平面問題基本理論

平面問題基本理論第一頁，共八十七頁，2022年，8月28日空間問題中共有15個未知量應(yīng)力分量：x、y、z、xy、xz、yz應(yīng)變分量：x、y、z、xy、xz、yz位移分量：u、v、w這15個未知量應(yīng)滿足3個平衡微分方程；6個幾何方程；6個物理方程；在邊界上還要滿足邊界條件2.1彈性力學問題的提法第二頁，共八十七頁，2022年，8月28日空間問題平面問題轉(zhuǎn)化平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題SpatialproblemPlaneproblemPlanestressproblemPlanestrainproblem轉(zhuǎn)化條件：構(gòu)件的形狀荷載性質(zhì)ParticularshapeParticularforces第三頁，共八十七頁，2022年，8月28日平面問題中，基本未知量為：x，y，xy，x，y，xy，u，v（八個）求解平面問題的基本方程：平衡微分方程（2個）

DifferentialEquationsofEquilibrium幾何方程（3個）

GeometricalEquations物理方程（3個）

PhysicalEquations再考慮邊界條件(BoundaryConditions)，即可求出所有未知量。第四頁，共八十七頁，2022年，8月28日邊界條件分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。邊值問題的求解：位移法－位移為基本未知量應(yīng)力法－應(yīng)力為基本未知量混合法－一部分位移和一部分應(yīng)力為基本未知量。第五頁，共八十七頁，2022年，8月28日2.2解的疊加原理及解的惟一性定理1解的疊加原理在小變形和線彈性情況下，作用在物體上的幾組荷載產(chǎn)生的總效應(yīng)等于每一組荷載單獨作用的效應(yīng)總和。第六頁，共八十七頁，2022年，8月28日1解的惟一性定理（Kirchhoff)定理在給定的荷載作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，其內(nèi)部各點的應(yīng)力、應(yīng)變的解是惟一的，如果剛體位移受到約束，則位移解也是惟一的。第七頁，共八十七頁，2022年，8月28日2.3平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題空間問題平面問題轉(zhuǎn)化平面應(yīng)力問題平面應(yīng)變問題SpatialproblemPlaneproblemPlanestressproblemPlanestrainproblem轉(zhuǎn)化條件：構(gòu)件的形狀荷載性質(zhì)ParticularshapeParticularforces一、平面應(yīng)力問題PlaneStress1、構(gòu)件的形狀：薄板：t其它兩個方向的尺寸xyozoytThinPlateofuniformthicknesst第八頁，共八十七頁，2022年，8月28日2、荷載的性質(zhì)：面力：沿板邊，平行于板面，沿厚度不變體力：平行于板面，沿厚度均布薄片兩側(cè)沒有外荷載xyozoytAlltheforcesbeingparalleltothefacesoftheplateanddistributeduniformlyoverthethickness板面不受力，即：zz=+t/2=0結(jié)論：zxz=+t/2=0zyz=+t/2=0第九頁，共八十七頁，2022年，8月28日因為板很薄，荷載不沿厚度變化，應(yīng)力是連續(xù)分布的，所以可以認為，在整個薄板：z=0zx=0zy=0

平面應(yīng)力問題有那些應(yīng)變分量和位移分量？薄板的應(yīng)力為：xyxy

且與z無關(guān)，為x、y的函數(shù),稱為平面應(yīng)力問題Theremainingstresscomponentsx，y，xy，maybeconsideredtobefunctionsofx、yonly，suchaproblemiscalledaplanestressproblem.

第十頁，共八十七頁，2022年，8月28日二、平面應(yīng)變問題PlaneStrian1、構(gòu)件的形狀：yzx（1）足夠長柱體，兩端光滑剛性約束（2）無限長柱體，兩端自由Verylongcylindricalorprismaticalbody2、荷載的性質(zhì)：（1）平行于橫截面（2）沿長度不變（任意橫截面上的受力是相同的）Alltheforcesbeingparalleltoacrosssectionofthebodyandnotvaryingalongtheaxialdirection.第十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日稱為平面應(yīng)變問題結(jié)論：yzx平面應(yīng)變問題有那些應(yīng)力分量？（1）應(yīng)力、應(yīng)變只是x、y的函數(shù)（２）w=0（z＝０），應(yīng)變分量只有x

yxy

Withanycrosssectionofthebodyasxyplane,thecomponentswillbefunctionsofx、yonly，duetosymmetry,theshearingstresseszx=0,zy=0,andw=0,suchaproblemiscalledaplanestrainproblem.

第十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日歸納：平面問題中，共有八個未知量：xyxyx

y

xy

u

v

求解彈性力學平面問題，就是要根據(jù)已知條件（荷載，邊界條件）求未知的應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量。第十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日本節(jié)結(jié)束謝謝希望大家提出寶貴的意見和建議！謝謝！第十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日xyO取圖示微六面體為隔離體，厚度t=1Isolateelement２.4平面問題的基本方程yyxxyxcXY建立平衡方程FormulateEquilibriumEquations第十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日yyxxyxXYxyoXYcMC=0（1）xy=yxX=0（2）第十六頁，共八十七頁，2022年，8月28日Y=0（3）（平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題）Theelasticityproblemisstaticallyindeterminate.Tosolvefortheunknowstresses,wehavetoconsiderthestrainsanddisplacements.DifferentialEquationsofEquilibriumareapplicablebothtoplanestressproblemsandplanestrainproblems.第十七頁，共八十七頁，2022年，8月28日幾何方程GeometricalEquations：（平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題）GeometricalEquations

areapplicablebothtoplanestressproblemsandplanestrainproblems.第十八頁，共八十七頁，2022年，8月28日物理方程（應(yīng)力、應(yīng)變之間的關(guān)系）PhysicalEquationsTherelationsbetweenstressesandstrains完全彈性、各向同性體，HOOK定理：Inanisotropicandperfectlyelasticbody，therelationsbetweenstressesandstrainsbasedonHooke’slaw：第十九頁，共八十七頁，2022年，8月28日E、G、為常數(shù)(threeelasticconstants)，不隨坐標、方向而變化其中：EisthemodulusofelasticityorYoung’smodulus，

isthePoisson’sratio，Gistheshearmodulusormodulusofrigidity.第二十頁，共八十七頁，2022年，8月28日在平面應(yīng)力問題中z=0zx=0zy=0而且Inaplanestressproblem物理方程

(PhysicalEquations)第二十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日物理方程另一種形式：

第二十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日物理方程

在平面應(yīng)變問題中z=0zx=0zy=0(Inaplanestrainproblem)(PhysicalEquations)第二十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日將平面應(yīng)力問題物理方程中的EE/（1-2）；/（1-）就得平面應(yīng)變問題的物理方程。平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題兩者的物理方程不同。ThePhysicalEquationsofplanestressproblemsandplanestrainproblemsaredifferent.平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題兩者的物理方程雖然不同，但平衡微分方程和幾何方程是相同的。PhysicalEquationsaredifferent，DifferentialEquationsofEquilibriumandGeometricalEquationssame.

第二十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日平面問題中，基本未知量為：x，y，xy，x，y，xy，u，v（八個）求解平面問題的基本方程：平衡微分方程（2個）

DifferentialEquationsofEquilibrium幾何方程（3個）

GeometricalEquations物理方程（3個）

PhysicalEquations再考慮邊界條件(BoundaryConditions)，即可求出所有未知量。第二十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日本節(jié)結(jié)束謝謝希望大家提出寶貴的意見和建議！謝謝！第二十六頁，共八十七頁，2022年，8月28日2.5邊界條件圣維南原理彈性力學問題平衡微分方程+幾何協(xié)調(diào)方程+物理方程+邊界條件或初始條件一、邊界條件（BoundaryConditions）a、位移邊界條件（displacementboundaryconditions）：BoundaryConditions.

Saint-Venant’sPrincipleAccordingtoBoundaryConditions，elasticityproblemsareclassifiedasdisplacementboundaryproblems，stressboundaryproblems，mixedboundaryproblems.Inadisplacementboundaryproblem，thesurfacedisplacementsofthebodyarespecified.彈性體在邊界上的位移是已知的。第二十七頁，共八十七頁，2022年，8月28日x如：四邊固定的板或兩端簡支的板xbaxaby邊界條件如下：us=uvs=v第二十八頁，共八十七頁，2022年，8月28日b、應(yīng)力邊界條件(stressboundaryconditions)：xyqAXN=lx+mxyYN=my+lxy已知BPyyxxyxsYNXN在邊界上，若面力已知，則

XN=XYN=Ylx+mxy=Xmy+lxy=YInastressboundaryproblem，thesurfaceforcesactingonthebodyarespecified.彈性體在邊界上所受的面力是已知的第二十九頁，共八十七頁，2022年，8月28日2xy3141、3邊界：l=0m=+1y=Y;xy=X++2、4邊界：m=0l=+1x=X;xy=Y++lx+mxy=Xmy+lxy=Y平面問題的應(yīng)力邊界條件stressboundaryconditionsofaplaneproblem特殊邊界的應(yīng)力邊界條件Whentheboundaryisnormaltoacoordinateaxis,thestressboundaryconditionsaresimplified第三十頁，共八十七頁，2022年，8月28日當邊界的外法線沿坐標軸的正向時，兩者的正負號相同；當邊界的外法線沿坐標軸的負向時，兩者的正負號相反。Theboundarystresscomponentsareequaltothesurfaceforcecomponents（usepositiveornegatvesignaccordingastheoutwardnormalisalongthepositiveornegativedirectionofthecoordinateaxis）.c、混合邊界條件(mixedboundaryconditions)

：一部分邊界具有已知的位移，一部分邊界具有已知的面力；或同一部分邊界既有位移邊界條件，又有應(yīng)力邊界條件。Inamixedboundaryproblems，someportionoftheboundaryisspecifiedwithknowndisplacementswhiletheotherportionissubjectedtoknownsurfaceforces.第三十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日解：AB邊：y=-q;yx=0BC邊：x=0;xy=0CD邊：y=0;yx=0AD邊：u=0；v=0例1、寫出圖示懸臂梁的邊界條件，板厚為1ABCDyxqxyABCAB邊：v=0AC邊：x=0；xy=0混合邊界條件Forinstance：Mixedboundaryproblem第三十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日解：BC邊：x=0;xy=0CD邊：y=0;yx=0AD邊：u=0；v=0AB邊：y=yx=0例2、寫出圖示懸臂梁的邊界條件，板厚為1xABCDyq0l第三十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日解：BC邊：y=0;yx=0DE邊:AB邊：x=-gy;xy=0例3、寫出圖示結(jié)構(gòu)AB、BC、DE的應(yīng)力邊界條件(水的重度為)ExyABCDNcos(N,x)=cos=lcos(N,y)=cos(90+)=-sin=mlx+mxy=Xmy+lxy=Ycosx-sinxy=0-siny+cosxy=0第三十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日二、圣維南原理(Saint-Venant’sPrinciple)在求解彈性力學問題時，要使應(yīng)力分量、形變分量、位移分量滿足基本方程并不困難，但要完全、精確地滿足邊界條件，卻往往發(fā)生很大困難。Insolvinganelasticityproblem,it’srathereasytoobtainthestresses,strainsanddisplacementswhichsatisfyallthebasicequations.Howeverweoftenencounterdifficultiesinhavingalltheboundaryconditionscompletelysatisfied.第三十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日在上述情況下，可利用圣維南原理(Saint-Venant’sPrinciple)來寫出近似的邊界條件：圣維南原理：如果把物體一小部分邊界上的面力變換成分布不同但靜力等效的面力，則近處的應(yīng)力分布將有顯著的變化，但遠處所受的影響可以忽略。(P30)另外，在工程計算中經(jīng)常碰到這樣的情況：在物體的部分邊界上，只知道物體所受面力的合力，面力的分布方式并不明確。Ithappensfrequentlyinthestresscalculationforastructuralormachineelementthatweknowonlytheresultantofsurfaceforcesonasmallportionoftheelement,butnotthedistributionoftheforces.Undersuchcircumstances,Saint-Venant’sprinciplemaybeofmuchhelptous.第三十六頁，共八十七頁，2022年，8月28日Theessenceoftheprinciplecanbestatedasfollows:Ifasystemofforcesactingonasmallportionofthesurfaceofanelasticbodyisreplacedbyanotherstaticallyequivalentsystemofforcesactingonthesameportionofthesurface,theredistributionofloadingproducessubstantialchangesinthestressesonlyintheimmediateneighborhoodoftheloading,andthestressesareessentiallythesameinthepartsofthebodywhichareatlargedistancesincomparisonwiththelineardimensionofthesurfaceonwhichtheforcesarechanged.By“staticallyequivalentsystems”,itmeansthatthetwosystemshavethesameresultantforceandthesameresultantmoment.第三十七頁，共八十七頁，2022年，8月28日Forinstance：PPPP/2P/2P/2P/AP/AP第三十八頁，共八十七頁，2022年，8月28日PPPP/2P/2P/2P/AP/APThesolutionforstressesinthecasedisrathersample,asthestressboundaryconditionsareverysimple.AccordingtoSaint-Venant’sprinciple,itssolutionforthestressescanbeappliedtothecasea,bandc.

Forcasee,wehavedisplacementboundaryconditions.However,itisevidentthatthesurfaceforcesatthefixedendmustbeequilibriumwiththeforceP.AccordingtoSaint-Venant’sprinciple,thesimplesolutionmayalsobeappliedtothiscase.abcde第三十九頁，共八十七頁，2022年，8月28日注意：（1）用圣維南原理必須滿足靜力等效條件，若不滿足，則計算結(jié)果不能用于不同的情況。第四十頁，共八十七頁，2022年，8月28日本節(jié)結(jié)束謝謝希望大家提出寶貴的意見和建議！謝謝！第四十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日Forthesolutionofanelasticityproblem,wecanproceedinthreedifferentways:1.Takethedisplacementcomponentsasthebasicunknownfunctions,formulateasystemofdifferentialequationsandboundaryconditionscontainingthedisplacementcomponentsonly,solvefortheseunknownfunctionsandtherebyfindthestraincomponentsbythegeometricalequationsandthenthestresscomponentsbythephysicalequations.

2.6彈性力學問題的解法第四十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日2.Takethestresscomponentsasthebasicunknownfunctions,formulateasystemofdifferentialequationsandboundaryconditionscontainingthestresscomponentsonly,solvefortheseunknownfunctionsandtherebyfindthestraincomponentsbythephysicalequationsandthenthedisplacementcomponentsbythegeometricequation.3.Takesomeofthedisplacementcomponentsandalsosomeofthestresscomponentsasthebasicunknownfunctions,formulateasystemofdifferentialequationsandboundaryconditionscontainingthestresscomponentsonly,solvefortheseunknownfunctionsandtherebyfindtheotherunknownfunctions.第四十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日一位移解法（按位移求解平面問題）平面問題的基本未知量有x，y，xy，x，y，xy，u，v，根據(jù)基本方程即可求解。SolutionofPlaneProbleminTermsofDisplacements求解方法有：按位移求解；按應(yīng)力求解；混合求解按位移求解：以位移分量為基本函數(shù)，由只含位移分量的微分方程和邊界條件求出位移分量后，再求其他的未知量。Takethedisplacementcomponentsasthebasicunknownfunction，formulateasystemofdifferentialequationsandboundaryconditionscontainingthedisplacementcomponentsonly，solvefortheseunknownfunctionsandtherebyfindthestraincomponentsbythegeometricalequationsandthenthestresscomponentsbythephysicalequations.第四十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日

導出按位移求解的微分方程和邊界條件

1、微分方程

(differentialequations)

Formulatethedifferentialequationsandboundaryconditionsforthesolutionofaplaneproblemintermsofdisplacements

幾何方程：geometricalequations第四十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日物理方程（平面應(yīng)力問題）physicalequations（planestressproblem）將幾何方程代入物理方程SubstitutionofgeometricEotheseequations第四十六頁，共八十七頁，2022年，8月28日將上述方程代入平衡微分方程Now,usingtheserelationsinequilibriumequations第四十七頁，共八十七頁，2022年，8月28日按位移求解的平衡微分方程拉密方程在平面問題中的應(yīng)用Thedifferentialequationsforthesolutionoftheproblemintermsofdisplacements.第四十八頁，共八十七頁，2022年，8月28日

2、邊界條件(Boundaryconditions)

lx+mxy=Xmy+lxy=Y平面問題的應(yīng)力邊界條件（Stressboundaryconditionsofaplaneproblem）第四十九頁，共八十七頁，2022年，8月28日按位移求解時的應(yīng)力邊界條件為：用位移表示的應(yīng)力邊界條件。Weobtainthestressboundaryconditionsoftheproblemintermsofdisplacements.第五十頁，共八十七頁，2022年，8月28日按位移求解時的位移邊界條件為：用位移表示的位移邊界條件。Weobtainthestrainboundaryconditionsoftheproblemintermsofdisplacements.us=uvs=v第五十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日歸納(Tosumup),

按位移求解平面問題，要使位移分量滿足拉密方程和邊界條件，求出位移后，可用物理方程求應(yīng)力，用幾何方程求變形。Thedisplacecomponentsu(x,y),v(x,y)inaplanestressproblemmustsatisfythroughoutthebodyconsidered，alsosatisfyonthesurfaceofthebody.us=uvs=vand第五十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日Foraplanestrainproblem,itisnecessaryinaboveequations.對平面應(yīng)變問題，只許將上述方程中的；將即可。第五十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日二、應(yīng)力解法（相容方程）SolutionofPlaneProbleminTermsofStresses按應(yīng)力求解：以應(yīng)力分量為基本函數(shù)，由只含應(yīng)力分量的平衡微分方程和相容方程及邊界條件求出應(yīng)力分量后，再求其他的未知量。Takethestresscomponentsasthebasicunknownfunction，formulateasystemofdifferentialequationsandboundaryconditionscontainingthestresscomponentsonly，solvefortheseunknownfunctionsandtherebyfindthestraincomponentsbythephysicalequationsandthenthedisplacementcomponentsbythegeometricalequations.含應(yīng)力分量，需保留Thetwodifferentialequationsofequilibriumcontainthestresscomponentsonlyandmaybeusedfortheirsolution.第五十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日需建立補充方程相容方程Thethirddifferentialequationcanbeobtainedfromthegeometricalandphysicalequations.相容方程（變形協(xié)調(diào)方程）Compatibilityequation1、平面問題的幾何方程Thegeometricalequationsofaplaneproblemare2、將x對y的二階導數(shù)和y對x的二階導數(shù)相加Addingthesecondderivativeofxwithrespecttoyandthesecondderivativeofywithrespecttox,weget

第五十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日相容方程Compatibilityequation第五十六頁，共八十七頁，2022年，8月28日應(yīng)變分量x、y和xy必須滿足這個方程，才能保證位移分量u，v的存在。若所選的x、y和xy不滿足這個方程，那么，由幾何方程中的任意兩個所求出的位移分量，將不滿足第三個方程。例如選x=0，y=0，xy=cxy

不滿足相容方程由此應(yīng)變求位移Thecompatibilityequationforstrainmustbesatisfiedbythestraincomponentsx,yandxytoensuretheexistenceofsingle-valuedcontinuousfunctionsuandvconnectedwiththestraincomponentsbythegeometricalequations.第五十七頁，共八十七頁，2022年，8月28日第三個方程不能滿足，所求u，v不存在第五十八頁，共八十七頁，2022年，8月28日用應(yīng)力表示的相容方程CompatibilityequationintermsofstrainByusingphysicalequations,thecompatibilityequationcanbetransformedintoarelationbetweenthestresscomponents.

將物理方程代入

平面應(yīng)力問題

foraplanestressproblemSubstitutionofthephysicalequationsinto第五十九頁，共八十七頁，2022年，8月28日簡化上述相容方程（利用平衡方程）Totransformthisequationintoadifferentformmoresuitableforuse,weeliminatetheterminvolvingxy

byusingthedifferentialequationsofequilibrium.

第六十頁，共八十七頁，2022年，8月28日用應(yīng)力表示的相容方程thecompatibilityequationintermsofstresses.Differentiatingthefirstequationwithrespecttoxandthesecondwithrespecttoy,addingthemupandnotingthatxy=yx,weget(將兩式分別對x及y求導，并相加得)(將其代入相容方程，并簡化后，得)Substitutingthisintothecompatibilityequationandperformingsomesimplification,weobtain第六十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日平面應(yīng)變問題的相容方程CompatibilityequationintermsofstrainCompatibilityequationforaplanestrainproblemForaplanestrainproblem,anequationsimilartoaboveequationmaybeobtainedsimplybyTheresultis

第六十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日歸納：1、按應(yīng)力求解平面問題，要求應(yīng)力分量必須滿足平衡微分方程和相應(yīng)的相容方程，在邊界上還要滿足應(yīng)力邊界條件。Inthesolutionofaplaneproblemintermsofstresses，thestresscomponentsmustsatisfythedifferentialequationsofequilibriumandcompatibilityequationinthecaseofplacestrain.Besides,theymustsatisfythestressboundaryconditions.2、由于位移邊界條件無法用應(yīng)力分量或其導數(shù)來表示，所以對位移邊界條件或混合邊界條件，不可能按應(yīng)力求解得出精確解。Sincethedisplacementboundaryconditionscanbeexpressedneitherintermsofstresscomponentsnorintermsoftheirderivativeswithrespecttothecoordinates,displacementboundaryproblemsandmixedboundaryproblemscannotbesolvedintermsofstresses.第六十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日對應(yīng)力邊界問題，應(yīng)力分量滿足了平衡微分方程、相應(yīng)的相容方程和應(yīng)力邊界條件，其應(yīng)力分量就能完全確定？在多連體中，要完全確定位移分量，還必須利用“位移須為單值”這個條件No，還必須考慮彈性體是否單連體Inthesolutionofelasticityproblems，itisnecessarytodistinguishbetweensimplyconnectedbodiesandmultiplyconnectedones.多連體：有兩個或兩個以上連續(xù)邊界的物體，如：有孔口的物體單連體：只有一個連續(xù)邊界的物體simplyconnectedbodies:anarbitraryclosedcurvelyinginthebodycanbeshrunktoapoint,bycontinuouscontraction,withoutpassingoutsideitsboundaries.Otherwise,thebodywillbesaidtobemultiplyconnected.第六十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日Inthecaseofmultiplyconnectedbody,theremightbesomearbitraryfunctionsleadingtomulti-valueddisplacements,whichareimpossibleinacontinuousbody.Then,wehavetoconsidertheconditionofsingle-valueddisplacementstodeterminethestresses.Inplaneproblems,however,wemayalsobrieflydefineasimplyconnectedbodyasonewithonlyonecontinuousboundaryandamultiplyconnectedbodyasonewithtwoormoreboundaries.第六十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日本節(jié)結(jié)束謝謝希望大家提出寶貴的意見和建議！謝謝！第六十六頁，共八十七頁，2022年，8月28日2.7彈性力學中的應(yīng)力函數(shù)

體力不隨坐標而變化（重力、慣性力）應(yīng)力分量應(yīng)滿足：

（a）（b）Inmanyengineeringproblems,thebodyforcesareconstant.Ontheconditionofconstantbodyforces,thecompatibilityequationswillreducetothehomogeneousdifferentialequation

第六十七頁，共八十七頁，2022年，8月28日上述方程中不含材料常數(shù)，所以對兩類平面問題都適用.Nowthedifferentialequationsofequilibriumandthestressboundaryconditions,aswellasthecompatibilityequation,donotcontainanyelasticconstantandarethesameforbothkindsofplaneproblems.只要彈性體（單連體）邊界相同，外載相同，不管是何種材料，也不管是平面應(yīng)力狀態(tài)或平面應(yīng)變狀態(tài)，應(yīng)力分布是相同的（位移及變形是否相同？）Inastressboundaryproblemforasimplyconnectedbodywithacertainboundaryandsubjectedtocertainexternalforces,thestresscomponentswillhavethesamedistributioninbothplanecondition.Thisconclusionisveryhelpfulintheexperimentalanalysis.（1）可將某種材料，某種狀態(tài)下所求的應(yīng)力分量的結(jié)論用于其他材料或其他狀態(tài)（邊界條件，外荷載相同）Wemayuseanymodelmaterialconvenientforstressmeasurementinsteadofthestructurematerialonwhichthemeasurementmightbeimpossible.第六十八頁，共八十七頁，2022年，8月28日（2）在實驗中，可以用便于測量的材料來制造模型；或用平面應(yīng)力情況下的薄板來代替平面應(yīng)變情況下的長柱體.Wemayuseamodelinplanestresscondition(athinslice)insteadofoneinplanestraincondition(alongcylindricalbody).第六十九頁，共八十七頁，2022年，8月28日（a）（b）Thestresscomponentsaredeterminedbythedifferentialequations:（a）

isnonhomogeneousand,therefore,itsgeneralsolutionmaybeexpressedasthesumofaparticularsolutionandthegeneralsolutionofthehomogeneoussystem第七十頁，共八十七頁，2022年，8月28日考察（a），其解由非齊次方程的特解+齊次方程的通解特解設(shè)為：x=-Xx，y=-Yy，xy=0（c）或x=0，y=0，xy=-Xy-Yx或x=-Xx-Yy，y=-Xx-Yy，xy=0只要能滿足方程即可取（c）式求齊次方程的通解第七十一頁，共八十七頁，2022年，8月28日將方程變?yōu)?1)(2)滿足（1），必存在一個函數(shù)A（x，y）使得：Accordingtodifferentialcalculus,for(1),thereexistsacertainfunctionA(x，y)sothat：Rewrite第七十二頁，共八十七頁，2022年，8月28日同理滿足（2），必存在一個函數(shù)B（x，y）使得：SoSimilarly,(2)ensurestheexistenceofanotherfunctionB(x，y)sothat：必存在一個函數(shù)（x,y），且Whichensurestheexistenceofstillanotherfunction(x,y)sothat第七十三頁，共八十七頁，2022年，8月28日所以，齊次方程的通解為：Weobtainthegeneralsolutionofhomogeneousequations：第七十四頁，共八十七頁，2022年，8月28日平衡微分方程的解為：（c）Now,thesuperpositionofthegeneralsolutionwiththeparticularsolutionyieldsthefollowingcompletesolution:Thefunction（x,y）

isknownasthestressfunctionforplaneproblems,ortheAiry’sstressfunction.第七十五頁，共八十七頁，2022年，8月28日（x,y）稱為平面問題的應(yīng)力函數(shù)—艾瑞應(yīng)力函數(shù)Withanyfunction（x,y）,thestresscomponentssodefinedalwayssatisfythedifferentialequations.Thisfunction（x,y）isknownasthestressfunctionortheAiry’sstressfunction.

應(yīng)力分量除滿足平衡微分方程外，還必須同時滿足相容方程，所以將（c）代入相容方程Inorderforthestresscomponentstosatisfythecompatibilityequationaswell,thestressfunctionmustsatisfyacertainequation.第七十六頁，共八十七頁，2022年，8月28日OrThisisthecompatibilityequationintermsofthestressfunction.

2(Xx)=

2(Yy)=0intheconditionofconstantbodyforce第七十七頁，共八十七頁，2022年，8月28日此方程為雙調(diào)和方程，寫為：orbesimplywrittenas：若不計體積力，即X=0；Y=0Whenbodyforcesarenotconsidered,thesolutionwillreduceto第七十八頁，共八十七頁，2022年，8月28日Thus：inthesolutionofplaneproblemsintermsofstresses,whenthebodyforcesareconstant,itisonlytosolveforthestressfunctionfromthesingledifferentialequation

andthenfindthestresscomponentsbyButthesestresscomponentsmustsatisfythestressboun