ch3-模糊控制系統(tǒng)

1第三章模糊控制系統(tǒng)(FuzzyLogicControl)2主要內(nèi)容3.2模糊集合與模糊推理3.3模糊控制3.1概述3

模糊控制在一定程度上模仿了人的控制，它不需要準確的控制對象模型，因此它是一種智能控制的方法。3.1概述4生活中，經(jīng)常聽到這樣的話“他很高”、“他很年輕”、“數(shù)量很大”、“溫度偏高”等等，其中的“高”、“年輕”、“很大”、“偏高”都是模糊的概念。5

如何描述模糊的概念，并對它們進行分析、推理，正是模糊集合與模糊數(shù)學所要解決的問題。Zadeh提出的模糊集合的概念，突破了19世紀德國數(shù)學家康拓創(chuàng)立的經(jīng)典集合論中屬于或不屬于的絕對關(guān)系。這一開創(chuàng)性的工作，標志著數(shù)學的一個新的分支——模糊數(shù)學的誕生。6

模糊集合是一種特別定義的集合，它可用來描述模糊現(xiàn)象。有關(guān)模糊集合、模糊邏輯等的數(shù)學理論，稱之為模糊數(shù)學。7

模糊性也是一種不確定性，但它不同于隨機性，所以模糊理論不同于概率論。

模糊性通常是指對概念的定義以及語言意義的理解上的不確定性。主要是人為的主觀理解上的不確定性。

隨機性主要反映的是客觀上的自然的不確定性，或者是事件發(fā)生的偶然性。8

模糊數(shù)學是研究模糊現(xiàn)象的，概率論是研究隨機現(xiàn)象的，兩者都屬于不確定性數(shù)學。但不可認為模糊數(shù)學是模糊的概念，它是完完全全精確的，是借助定量的方法研究模糊現(xiàn)象的工具。9

模糊集合理論，是對復雜系統(tǒng)或過程建立一種語言分析的數(shù)學模式，使自然語言能直接轉(zhuǎn)化為計算機所能夠接受的算法語言。于是，模糊控制應運而生。101965年Zadeh首先提出了模糊集合的概念,由此開創(chuàng)了模糊數(shù)學及其應用的新紀元。1974年英國教授馬丹尼(E.H.Mamdani)首先將模糊集合理論應用于加熱器的控制，其后產(chǎn)生了很多模糊控制的應用。11

在模糊控制的應用方面，日本走在了前列。日本率先將模糊控制應用到日用家電產(chǎn)品的控制，如照相機、吸塵器、洗衣機等。在日本，模糊控制的應用已經(jīng)相當普及。12

模糊控制理論具有一些明顯的特點：（1）模糊控制不需要被控對象的數(shù)學模型。模糊控制是以人對被控對象的控制經(jīng)驗為依據(jù)而設(shè)計的控制器，故無需知道被控對象的數(shù)學模型。（2）模糊控制是一種反映人類智慧的智能控制方法。模糊控制采用人類思維中的模糊量，如“高”、“中”、“低”、“大”、“小”等，控制量由模糊推理導出。這些模糊量和模糊推理是人類智能活動的體現(xiàn)。13

（3）模糊控制易于被人們接受。模糊控制的核心是控制規(guī)則，模糊規(guī)則是用語言來表示的，如“今天氣溫高，則今天天氣暖和”，易于被一般人所接受。（4）構(gòu)造容易。模糊控制規(guī)則易于軟件實現(xiàn)。（5）魯棒性和適應性好。通過專家經(jīng)驗設(shè)計的模糊規(guī)則可以對復雜的對象進行有效的控制。14主要內(nèi)容3.2模糊集合與模糊推理3.3模糊控制3.1概述15一、模糊集合的概念與運算二、模糊集合的隸屬函數(shù)三、模糊關(guān)系及其運算四、模糊推理3.2模糊集合與模糊推理161.模糊集合的概念一、模糊集合的概念與運算[例3.1]到蘋果園去摘“大蘋果”，這里“大蘋果”就是一個模糊的概念。如果將“大蘋果”看作是一個集合，那么“大蘋果”就是一個模糊集合。如果認為比2兩重的蘋果稱為“大蘋果”，

2.5兩的蘋果毫無疑問地屬于“大蘋果”，對此加以量化，可設(shè)其屬于的程度為1。

2.1兩的蘋果屬于“大蘋果”的程度假如為0.7；

2兩的蘋果屬于的程度為0.5；

1.9兩的蘋果屬于的程度為0.3等等。17

以后稱屬于的程度為隸屬度函數(shù)，其值可在0~1之間連續(xù)變化?？梢?，隸屬度函數(shù)反映了模糊集合中的元素屬于該集合的程度。

若模糊集合“大蘋果”用A表示，隸屬度函數(shù)用μ表示。A中的元素用x表示，則便表示x屬于A的隸屬度，對于前面的例子可寫為：18[例3.2]設(shè)論域U={張三，李四，王五}，評語為“學習好”。設(shè)三個人學習成績總評分是張三得95分，李四得90分，王五得85分，三人都學習好，但又有差異。若采用普通集合的觀點，選取特征函數(shù)19

此時特征函數(shù)分別為(張三)=1，(李四)=1，(王五)=1。這樣就反映不出三者的差異。假若采用模糊子集的概念，選取[0，1]區(qū)間上的隸屬度來表示它們屬于“學習好”模糊子集A的程度，就能夠反映出三人的差異。20

采用隸屬函數(shù)，由三人的成績可知三人“學習好”的隸屬度為(張三)=0.95，(李四)=0.90，(王五)=0.85。用“學習好”這一模糊子集A可表示為：

其含義為張三、李四、王五屬于“學習好”的程度分別是0.95，0.90，0.85。21設(shè)給定論域U,U到[0,1]閉區(qū)間的任一映射

都確定U的一個模糊子集A,映射

稱為μ對于A的隸屬度。

模糊子集的定義22

支集支集截集23

截集設(shè)A∈U,0≤λ≤1①②稱Aλ為A的λ截集，λ稱為置信水平。稱Aλ為A的λ強截集，也稱為開截集。24

凸模糊集

設(shè)A為論域U上的模糊集（U由全體實數(shù)組成），A的隸屬函數(shù)為μA(x)，若對任意實數(shù)a<x<b都有μA(x)≥

min[μA(a)，μA(b)]，則稱A為凸模糊集。25①若A和B都是凸模糊集，則A∩B也是凸模糊集。②凸模糊集的截集必定是區(qū)間，截集均為區(qū)間的模糊集必為凸模糊集。

由此可以看出，凸模糊集實質(zhì)上就是隸屬函數(shù)具有單峰特性。凸模糊集具有以下性質(zhì)：262.模糊集合的表達方式Zadeh表示法

1）當U為有限集{u1,u2,…,un}時，有以下幾種表達方式。

27式中“+”號——在論域U上，組成模糊集合A的全體元素ui(i=1,2,...,n)間排序與整體間的關(guān)系。

A(ui)/ui——并不表示“分數(shù)”，而是表示將各項匯總所形成的模糊集合在論域U上的整體。28

序偶表示法

若將論域U中的元素ui與其對應的隸屬度值組成序偶也可將A表示為29

向量表示法

若單獨地將論域U中所對應的元素ui(i=1,2,…,n)隸屬度值,由按序?qū)懗傻南蛄啃问絹肀硎灸：蛹疉，則可以是注意，在向量表示法中隸屬度為0的項不能省略，必須依次寫。30

例：設(shè)U={x1,x2,x3,x4,x5},xi表示同學，對每位同學的學習刻苦程度在[0，1]間打分，便得到了從U到[0，1]的映射，記A=“學習刻苦”。

A(x1)=0.3,A(x2)=0.55,A(x3)=0.7,A(x4)=0.4,A(x5)=0.931用序偶表示法表示為用向量表示法表示為用Zadeh法表示為32

隸屬函數(shù)解析式表示法

以年齡為論域，取x=[0,100]。Zadeh給出了“年輕”的模糊集Y，其隸屬函數(shù)為33

2）當U是有限連續(xù)域時，Zadeh給出如下記法

式中，“∫”不表示“積分”，也不是“求和”記號，而是表示論域U上的元素u與隸屬度uA(u)對應關(guān)系的一個總括。343.模糊集合的運算

模糊集合的基本運算

（1）空集模糊集合的空集為普通集，它的隸屬度為0，即

（2）全集模糊集合的全集為普通集，它的隸屬度為1，即35

（3）等集兩個模糊集A和B，若對所有元素u，它們的隸屬函數(shù)相等，則A和B也相等。即

（4）子集若B為A的子集，則

例如，設(shè)A為“成績好”的模糊集，某學生屬于“成績好”的隸屬度為：則屬于“成績差”的隸屬度為：（5）補集為A的補集，則37

（6）并集若C為A和B的并集，則C=A∪B

（7）交集若C為A和B的交集，則C=A∩B3839

[例3.3]

設(shè)x={1,2,3}上有兩個模糊子集為A=1/1+0.8/2+0.6/3B=0.3/1+0.5/2+0.7/3則A∪

B、A∩

B、A∪B=1/1+0.8/2+0.7/3A∩B=0.3/1+0.5/2+0.6/3

=0/1+0.2/2+0.4/3=0.7/1+0.5/2+0.3/340

模糊集合運算的基本性質(zhì)1．冪等律

A∪A=A，A∩A=A2．交換律

A∪B=B∪A，A∩B=B∩A3．結(jié)合律

(A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)414．吸收律

A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A5．分配律

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)6．復原律427．對偶律8．兩極律

A∪E=E，A∩E=AA∪Ф=A，A∩Ф=Ф43

[例3.4]

設(shè)論域u中模糊子集A1=0.1/u1+0.2/u2+0.7/u3,A2=0.3/u1+0.4/u2+0/u3,A3=0/u1+0.1/u2+0.5/u3求S=A1∩A2∩A3和T=(A1∪A2)∩(A3)4445

[例3.5]試證普通集合中的互補律在模糊集合中不成立，即證：設(shè)，則46

模糊子集的代數(shù)運算代數(shù)積：A·B的隸屬函數(shù)為μA·B

μA·B=μA·μB代數(shù)和：A+B的隸屬函數(shù)為μA+B47環(huán)和：的隸屬函數(shù)為差集：對稱差：A

B=(A-B)∪(B-A)常數(shù)乘模糊集合λ·A:μλ·A（u)=λ∧

μA(u)48一、模糊集合的概念與運算二、模糊集合的隸屬函數(shù)三、模糊關(guān)系及其運算四、模糊推理3.2模糊集合與模糊推理49Matlab中已經(jīng)開發(fā)出了11種隸屬函數(shù)，即雙S形隸屬函數(shù)、聯(lián)合高斯型隸屬函數(shù)、高斯型隸屬函數(shù)、廣義鐘形隸屬函數(shù)、II型隸屬函數(shù)、雙S形乘積隸屬函數(shù)、S狀隸屬函數(shù)、S形隸屬函數(shù)、梯形隸屬函數(shù)、三角形隸屬函數(shù)、Z形隸屬函數(shù)，即：二、模糊集合的隸屬函數(shù)1.幾種典型的隸屬函數(shù)5051

在模糊控制中應用較多的隸屬函數(shù)有以下6種隸屬函數(shù)。（1）高斯型隸屬函數(shù)高斯型隸屬函數(shù)由兩個參數(shù)σ和c確定：其中參數(shù)σ通常為正，參數(shù)c用于確定曲線的中心。Matlab表示為

52

(2)廣義鐘形隸屬函數(shù)廣義鐘形隸屬函數(shù)由三個參數(shù)a，b，c確定：其中參數(shù)a和b通常為正，參數(shù)c用于確定曲線的中心。Matlab表示為53(3)S形隸屬函數(shù)

S形函數(shù)sigmf(x,[ac])由參數(shù)a和c決定：其中參數(shù)a的正負符號決定了S形隸屬函數(shù)的開口朝左或朝右，用來表示“正大”或“負大”的概念。Matlab表示為54

（4）梯形隸屬函數(shù)梯形曲線可由四個參數(shù)a，b，c，d確定：其中參數(shù)a和d確定梯形的下底邊，而參數(shù)b和c確定梯形的上底邊。Matlab表示為：55(5)三角形隸屬函數(shù)三角形曲線的形狀由三個參數(shù)a，b，c確定：其中參數(shù)a和c確定三角形的底邊，而參數(shù)b確定三角形的高。Matlab表示為56

（6）Z形隸屬函數(shù)這是基于樣條函數(shù)的曲線，因其呈現(xiàn)Z形狀而得名。參數(shù)a和b確定了曲線的形狀。Matlab表示為

57高斯型廣義鐘形S形梯形三角形Z形58[例3.6]設(shè)計一個三角形隸屬函數(shù)，按[-3，3]范圍七個等級，建立一個模糊系統(tǒng)，用來表示{負大，負中，負小，零，正小，正中，正大}。仿真結(jié)果如圖所示。三角形隸屬函數(shù)曲線59[例3.7]設(shè)計評價一個學生成績的隸屬函數(shù)，在[0，100]之內(nèi)按A、B、C、D、E分為五個等級，即{不及格，及格，中，良，優(yōu)}。分別采用五個高斯型隸屬函數(shù)來表示，建立一個模糊系統(tǒng)，仿真結(jié)果如圖所示。60高斯型隸屬函數(shù)曲線61

隸屬函數(shù)是模糊控制的應用基礎(chǔ)。目前還沒有成熟的方法來確定隸屬函數(shù)，主要還停留在經(jīng)驗和實驗的基礎(chǔ)上。通常的方法是初步確定粗略的隸屬函數(shù)，然后看它是否符合實際要求，再不斷地調(diào)整和完善。以下為幾種常用的確定隸屬函數(shù)的方法。2.隸屬函數(shù)的確定方法62（1）模糊統(tǒng)計法根據(jù)所提出的模糊概念進行調(diào)查統(tǒng)計，提出與之對應的模糊集A，通過統(tǒng)計實驗，確定不同元素隸屬于A的程度。對模糊集A的隸屬度=63

（2）主觀經(jīng)驗法當論域為離散論域時，可根據(jù)主觀認識，結(jié)合個人經(jīng)驗，經(jīng)過分析和推理，直接給出隸屬度。這種確定隸屬函數(shù)的方法已經(jīng)被廣泛應用。

（3）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學習功能，由神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自動生成隸屬函數(shù)，并通過網(wǎng)絡(luò)的學習自動調(diào)整隸屬函數(shù)的值。64

（4）例證法主要思想是從已知有限個μA的值，來估計論域U上的模糊子集A的隸屬函數(shù)。

（5）二元排序法通過多個事物之間兩兩對比來確定某確定特征下的順序，由此來確定這些事物對該特征的隸屬函數(shù)的大致形狀。65一、模糊集合的概念與運算二、模糊集合的隸屬函數(shù)三、模糊關(guān)系及其運算四、模糊推理3.2模糊集合與模糊推理66

關(guān)系三、模糊關(guān)系及其運算1.模糊關(guān)系

客觀世界中的各種事物之間一般都存在著某種聯(lián)系,而描述事物間聯(lián)系的數(shù)學模型之一就是“關(guān)系”。67

設(shè)有兩個集合X，Y，從X與Y中各取出一元素x,y，組成序偶(x,y)，所有這樣的序偶構(gòu)成的集合，被稱為X與Y的直積，記作X×Y

對于集合X，Y，直積X×Y的子集R稱為X與Y之間的二元關(guān)系或關(guān)系。68

關(guān)系R是A與B兩集合的直積A×B的一個子集?，F(xiàn)將關(guān)系R的概念推廣到模糊關(guān)系。模糊關(guān)系一般不僅考慮關(guān)系的有無，而且考慮關(guān)系的程度。例如，給出幾個家庭成員的“相象關(guān)系”，這時就很難絕對地說“象”或“不象”，只能評論他們的“相象”程度。為此，引入更廣泛的概念“模糊關(guān)系”。69

模糊關(guān)系

設(shè)X，Y是兩個論域，由X，Y作出一個新的論域X×Y。X×Y上的模糊集R∈F(X×Y)叫做X與Y之間的模糊關(guān)系，即：其中，μR(x,y)稱為x與y關(guān)于R的關(guān)系程度。當X=Y時，稱R為X上的模糊關(guān)系。70例3.8設(shè)有一組同學X，X={張三，李四，王五}，他們的功課為Y，Y={英語，數(shù)學，物理，化學}。他們的考試成績?nèi)缦卤恚嚎荚嚦煽儽?1

取隸屬函數(shù)，其中u為成績。如果將他們的成績轉(zhuǎn)化為隸屬度，則構(gòu)成一個x×y上的一個模糊關(guān)系R，見下表。72將上表寫成矩陣形式，得：考試成績表的模糊化73

該矩陣稱作模糊矩陣，其中各個元素必須在[0，1]閉環(huán)區(qū)間上取值。矩陣R也可以用關(guān)系圖來表示，如圖所示。R的關(guān)系圖742.模糊關(guān)系矩陣的運算

模糊關(guān)系是一種特殊的模糊集。因此，對模糊關(guān)系同樣具有相等、包含、并、交、以及補運算等。另外，由于模糊關(guān)系的特殊性，它還有合成運算。模糊關(guān)系的運算用模糊關(guān)系矩陣表示更為方便。75

設(shè)R和S為U上的兩個模糊關(guān)系，分別表示為：76則模糊關(guān)系運算如下：(a)相等

R與S相等，意味著(b)包含

R包含S，意味著77(c)并

R與S并，表示為R∪S，則式中78(d)交

R與S交，表示為R∩S，則式中79(e)補

R的補，表示為，則式中80(f)合成

R與S的合成，表示為R

S81例3.9設(shè)則8283例3.10

設(shè)模糊關(guān)系A(chǔ)和B，分別為則A∪B，A∩B，為848586一、模糊集合的概念與運算二、模糊集合的隸屬函數(shù)三、模糊關(guān)系及其運算四、模糊推理3.2模糊集合與模糊推理87四、模糊推理1.模糊語言

自然語言是人們在日常生活中所使用的語言，它的主要特征就是具有模糊性。

帶有模糊性的語言稱之為模糊語言。如美麗、善惡、寒冷和勤奮等，都是沒有明確界限、帶有模糊性的語言。模糊控制中，關(guān)于誤差的模糊語言有：正大、正小、零等。88

人與人對話需要自然語言，人與計算機對話就需要機器語言。

機器語言是用一系列符號代表計算機的動作和被處理的狀態(tài)，在形式上起記號的作用，所以又稱為形式語言。形式語言具有嚴格的語法規(guī)則和語義，不存在任何的模糊性和歧義，完全具有二值邏輯的特點，這是它與自然語言的顯著區(qū)別。89

為了讓計算機能夠處理自然語言，表達和模擬人的智慧，人們將模糊集的概念應用到自然語言，提供了處理模糊概念的系統(tǒng)方法。

單詞

表達概念的最小單位，如天、地、人、黑、白、高、低等等。90

詞組

單詞通過“與”，“或”，“非”等邏輯運算符連接起來就構(gòu)成詞組。

例如[年輕或年老]=[年輕]∨[年老]

[年輕且年老]=[年輕]∧[年老][非年輕]=[年輕]C91

模糊語言算子

指語言系統(tǒng)中的一類修飾字詞的前綴詞或模糊量詞，用來調(diào)整詞的含義，也稱為模糊算子。根據(jù)功能不同，通常分為語氣算子、模糊化算子和判定化算子。92(a)語氣算子

用來表達語言中的詞的確定性程度。如“很”、“極”、“略”、“比較”、“微”等修飾詞。語氣算子定義為：

當λ＞1時，Hλ稱為集中化算子，它加強了語氣的肯定程度。如H4/3為“有些”，K2為“很”，K4為“極”。93

當λ＜1時，Hλ稱為散漫化算子，它能適當?shù)臏p弱語氣的肯定程度。如H1/3為“微”，K1/2為“略”，K3/4為“比較”。

例4.11論域U=[0，200]，A表示“年老”設(shè)H1.25為“相當”，H2為“很”，H0.25為“微”，則94[相當老](u)=[很老](u)=[微老](u)=95(b)模糊化算子

把“大概”、“大約”、“近乎”等詞加在一個單詞的前面，會使該詞的確切詞義模糊化。因此，它們也是一種算子，稱為模糊化算子。(c)判定化算子“屬于”、“接近”、“偏向于”、“傾向于”等詞是另外一種算子，叫做判定化算子。962.模糊邏輯與模糊推理

模糊邏輯研究模糊命題的邏輯稱為模糊邏輯。

模糊命題的取值不是單純的“真”和“假”，但卻反映了真和假的程度。我們把用來表示模糊命題的真假程度的數(shù)值稱為該命題的真值。模糊命題的真值為[0,1]之間的值，是命題對絕對真的隸屬度。97

模糊邏輯建立的理論基礎(chǔ)是模糊集合和二值邏輯。由于二值邏輯中的真值只能取“0”，“1”，而模糊邏輯中，真值可取[0，1]區(qū)間中的任何值，所以可把模糊邏輯視為由二值邏輯擴展成的連