專題五平面向量第十四講向量的應(yīng)用答案

專題五 平面向量第十四講 向量的應(yīng)用答案部分1．A【解析】以 A為坐標(biāo)原點(diǎn)， AB所在直線為 x軸，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，yCEDAxB因?yàn)樵谄矫嫠倪呅蜛BCD中，ABAD1，BAD120，所以A(0,0)，B(1,0)，D(1,3)，設(shè)C(1,m),E(x,y)，22所以DC(3,m3)，AD(1,3)，2222因?yàn)锳DCD，所以(3,m3)(1,3)0，2222即3(1)3(m3)0，解得m3，即C(1,3)，2222因?yàn)镋在CD上，所以3≤y≤3，由kCEkCD，23y33得2，即x3y2，1x112因?yàn)锳E(x,y)，BE(x1,y)，所以AEBE(x,y)(x1,y)x2xy2(3x2)23y2y24y253y6，令f(y)4y253y6，y[3,3]．2因?yàn)楹瘮?shù)f(y)4y253y6在[3,53]上單調(diào)遞減，在[53,3]上單調(diào)遞288增，所以f(y)min4(53)25353621．8816uuuruur21，故選A．所以AEBE的最小值為162A【解析】解法一設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，aOA，bOB(x,y)，e=(1,0)，．由b24eb30得x2y24x30，即(x2)2y21，所以點(diǎn)B的軌跡是以C(2,0)為圓心，l為半徑的圓．因?yàn)閍與e的夾角為，所以不妨令點(diǎn)A在射線3y 3x(x 0)上，如圖，yy= 3xABO C x數(shù)形結(jié)合可知

|a

b|min

|CA|

|CB|

3 1．故選

A．解法二

由b2

4eb

3

0得

b2

4eb

3e2

(b

e)(b

3e)

0．設(shè)b

OB，e

OE，3e

OF

，所以b

e

EB，

b

3e=

FB，所以EBFB

0，取

EF

的中點(diǎn)為

C．則

B在以

C為圓心，

EF

為直徑的圓上，如圖．A BO E C F設(shè)aOA，作射線OA，使得AOE，所以|ab||(a2e)(2eb)|≥3|(a2e)||(2eb)||CA||BC|≥31．故選A．3．A【解析】如圖建立直角坐標(biāo)系，yADPBCx則A(0,1)，B(0,0)，D(2,1)，P(x,y)，由等面積法可得圓的半徑為2，5所以圓的方程為(x2)2y24，5所以AP(x,y1)，AB(0,1)，AD(2,0)，由APABAD，得x2=xy1，y1，所以2xy1，即x1z0，設(shè)zy22x點(diǎn)P(x,y)在圓上，所以圓心到直線1z0的距離小于半徑，y2所以|2z|≤2，解得1≤z≤3，所以z的最大值為3，1154即的最大值為3，選A．4．B【解析】如圖，以BC為x軸，BC的垂直平分線DA為y軸，D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，yABPCxD則 A(0, 3，)B(1,0)，C(1,0)，設(shè)P(x,y)，所以PA(x,3y)PB(1x,y)，PC(1x,y)，，所以PBPC(2x,2y)，PA(PBPC)2x22y(3y)2x22(y3)23≥3，222當(dāng)P(0,33)時(shí)，所求的最小值為，故選B．225．C【解析】如圖所示，四邊形ABCE是正方形，F(xiàn)為正方形的對(duì)角線的交點(diǎn)，易得AOAF，而AFB90，∴AOB與COD為鈍角，AOD與BOC為銳角．根據(jù)題意I1I2OAOBOBOCOB(OAOC)OBCA|OB||CA|cosAOB0，∴I1I2，同理I2I3．做AGBD于G，又ABAD．∴OBBGGDOD，而OAAFFCOC，∴|OA||OB||OC||OD|，而cosAOBcosCOD0，∴OAOBOCOD，即I1I3，∴I3I1I2，選C．DAEOGFBC．【解析】由DADBDC2知,D為ABC的外心．由DADB=DBDC6B=DCDA知D為ABC的內(nèi)心，所以ABC為正三角形，易知其邊長(zhǎng)為23，取AC的中點(diǎn)E，因?yàn)镸是PC的中點(diǎn)，所以EM1AP1，174922所以|BM|max|BE|，則|BM|max2．故選B．2247D【解析】由菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a，ABC60可知BAD18060120，．BDCD(ADAB)(AB)2aacos120a23a2．ABADAB28．A【解析】由題意得ADACCDAC111BCACACAB1AB4AC．333339．A【解析】以題意，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，AC所在的直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，所以點(diǎn)P(1,4)，B(1,0)，C(0,t)，(1t(1所以PBPC1,4)(1,t4)1)(1)4(t4)tt=1714t≤17214t13（當(dāng)且僅當(dāng)14t，即t=1時(shí)取等號(hào)），ttt2所以PBPC的最大值為13．故選A．10．C【解析】AMAB3AD,NMCMCN1AD1AB，所以443AMNM1(4AB3AD)1(4AB3AD)4121(16AB22)1(1636916)9，選C．9AD484811．B【解析】由題意得，AC為圓的直徑，故可設(shè)A(m,n)，C(m,n)，B(x,y)，∴PAPBPC(x6,y)，而(6)22371249，xyx∴PAPBPC的最大值為7，故選B．12．A【解析】設(shè) a (1,0),b (0,1)，則OP (cos,sin )，OQ (2, 2)，所以曲線C是單位元，區(qū)域 為圓環(huán)（如圖）∵|OQ| 2，∴1 r R 3．13．C【解析】 因?yàn)?BAD 120，所以AB?AD AB鬃AD cos120=-2.因?yàn)锽E=lBC，所以AE=AB+lAD，AF=mAB+AD.因?yàn)锳E?AF1，所以(AB+lAD)?(mABAD)=1，3①即2l+2m-lm=2同理可得lm-l-m=-2②，①+②得l+m=5.3614．B【解析】如圖，設(shè)ABb,ACc，則b1,c2,bc0，AQPBC又BQBAAQb(1)c，CPCAAPcb，由BQCP2得[b(1)c](cb)(2b24(1)2，1)c即32,2，選B.315．A【解析】【方法一】設(shè)OP(10cos,10sin)cos3,sin455則OQ(10cos(3),10sin(3))(72,2)．44【方法二】將向量OP(6,8)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)3后，可知Q點(diǎn)落在第三象限，則可排2除B、D，代入A，由向量的夾角公式可得cosQOP23．，∴QOP2416．C【解析】首先觀察集合{n|nZ},1,1,0,1,1,3,2,，從而分析ab2222和ba的范圍如下：因?yàn)?0,)，∴2cos，421而baba|b|cos，且|a|?|b|0，可得0|b|cos1，aa|a||a|又∵ba{n|nZ}中，∴|b|cos12|a|2，從而|b|1，∴abab|a|cos2cos2，|a|2cosbb|b|所以1ab2．且ab也在集合{n|nZ}中，故有ab3．2217．D【解析】根據(jù)已知得(c,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]，即(c,0)(1,0)，從而得c；(d,0)(0,0)[(1,0)(0,0)]，即(d,0)(1,0)，得d，根據(jù)112，得112．線段AB的方程是y0，x[0,1]．cd若C是線段AB的中點(diǎn)，則c1112，得10．2，代入ddc此等式不可能成立，故選項(xiàng)A的說法不成立；同理選項(xiàng)B的說法也不成立；若C,D同時(shí)在線段AB上，則0c≤1，0d≤1，此時(shí)1≥1，1≥1，11≥2，若等號(hào)成立，則只能cd1，cdcd根據(jù)定義，C,D是兩個(gè)不同的點(diǎn)，故矛盾，故選項(xiàng)C的說法也不正確，若C,D同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上，若c1，d1，則112，cd與112矛盾，若c0,d0，則11是負(fù)值，與112矛盾，cdcdcd若c1，d0，則11，10，此時(shí)111，與112矛盾，cdcdcd故選項(xiàng)D的說法是正確的．18．3【解析】設(shè)E(0,t)，F(xiàn)(0,t2)，所以AEBF(1,t)(2,t2)2t(t2)t22t2(t1)23，當(dāng)t1時(shí)，AEBF取得最小值3．19．[52,1]【解析】設(shè)P(x,y)，由PAPB≤20，得2xy5≤0，y2x-y+5=0B M52xA 52 ON如圖由2xy5≤0可知，P在MN上，2xy505,5)，由y2，解得M(1,7)，N(x250所以P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為[52,1]．20．3【解析】ABAC32cos6003，AD1AB2AC,則1133ADAE(1AB2AC)(ACAB)332419234，333333．1121．1【解析】由題意令e(1,0)，a(cos,sin)，b(2cos,2sin)，2則由|ae||be|,6可得|cos|2|cos|,6①，令sin2sinm②①2+②2得4[|coscos|sinsin],1m2對(duì)一切實(shí)數(shù),恒成立，所以4[|coscos|sinsin],1．故ab2(coscossinsin)剟2[|coscos|sinsin]1．2故最大值為 1．222．1-1【解析】由MNMCCN1AC1CB1AC1(ABAC)2632321AB1ACxAByAC．所以x=1，y=-1．262623．29【解析】因?yàn)镈F1DC，DC1AB，1892CFDFDC1DCDC19DC19AB，9918AEABBEABBC，AFABBCCFABBC19AB1918ABBC，18AEAFABBC19ABBC1819AB22119ABBC18BC1819419921cos1201818211722117299218921818當(dāng)且僅當(dāng)21即2時(shí)的最小值為29．92318DFCEAB24．93【解析】akak1(cosk,sinkcosk)(cos(k1),sin(k1)66666(k1)cos2kk(k1)332kcos6)sincoscos64sin66661(2k1)1133cos，因此akak13．12926k0425．2【解析】因?yàn)??BAD 120，菱形的邊長(zhǎng)為 2，所以AB?AD -2.因?yàn)轵?驏1，由AE?AF1，AE?AF瓏鼢AB鼢瓏3桫桫所以442(11)1，解得2．3326．17【解析】設(shè)D(x,y)，由|CD|1，得(x3)2y21，向量OAOBOD(x1,y3)，故|OAOBOC|(x1)2(y3)2的最大值為圓(x3)2y21上的動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)(1,3)距離的最大值，其最大值為圓(x3)2y21(3,0)到點(diǎn)(1,3)的距離加上圓的半徑，的圓心即(31)2(03)2117．272【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在的直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，．則B(2,0)，E(2,1)，D(0,2)，C(2,2)．設(shè)F(x,2)(0≤x≤2)，由ABAF2x1，∴F(1,2)，AEBF=(2,1)(12,2)=2．28．(2sin2,1cos2)【解析】如圖過P作x軸的垂線，垂足為E，過C作y軸的垂線，垂足為A，根據(jù)題意可知圓滾動(dòng)了2個(gè)單位的弧長(zhǎng)，BA CE D∴PCD2，可知PCB2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為2xP2cos(2)2sin2,yP1sin(2)1cos2,22另解1：根據(jù)題意可知滾動(dòng)制圓心為（2,1）時(shí)的圓的參數(shù)方程為x2cosy1，sinx232)2sin23cos(且PCD2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為2，2,2y132)1cos2sin(2即OP(2sin2,1cos2).29．1【解析】根據(jù)已知得AD1(ABAC)，BE2ACAB，423所以ADBE1(ABAC)（2ACAB）=1(211ABAC)1．23233430．【解析】(1)∵mn，∴mn0，故2sinx2cosx0，∴tanx=1．22mn2sinx2cosx1，（2）∵m與n的夾角為3，∴cosm,n2112|m||n|2故sin(x)1，又x(0,2)，∴x4(,4)，x46，即x=5．42412故x的值為5．1231．【解析】（Ⅰ）已知f(x)abmsin2xncos2x，f(x)過點(diǎn)(,3),(2,2)，∴f()msin6ncos3123126f(2)msin4ncos423331m3n3m3∴22解得312n122（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)3sin2xcos2x2sin(2x6)由題意知g(x)f(x)2sin(2x2)6設(shè)ygx的圖象上符合題意的最高點(diǎn)為(x0,2)由題意知x211．所以x0，即到點(diǎn)(0,3)的距離為1的最高點(diǎn)為(0,2)．00將其代入ygx得sin261，又∵0，所以，6因此gx2sin2x2cos2x2由2k2x2k,kZ，得2kxk,kz∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[k,k],kZ．232．【解析】（Ⅰ）∵cosB1,b3,BABCcacosBac2，33且cosBa2c2-b2，∴ac6,ac5，∵ac，∴解得a3,c2．2ac所以a3,c2．（Ⅱ）∵cosB1223,b3,c2，，∴sinB3，∵a3cosCa2b2-c27，sinC422ab9，9∴cos(B-C)cosBcosCsinBsinC2323．27，故cos(B-C)2733．【解析】（1）ab＝(coscos,sinsin)，|ab|2＝(coscos)2(sinsin)2＝22(coscossinsin)2．所以，coscossinsin0，所以，ab．coscos0①)1（2）sin1，①2＋②2得：cos(．sin②2所以，＝2，＝2＋，33帶入②得：sin(2＋)＋sin＝3cos＋1sin＝sin(＋)＝1，3223所以，＋＝2．所以，＝5，＝6．3634．【解析】由題意，拋物線E的焦點(diǎn)為F(0,p)，直線l1的方程為yk1xp．22由yk1xp2得x22pk1xp20．x22py設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1、x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．從而x1x22pk1，y1y2k(x1x2)p2pk12p．所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(pk1,pk12p)，F(xiàn)M(pk1,pk12)．2同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為(pk2,pk22p)，F(xiàn)N(pk,pk2)．222于是FM FN p2(k1k2 k12k22)．由題設(shè)，有 k1＋k2＝2，k1>0，k2>0，k1≠k2，所以0k1k2(k1k2)21．2故FMFNp2(112)2p2．(2)【解析】由拋物線的定義得|FA|y1py2p，|FB|，22所以|AB|y1y2p2pk122p，從而圓M的半徑r1pk12p．故圓M的方程為(xpk1)2(ypk12p)2(pk12p)2．2化簡(jiǎn)得x2y22pk1xp(2k121)y3p20．4同理可得圓N的方程為x2y22pk2xp(2k221)y3p20．4于是圓M，圓N的公共弦所在直線l的方程為(k2k1)x(k22k12)y0．又k2－k1≠0，k1＋k2＝2，則l的方程為x＋2y＝0.因?yàn)閜>0，所以點(diǎn)M到直線l的距離22k11|p[2(k11)27]|2pk1pk1p|p|2k148d555故當(dāng)k11時(shí)，d取最小值7p．485由題設(shè)，得7p＝75，解得p8．855故所求的拋物線E的方程為x216y．2(3sinx)2(sinx)24sin2x，35．【解析】（I）由a2(cosx)2(sinx)21，及ab,得4sin2x1b又x[0,],從而sinx1，所以x.226（II）f(x)ab3sinxcosxsin2x=3sin2x1cos2x1sin(2x)1.22262當(dāng)x[0.]sin2x-）取最大值1.3326236．【解析】（1）由MA(2x,1y)，MB(2x,1y)，MAMB(2x)2(22y)2，OM(OAOB)(x,y)(0,2)2y，由已知得(2x)2(22y)2=2y2．化簡(jiǎn)得曲線C的方程：x24y．（2）假設(shè)存在點(diǎn)P(0,t)(t0)滿足條件，則直線PA的方程是yt1xt，PB的方程1tx2是yt．2曲線C在Q處的切線l的方程是yx0xx02，它與y軸的交點(diǎn)為F(0,x02)244由于2x02，因此1x01．2t11x0t1①當(dāng)1t0時(shí)，1(2，存在x02,2)，使得2．即l與直線PA22平行，故當(dāng)1t0時(shí)不符合題意．②t,1時(shí)，t1,1x0,1t?1x0，所以l與直線PA,PB一定相交．2222yt1xt分別聯(lián)立方程組2，解得D,E的橫坐標(biāo)分別是x0x2yx024xDx024t，xEx024t，則xExD(1t)x024t222(x01t)2(x0t1)x0(t1)又FPx02t，有SPDE1FPxExD1t(x024t)2428(t1)2，x0214(1x024x02又SQAB)，242S于是S

QAB4(x024)x02(t1)