtion,世界圖書出版社20２3【２】程士宏：《限度論與概率論基礎(chǔ)》北京大學(xué)出版社,２023【3】錢敏平龔光魯：《隨機(jī)過(guò)程論》第二版,北京大學(xué)出版社,１99７年【4】KaiLaiCｈung,ACourseｉnProbａｂiｌityTheory,2ndｅdiｔｉon，AcａdemｉcＰress１９74六計(jì)算方法(1０0分）（三門中選二)數(shù)值代數(shù)（50分)基礎(chǔ)知識(shí)向量范數(shù)和矩陣范數(shù)，Schｕr分解定理，奇異值分解定理，非負(fù)矩陣的Pｅrｒｏn-Frobeｎius定理，Hｅｒmite矩陣的極小、極大定理。線性方程組的直接解法Gausｓ消去法,Ｃhoｌesky分解法，對(duì)稱不定線性方程組的直接解法，線性方程組的條件數(shù),條件數(shù)的估計(jì)和迭代改善。線性方程組的古典迭代法Ｊaｃｏｂi迭代法,Gausｓ-Sｅｉdeｌ迭代法,ＳOR迭代法,SSOR迭代法,收斂性分析(H矩陣和正定矩陣）,多項(xiàng)式加速（Chebyshev加速）。求解線性方程組的Ｋrylｏv子空間法共軛梯度法的基本性質(zhì),共軛梯度法的收斂性分析,預(yù)優(yōu)共軛梯度法,Ｌａｎczｏs方法，廣義極小剩余法。參考書目:【１】.“數(shù)值線性代數(shù)”，徐樹方,高立，張平文編;【2】.“矩陣計(jì)算的理論與方法”，徐樹方編著。差分方法(50分）一．一般理論１.差分格式的構(gòu)造方法；2.差分格式的局部截?cái)嗾`差及其相容性;3.差分格式的收斂性;4．差分格式的穩(wěn)定性及ｖonＮeｕｍａnｎ條件；5.Lax等價(jià)定理；二．一階雙曲型方程的差分方法CFL條件；單個(gè)方程的迎風(fēng)格式、Laｘ－Friedｒｉchs格式、Ｌax-Ｗendrofｆ格式;雙曲型方程組的特性分解及其ＣＩR迎風(fēng)格式;間斷解的計(jì)算;（5）三.非線性雙曲型守恒律初值問(wèn)題的差分方法守恒形格式及Lax-Ｗendroff定理;離散熵條件;Godｕnov格式;單個(gè)方程差分格式的非線性穩(wěn)定性;單調(diào)格式與TVD、TＶB格式；半離散有限差分與有限體積格式;參考書目“NuｍeriｃalMethｏｄｓfｏrConservationLａws”,Ｒ.LeVeque;“偏微分方程初值問(wèn)題差分方法”,胡祖熾,雷功炎著有限元方法（5０分）1.橢圓邊值問(wèn)題的弱解;Lax－Milｇrａm引理；2．Rｉtｚ方法和Ｇaｌｅrkｉn方法;有限元解的提法;3.有限元方法的要素;４.有限元和有限元空間的基本定義與基本例子;有限元仿射族;５．有限元解的抽象誤差估計(jì)；Céa引理;Sｔrang引理(1,２）;Bｒａmbｌｅ-Ｈilbeｒt引理；6．插值函數(shù)的誤差估計(jì)、Soboｌev空間的插值理論；7．橢圓邊值問(wèn)題有限元解的收斂性與誤差估計(jì)；8．Aｕbin-Niｔschｅ引理,L2-模誤差估計(jì);9.反估計(jì)不等式。參考書目:【1】.《有限元方法講義》，應(yīng)隆安,北京大學(xué)出版社，1９88；【２】．《ＴｈｅFiｎiｔeＥleｍeｎtＭethodfｏｒElｌipticProblｅｍｓ》，P.Ｇ.Cｉarlet（6)七高等記錄學(xué)（１００分)充足記錄量１.充足記錄量的定義與判別法;2.?完全性；３.?指數(shù)族分布中記錄量的完全性；4. 記錄判決問(wèn)題和充足記錄量的優(yōu)良性;假設(shè)檢查一般概驗(yàn)；簡(jiǎn)樸假設(shè)檢查問(wèn)題、N-Ｐ引理；關(guān)于單調(diào)似然比族的檢查問(wèn)題；最不利的分布；一致最優(yōu)無(wú)偏檢查;帶討厭參數(shù)的指數(shù)分布族的參數(shù)的UMＰU檢查問(wèn)題;不變檢查；估計(jì) 引言；無(wú)偏估計(jì);信息不等式；同變估計(jì)(位置參數(shù))；同變估計(jì)(一般情況)；風(fēng)險(xiǎn)無(wú)偏性;估計(jì)的大樣本性質(zhì)相合性；漸近正態(tài)性；估計(jì)序列的大樣本比較;漸近有效性;局部漸近正態(tài)性;樣本中位數(shù);L-估計(jì)；M-估計(jì)和R－估計(jì)參考書目:鄭忠國(guó),《高等記錄學(xué)》,北京大學(xué)出版社，1998茆詩(shī)松，王靜龍，濮曉龍,《高等數(shù)理記錄》第二版，高等教育出版社，2023陳希孺，《數(shù)理記錄引論》,科學(xué)出版社,1997八算法和數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)本門考試內(nèi)容涉及算法設(shè)計(jì)與分析、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和計(jì)算復(fù)雜性基礎(chǔ)。具體內(nèi)容涉及：算法基礎(chǔ)算法的復(fù)雜性類:O(1),O(lｏgn),O(n),Ｏ(nlogn),Ｏ(n２),O（n3),O(2n)等等復(fù)雜性的基本分析技術(shù)復(fù)雜性的基本概念:漸進(jìn)復(fù)雜性，平均復(fù)雜性，最壞情況復(fù)雜性，復(fù)雜性上界和下界,分期償還型(aｍortｉｚed)復(fù)雜性算法設(shè)計(jì)技術(shù):貪心算法（grｅe(cuò)ｄyａlgｏritｈms）分治法（ｄiｖidｅandcoｎquer）動(dòng)態(tài)規(guī)劃（dyｎａmicprogｒamｍiｎg）環(huán)游和回溯法(trａversａlａndbacktrack)分支限界法(bｒanchaｎdbound）經(jīng)典算法排序(sｏｒt）和檢索（seaｒcｈ）算法及其數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)支持重要圖算法:圖遍歷,拓?fù)渑判?最小生成樹,最短途徑(單出發(fā)點(diǎn)和任意點(diǎn)之間），強(qiáng)連通子圖,關(guān)鍵途徑，網(wǎng)絡(luò)最大流等線性規(guī)劃(lｉneａrprogrａmｍiｎｇ）串匹配算法其他算法的概念并行算法概率算法數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和實(shí)現(xiàn),抽象數(shù)據(jù)類型基本操作的復(fù)雜性線性表(連續(xù)