平穩(wěn)時(shí)間序列模型及其特征

平穩(wěn)時(shí)間序列模型及其特征第一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日2第一節(jié)模型類型及其表示

一、預(yù)備知識(shí)第二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日3一階差分(相距一期的兩個(gè)序列值之間的減法運(yùn)算稱為1階差分運(yùn)算)

階差p分

步差k分對(duì)1階差分后序列再進(jìn)行一次1階差分運(yùn)算稱為2階差分▽2xt=▽xt-▽xt-1依此類推，對(duì)p-1階差分后序列再進(jìn)行一次1階差分運(yùn)算稱為p階差分第三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日42.滯后算子滯后算子類似于一個(gè)時(shí)間指針，當(dāng)前序列值乘以一個(gè)滯后算子，就相當(dāng)于把當(dāng)前序列值的時(shí)間向過(guò)去撥了一個(gè)時(shí)刻

記B為滯后算子，有

第四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日5

，其中

第五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日6線性差分方程齊次線性差分方程第六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日7

特征方程特征方程的根稱為特征根，記作齊次線性差分方程的通解不相等實(shí)數(shù)根場(chǎng)合有相等實(shí)根場(chǎng)合復(fù)根場(chǎng)合第七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日8第八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日9AR（p）模型：MA（q）模型：ARMA（p，q）模型：第九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日10二、自回歸模型一階自回歸模型AR（1）

第十頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日11第十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日12

AR（1）模型的特例——隨機(jī)游動(dòng)

第十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日13隨機(jī)游動(dòng)模型有以下特征：1）模型有非常強(qiáng)的一期記憶性。2）系統(tǒng)的一步超前預(yù)測(cè)。3）與AR（1）模型類似，隨機(jī)游動(dòng)模型可以寫(xiě)成，可以看出噪聲對(duì)yt的影響并不隨著時(shí)間的推移而減弱。第十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日14

一般自回歸模型模型的特點(diǎn)有：第十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日15三、移動(dòng)平均模型一階滑動(dòng)平均模型MA（1）用MA（1）模型作預(yù)測(cè)，那么得到的預(yù)測(cè)值僅僅取決于上期系統(tǒng)的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。

第十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日16q階滑動(dòng)平均模型MA（q）

有限個(gè)白噪聲的和總是平穩(wěn)的，因此通常MA（q）模型是平穩(wěn)的。如果對(duì)該模型作向前一步預(yù)測(cè)，則有第十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日17四、自回歸移動(dòng)平均模型第十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日18第十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日19當(dāng)q=0時(shí)，ARMA（p，0）模型就是AR（p）模型，當(dāng)p=0時(shí)，ARMA（0，q）模型就是MA（q）模型，因此自回歸模型和移動(dòng)平均模型都是ARMA（p，q）模型的特例。第十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日20第二節(jié)格林函數(shù)和平穩(wěn)性一、ARMA（p，q）的格林函數(shù)（一）ARMA（p，0）系統(tǒng)的格林函數(shù)

若一個(gè)系統(tǒng)被表示為yt=，則系數(shù)函數(shù)稱為格林函數(shù)或記憶函數(shù)。

第二十頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日21

MA（q）過(guò)程格林函數(shù)為

AR(P)AR（P）過(guò)程格林函數(shù)為第二十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日22ARMA（p，q）的格林函數(shù)第二十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日23例2求模型的格林函數(shù)對(duì)比等式左右兩邊有因此模型的格林函數(shù)

第二十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日24第二十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日25二、系統(tǒng)的平穩(wěn)性（一）AR(p)系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件平穩(wěn)域：第二十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日26例3求一階自回歸模型的平穩(wěn)域解：即平穩(wěn)域?yàn)椋?/p>

第二十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日27例4求二階自回歸模型的平穩(wěn)域解：特征方程需滿足：即：第二十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日28

(二)ARMA(p,q)系統(tǒng)的平穩(wěn)性條件ARMA模型平穩(wěn)性完全取決于模型中的AR部分，如果模型中的AR部分是平穩(wěn)的，則ARMA模型是平穩(wěn)的。第二十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日29第三節(jié)逆函數(shù)和可逆性一、MA（q）模型的可逆域逆函數(shù)形式:I（B）稱為逆函數(shù)第二十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日30第三十頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日31例5判斷MA（2）模型是否可逆解：特征方程，可逆域?yàn)椋簼M足可逆條件，因此可逆。第三十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日32二、MA（q）模型的逆函數(shù)第三十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日33例6求模型的逆函數(shù)解：第三十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日34三、ARMA（p，q）的可逆域與逆函數(shù)第三十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日35第四節(jié)平穩(wěn)時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征一、自相關(guān)函數(shù)第三十五頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日36第三十六頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日37第三十七頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日38第三十八頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日39（二）MA（q）的自相關(guān)函數(shù)第三十九頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日40第四十頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日41二、偏相關(guān)函數(shù)

第四十一頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日42第四十二頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日43Yule-Wolker方程：第四十三頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日44偏相關(guān)函數(shù)：第四十四頁(yè)，共四十五頁(yè)，2022年，8月28日45本章小結(jié)1．AR模型、MA模型和ARMA模型是三種基本的線性時(shí)間序列模型，能夠用有限的參數(shù)刻畫(huà)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性。這三種模型屬于隨機(jī)差分方程，因此特征方程對(duì)研究三類模型的統(tǒng)計(jì)特性具有重要意義。2．AR模型的逆函數(shù)表示是指用無(wú)限階的MA模型來(lái)表示有限階的AR模型，格林函數(shù)就是無(wú)限階MA模型的系數(shù)。AR模型平穩(wěn)性條件是的根在單位圓外或者特征方程的根在單位內(nèi)，滿足這個(gè)范圍的自回歸系數(shù)區(qū)域構(gòu)成平穩(wěn)域。3．將有限階MA模型表示為無(wú)限階AR模型，就得到MA模型的逆轉(zhuǎn)形式。MA模型具有可逆性的條件是的根在單位圓外或者特征方程的根在單位內(nèi)。MA模型的格林函數(shù)與AR模型的格林函數(shù)在形式上是一致的。