第01章-隨機事件及其概率

第一章隨機事件及其概率序言第一節(jié)隨機事件第二節(jié)隨機事件的概率第三節(jié)古典概率模型第四節(jié)條件概率、全概率公式與貝葉斯公式第五節(jié)事件的獨立性與貝努利試驗習題序言自然界中的現象在標準大氣壓下，100℃的水必然會沸騰太陽從東方升起同性電荷互相排斥確定性現象(或必然現象)不定性現象拋硬幣觀察哪面朝上一門炮向固定目標射擊一賓館一天的入住人數股市下一個交易日的指數隨機現象的定義生活中很多非定性現象有如下特點：在一定的條件下對不定性現象進行試驗時，試驗結果是多個可能結果中的一個。而且在每次試驗前都無法確知試驗結果。不定性現象在大量重復試驗下，試驗結果呈現固有規(guī)律性——統(tǒng)計規(guī)律性。在個別試驗中其結果呈現出不確定性,在大量重復試驗中其結果又具有統(tǒng)計規(guī)律性的現象,稱為隨機現象。概率論與數理統(tǒng)計： 研究與揭示隨機現象 統(tǒng)計規(guī)律性的數學學科第一節(jié)

隨機事件幾個具體試驗

:

的情況.和反面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,THE2出現

:

觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,HE7出現的次數.在一批燈泡中任意抽取一支,測試它的壽命.

:E

觀察擊中與否.進行一次射擊,8上述試驗的共同特點試驗可以在相同的條件下重復進行（重復性）在概率論中將具有上述特點的試驗稱為隨機試驗，用E表示。

每次試驗的可能結果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能的結果（多樣性）進行一次具體試驗之前不能確定哪一個結果會出現（隨機性）樣本點e.

S一、樣本空間基本結果（樣本點）認識一個隨機現象的關鍵是能否羅列出它的一切可能發(fā)生的基本結果（即，樣本點）。這里的“基本結果”可按不同的方法來定義，這取決于試驗的目的。如果在檢查產品中，只關心合格與否，那么基本結果只有兩個：合格品與不合格品；若為了滿足顧客的不同需求，把合格品再分兩個級別，這時基本結果就有三個：一級品、二級品、不合格品?？梢娀窘Y果是相對的，是隨人們研究需要而劃分的。例：寫出下面隨機試驗的樣本空間

:

的情況.和反面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,THE2出現

:

觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,HE7出現的次數.在一批燈泡中任意抽取一支,測試它的壽命.E

觀察擊中與否.進行一次射擊,8可見：樣本空間S可以是數集，也可以是抽象的集合；可以是有限集，也可以是可列集；可以是一維的，也可以是多維集合；樣本空間是研究隨機現象的數學模型，正確地確定不同隨機試驗的樣本空間是極為重要的。試驗的樣本空間的子集稱為的隨機事件.二、隨機事件

當且僅當集合A中的一個樣本點出現時,稱事件A發(fā)生.我們通常關心某一隨機試驗的部分可能結果是否會出現。稱由這些部分樣本點組成的試驗結果為隨機事件，即例如：在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數。事件B={擲出奇數點}事件A={擲出1點}事件C{出現的點數大于4}=事件B發(fā)生當且僅當B中的樣本點1,3,5中的某一個出現.樣本空間為：基本事件：由一個樣本點組成的單點集。必然事件：樣本空間S。它包含所有的樣本點， 在每次試驗中必然發(fā)生。例如：在擲骰子試驗中，基本事件：Ai

={擲出i點},i=1,2,3,4,5,6必然事件：S={1,2,3,4,5,6}。 如“擲出點數小于7”不可能事件：空集。 如“擲出點數為9”不可能事件：空集不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生。概念對比集合S元素e子集A單點子集全集S空集

集合論 概率論樣本空間S樣本點e事件A基本事件必然事件S不可能事件三、隨機事件間的關系與運算如，甲乙兩人同時求解一道題，記事件A={甲解出該題}，事件B={乙解出該題}，事件C={該題被解出}，問，用事件A,B如何表示事件C？AB2.積事件：如，甲乙兩人分工完成一項任務，甲負責采購，乙負責銷售，記事件A={甲完成采購}，事件B={乙完成銷售}，事件C={該項任務被完成}，請問，事件A,B,C的關系如何？ABAABAB4.包含關系：如，擲一顆骰子，觀察出現點數，記事件A={出現1點}，事件B={出現奇數點},思考事件A，B的關系？則稱為6.對立事件：

兩事件A、B互斥：兩事件A、B互逆或互為對立事件即A與B不可能同時發(fā)生.除要求A、B互斥()外，還要求

事件的運算滿足的規(guī)律(4)德·摩根律：例：試驗為擲三次硬幣，事件A1：“第一次出現的是H”，事件A2：“三次出現同一面”,請用樣本點表示事件A1,A2,A1A2,A1A2,

A2-A1,A1A2的逆。解：

A1={HHH,HHT,HTH,HTT},

A2={HHH,TTT},

A1A2={HHH,HHT,HTH,HTT,TTT},

A1A2={HHH},

A2-A1={TTT},例：按長度和直徑兩個指標檢驗某種圓柱形產品例甲、乙、丙三人各向目標射擊一發(fā)子彈，以A、B、C分別表示甲、乙、丙命中目標，試用A、B、C的運算關系表示下列事件：如何求某事件的概率?

研究隨機現象，不僅關心試驗中會出現哪些事件，更重要的是想知道事件出現的可能性大小，也就是“事件的概率”.第二節(jié)

隨機事件的概率為什么要了解事件發(fā)生的可能性的大小？例如：了解發(fā)生意外人身事故的可能性大小,確定保險金額.了解來商場購物的顧客人數的各種可能性大小，合理配置服務人員.了解每年最大洪水超警戒線可能性大小，合理確定堤壩高度.一、頻率的定義頻率描述了事件發(fā)生的頻繁程度拋擲硬幣試驗記錄試驗者拋擲次數n正面出現次數m正面出現頻率m/n德摩根204810610.518蒲豐404020480.5069皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005維尼30000149940.4998當重復試驗的次數增大時,頻率呈現出穩(wěn)定性，逐漸穩(wěn)定于某個常數。這種“頻率穩(wěn)定性”即為統(tǒng)計規(guī)律性。使用“穩(wěn)定常數”定義概率是合理的，即在大量重復試驗中，頻率可作為概率的近似值,但有如下不足之處：實際中，不可能對每一事件做大量試驗求頻率理論研究不方便參考頻率的性質，公理化定義概率頻率→概率二、概率的公理化定義

設E是隨機試驗,S是它的樣本空間,對于E的每一事件A賦予一個實數,記為P(A),稱為事件A的概率,若集合函數P(?)滿足下列條件:

1,非負性:對于每一個事件A,有P(A)0;

2,規(guī)范性:對于必然事件S,有P(S)=1;

3,可列可加性:設A1,A2,...是兩兩互不相容事件,即對于ij,AiAj=f,i,j=1,2,...,則有

P(A1A2...)=P(A1)+P(A2)+... 概率公理化三條件性質1P(f)=0.由概率的可列可加性得概率的性質證性質2(有限可加性)

若A1,A2,...,An是兩兩互不相容的事件,則有

P(A1A2...An)=P(A1)+P(A2)+...+P(An)證令An+1=An+2=...=f,即有AiAj=f,ij,i,j=1,2,....由可列可加性得性質3(保號性)

設A,B是兩個事件,若AB,則有

P(B-A)=P(B)-P(A)

P(B)P(A) 證由AB知B=A(B-A),且A(B-A)=f,再由概率的有限可加性得 P(B)=P(A)+P(B-A),

又由概率的非負性,P(B-A)0知

P(B)P(A).性質4

對于任一事件A,P(A)1證性質5(逆事件的概率)

對任一事件A,有證因AS,由性質3得P(A)P(S)=1性質6(加法公式)對任意兩事件A,B有

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB).證因AB=A(B-AB),且A(B-AB)=f,ABB,故由有限可加性及性質3，得

P(AB)=P(A)+P(B-AB)

=P(A)+P(B)-P(AB).性質6的推廣：性質6的推論：試證明？第三節(jié)

古典概率模型一、古典概型的定義若隨機試驗滿足下述兩個條件：

(1)它的樣本空間只有有限多個樣本點；(有限性)

(2)每個樣本點出現的可能性相同.（等可能性）稱這種試驗為等可能概型或古典概型.

二、古典概型中事件概率的計算“等可能性”是一種假設，在實際應用中，我們需要根據實際情況去判斷是否可以認為各基本事件或樣本點是等可能的.例：判斷如下試驗是否是等可能概型。

:

的情況.和反面觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,THE2出現

:

觀察正面將一枚硬幣拋擲三次,HE7出現的次數.當樣本空間中的樣本點數比較多時，需用排列和組合的知識。

例3將n只球隨機地放入N(Nn)個盒子中去,試求每個盒子至多有一只球的概率.解：將n只球放入N個盒子,每種放法是一基本事件,共有NN...N=Nn種不同放法,而每個盒子中至多放一只球共有N(N-1)...[N-(n-1)]種不同放法,因而所求概率為許多問題和例3有相同的數學模型.

因而,n個人中至少有兩人生日相同的概率為例如：假設每人的生日在一年365天的任一天是等可能的,即都等于1/365,則隨機選取n(365)個人,他們的生日各不相同的概率為

n

p200.411230.507300.706400.891500.970640.9971000.9999997

例4(抓鬮、摸彩模型)袋中有a只白球,b只紅球,k個人依次在袋中取一只球,(1)作放回抽樣;(2)作不放回抽樣,求第i(i=1,2,...,k)個人取到白球(記為事件B)的概率(ka+b).(2)不放回抽樣：每種取法是一基本事件。由對稱性知各種取法發(fā)生的可能性相同。共有種取法。

解：(1)放回抽樣：事件B發(fā)生時，第i個人可以取a只白球中的任意一只，剩下被取的k-1只球可以是剩余a+b-1只球中的任意k-1只，注意！

P(B)與i無關,即各人取到白球的概率相同,與取球先后次序無關。（抽簽、買彩票機會均等）放回抽樣與不放回抽樣的情況下P(B)相同。例5(整數整除問題)從1到200這200個自然數中任取一個；(1)求取到的數能被6整除的概率；(2)求取到的數能被8整除的概率；(3)求取到的數既能被6整除也能被8整除的概率.解:

N(S)=200,N(3)=[200/24]=8N(1)=[200/6]=33,N(2)=[200/8]=25(1),(2),(3)的概率分別為:33/200,1/8,1/25思考：既不能被6整除也不能被8整除的概率？

在用排列組合公式計算古典概率時，必須注意不要重復計數，也不要遺漏.例：從5雙不同的鞋子中任取4只，這4只鞋子中“至少有兩只配成一雙”（事件A）的概率是多少？下面的做法錯在哪里？錯在同樣的“4只配成兩雙”算了兩次.從5雙中取1雙,從剩下的8只中取2只正確的答案是：第四節(jié)

條件概率、全概率

公式與貝葉斯公式

在解決許多概率問題時，往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.一、條件概率1.條件概率的概念如在事件B發(fā)生的條件下求事件A發(fā)生的概率，將此概率記作P(A|B).

一般地P(A|B)≠P(A)

P(A)=1/6，例如，擲一顆均勻骰子，A={擲出2}

B={擲出偶數}，

P(A|B)=？

已知事件B發(fā)生，此時試驗所有可能結果構成的集合就是B={2,4,6}。

P(A|B)=1/3.B中共有3個元素,它們的出現是等可能的,其中只有1個在集A中.于是容易看到P(A|B)=AB事件所含的樣本點數B事件所含的樣本點數總樣本點數總樣本點數

若事件B已發(fā)生,則為使A也發(fā)生,試驗結果必須是既在B中又在A中的樣本點,即此點必屬于AB.由于我們已經知道B已發(fā)生,故B變成了新的樣本空間,于是有(1).設A、B是兩個事件，且P(B)>0,則稱

(1)2.條件概率的定義為在事件B發(fā)生的條件下,事件A的條件概率.3.條件概率的性質(自行驗證)例擲兩顆均勻骰子,已知第一顆擲出6點,問“擲出點數之和不小于10”的概率是多少?則解：設A={擲出點數之和不小于10}B={第一顆擲出6點}應用定義4.條件概率的計算P(B)>0

例某建筑物按設計要求使用壽命超過50年的概率為0.8，超過60年的概率為0.6。該建筑物經歷了50年之后，它在10年內倒塌的概率有多大？解“建筑物使用超過50年”，“建筑物使用超過60年”

因，故因此，所求的概率為由條件概率的定義：即得乘法定理：

若P(B)>0，則P(AB)=P(B)P(A|B).或若P(A)>0，則P(AB)=P(A)P(B|A).二、乘法定理例:

設袋中裝有r只紅球,t只白球.每次自袋中任取一只球,觀察其顏色后放回,并再放入a只與所取出的那只球同色的球.若在袋中連續(xù)取球四次,試求第一,二次取到紅球且第三,四次取到白球的概率.解:

以Ai(i=1,2,3,4)表示事件“第i次取到紅球”,則所求概率為練習：設有6張字母卡片，其中兩張是e，兩張是s，一張是r，一張是i，混合后重新排列，求正好排成series的概率。三、全概率公式和貝葉斯公式定義設S為試驗E的樣本空間,B1,B2,...,Bn為E的一組事件,若

(1)BiBj=f,ij,i,j=1,2,...,n;

(2)B1B2...Bn=S,

則稱B1,B2,...,Bn為樣本空間的一個劃分.

若B1,B2,...,Bn是樣本空間的一個劃分,那么,對于每次試驗,事件B1,B2,...,Bn中必有一個且僅有一個發(fā)生.劃分的圖示B1B2B3SB4B5全概率公式：

某一事件A的發(fā)生有各種可能的原因

，如果A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起，則A發(fā)生的概率是

每一原因都可能導致A發(fā)生，故A發(fā)生的概率是各原因引起A發(fā)生概率的總和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi)我們可以這樣理解全概率公式：

定理2

設試驗E的樣本空間為S.A為E的事件,B1,B2,...,Bn為S的一個劃分,且P(A)>0,P(Bi)>0(i=1,2,...,n),則下面的貝葉斯公式成立:證由條件概率的定義及全概率公式得n=2時，兩個公式的簡化

全概率公式貝葉斯公式

例:

某電子設備廠所用元件由三家元件廠供給,根據以往紀錄有以下數據:元件制造廠次品率提供元件的份額10.020.1520.010.8030.030.05設這三廠產品在倉庫中混合擺放無區(qū)別標志.(1)在倉庫中任取一只元件,求它是次品的概率;(2)如已取到一只次品,求它由各廠生產的概率分別是多少.

解:設A表示“取到次品”,Bi表示“產品來自第i家工廠提供”,則B1,B2,B3構成樣本空間的一個劃分,P(B1)=0.15,P(B2)=0.8,P(B3)=0.05,P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.03.(1)由全概率公式

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)

=0.0125.

(2)由貝葉斯公式例:

設5支槍中有2支未經試射校正，3支已校正。一射手用校正過的槍射擊，中靶率為0.9，用未校正過的槍射擊，中靶率為0.4。(1)該射手任取一支槍射擊，中靶的概率是多少？(2)若任取一支槍射擊，結果未中靶，求該槍未校正的概率。解：設A表示槍已校正，B表示射擊中靶，則教材P19，例1.20教材P20，例1.21第五節(jié)

事件的獨立性與

貝努利試驗一般,A的發(fā)生對B發(fā)生的概率是有影響的,這時P(B|A)P(B)。設A,B是試驗E的兩事件,若P(A)>0,可以定義條件概率P(B|A)：如果A的發(fā)生對B發(fā)生的概率沒有影響，則有

P(B|A)=P(B),這時有

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)例:

設試驗E為“拋甲,乙兩枚硬幣,觀察正反面出現的情況”.設事件A為“甲幣出現H”,事件B為“乙?guī)懦霈FH”.可知P(B|A)=P(B),而P(AB)=P(A)P(B).事實上,由題意,甲幣是否出現正面與乙?guī)攀欠癯霈F正面是互不影響的.E的樣本空間為S={HH,HT,TH,TT},A={HH,HT},B={HH,TH},AB={HH}.則有若兩事件A、B滿足

P(AB)=P(A)P(B)則稱A、B相互獨立，簡稱A、B獨立.兩事件獨立的定義

=P(A)[1-P(B)]=P(A)-P(AB)P(A)=P(A-A

B)A、B獨立概率的性質=P(A)-P(A)P(B)僅證A與獨立定理2

若兩事件A、B獨立,則

也相互獨立.證明:=P(A)P()故A與獨立注：A與B，，若四對中任一對獨立，其它三對亦獨立.定義(推廣)設A,B,C是三個事件,如果滿足等式則稱事件A,B,C相互獨立.

更一般地,設A1,A2,...,An(n≥2)個事件,如果對于其中任意2個,任意3個,...,任意n個事件的積事件的概率,都等于各事件概率之積,則稱事件A1,A2,...,An相互獨立.推論：

1.

若P(A)>0,P(B)>0,則A,B相互獨立與A,B互不相容不能同時成立.

（互不相容時P(AB)=0）

2.若事件A1,A2,...,An(n2)相互獨立,則其中任意k(2kn)個事件也是相互獨立的.

3.若n個事件A1,A2,...,An(n2)相互獨立,則將A1,A2,...,An中任意多個換成它們的對立事件,所得的n個事件仍相互獨立.

例：

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}，可見,P(AB)=P(A)P(B)

由于P(A)=4/52=1/13,故事件A、B獨立.問事件A、B是否獨立？解：P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,在實際應用中,往往根據問題的實際意義去判斷事件是否獨立.即

例3下面是一個串并聯電路示意圖.A、B、C、D、E、F、G、H都是電路中的元件.它們下方的數是它們各自正常工作的概率.求電路正常工作的概率.

解將電路正常工作記為W，由于各元件獨立工作，有其中P(W)0.782代入得教材P28，ex33（二）貝努利試驗設在一次試驗E中我們只考慮兩個互逆的結果：A

或.這樣的試驗E稱為貝努利試驗.“重復”是指這n

次試驗中P(A)=p保持不變.將貝努利試驗E獨立地重復地進行n次,則稱這一串重復的獨立試驗為n重貝努利試驗

.“獨立”是指各次試驗的結果互不影響，即：若以Ci記第i次試驗的結果,Ci為則 P{C1C2…Cn}=P(C1)P(C2)…P(Cn).

以Bk表示事件“在n重貝努利試驗中事件A恰好發(fā)生了k次”，P(A)=p，則注意：

在n重貝努利試驗中，我們主要研究事件A發(fā)生的次數。例4甲、乙兩名棋手進行比賽，已知甲的實力較強，每盤棋獲勝的概率為0.6，假定每盤棋的勝負是相互獨立的，且不會出現和棋。試求在下列三種情形下甲最終獲勝的概率。（1）采用三盤兩勝制；（2）采用五盤三勝制；（3）采用九盤五勝制。顯然，每盤比賽只有甲勝和甲負兩種結果，

因此可以看作貝努利試驗。（1）

甲勝=“甲勝兩盤和三盤”，所求的概率為（2）甲勝=“甲勝三盤以上”，所求的概率為（3）甲勝=“甲勝五盤以上”，所求的概率為因此，比賽場數越多，對強者越有利。當n為正的奇數，0<p<1時，記k0=(n+1)/2,則即例.三人命中率都是0.8，他們各自獨立地向同一目標射擊，若命中目標的人數分別為0,1,2,3時，目標被摧毀的概率分別為0,0.2,0.5,0.8，求目標被摧毀的概率.解：設A={目標被摧毀}，

Bi={命中目標人數為i},i=0,1,2,3.THEEND第一章知識框架隨機事件的關系及運算概率的定義及性質，包括古典定義條件概率及三大公式事件獨立性與n重Bernoulli試驗習題問題：設盒中有N個球，其中有M個白球，現從中任抽n個球，則這n個球中恰有k個白球的概率是多少？注：這是超幾何分布問題：某市有甲,乙,丙三種報紙,訂每種報紙的人數分別占全體市民人數的30%,其中有10%的人同時訂甲,乙兩種報紙.沒有人同時訂甲丙或乙丙報紙.求從該市任選一人,他至少訂有一種報紙的概率.解設A,B,C分別表示選到的人訂了甲,乙,丙報問題：盒中有3個紅球,2個白球,每次從袋中任取一只，觀察其顏色后放回，并再放入一只與所取之球顏色相同的球，若從盒中連續(xù)取球4次,試求第1、2次取得白球，第3、4次取得紅球的概率。解設Ai為第i次取球時取到白球，則問題：市場上有甲、乙、丙三家工廠生產的同一品牌產品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為2％、1％、3％，試求市場上該品牌產品的次品率。解：問題：商店論箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8,0.1,0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結果都是好的，便買下了這一箱.問這一箱含有一個次品的概率是多少？解：設A:從一箱中任取4只檢查,結果都是好的.B0,B1,B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1由Bayes公式:問題：三人獨立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

解將三人編號為1，2，3，所求為記Ai={第i個人破譯出密碼}i=1,2,3已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]問題：如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點,假設每個觸點閉合的概率為p,且各繼電器接點閉合與否相互獨立，求L

至R是通路的概率。設A表示“L

至R為通路”,

Ai

表示“第i

個繼電器通”,i

=1,2,…5.由全概率公式問題：盒中有12個乒乓球，其中有9個是新的。第一次比賽時從中任取3個來用，比賽后放回盒中。第二次比賽時再從盒中任取3球，求第二次取出的球都是新球的概率。設A={第二次取出的全是新球}，Bi={第一次比賽取出i個新球}，i=0,1,2,3.問題：一學生接連參加兩次概率統(tǒng)計和隨機過程課程的考試，第一次及格的概率為p，若第一次及格則第二次及格的概率也為p;若第一次不及格則第二次及格的概率為p/2.(1)若至少有一次及格他才能獲得學分，求他能獲得學分的概率；(2)若已知他第二次已經及格，求他第一次及格的概率.記A={能獲得學分}