第一節(jié)誤差的基本概念

第一節(jié)誤差

定義：數(shù)值計(jì)算方法是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)分支,又稱數(shù)值分析或計(jì)算方法,它是研究用數(shù)字計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及其理論的一門學(xué)科,是程序設(shè)計(jì)和對(duì)數(shù)值結(jié)果進(jìn)行分析的依據(jù)和基礎(chǔ)。應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決科學(xué)技術(shù)和工程問題的步驟：(1)提出實(shí)際問題(2)建立數(shù)學(xué)模型(3)選用數(shù)值計(jì)算方法(4)編程上機(jī)計(jì)算得出數(shù)據(jù)結(jié)果。一、誤差的來源

1.模型誤差:在建立數(shù)學(xué)模型過程中,不可能將所有因素均考慮,必然要進(jìn)行必要的簡化,這就帶來了與實(shí)際問題的誤差。2.

觀測(cè)誤差:

測(cè)量已知參數(shù)時(shí),數(shù)據(jù)帶來的誤差。3.

截?cái)嗾`差:

在設(shè)計(jì)算法時(shí),近似處理帶來的誤差。函數(shù)用泰勒多項(xiàng)式近似代替時(shí)，有誤差其中在與之間。這種誤差就是截?cái)嗾`差。例如：4.

舍入誤差:

計(jì)算機(jī)的字長是有限的,每一步運(yùn)算均需四舍五入,由此產(chǎn)出的誤差。例如：用3.14159近似代替,產(chǎn)生的誤差就是舍入誤差。二、浮點(diǎn)數(shù)

任何一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)均可表示為其中，r叫做這個(gè)數(shù)的基，p是階，是一個(gè)整數(shù)，取正數(shù),負(fù)數(shù)或零。w是尾數(shù)，由t位小數(shù)構(gòu)成，

若，則該浮點(diǎn)數(shù)為規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)。對(duì)于一個(gè)特定的機(jī)器，尾數(shù)的位數(shù)t是固定的，也稱其精度有t個(gè)r進(jìn)位數(shù)字。二、誤差的基本概念

1.誤差和誤差限

設(shè)是準(zhǔn)確值x的一個(gè)近似值,稱

為近似值

的絕對(duì)誤差,簡稱誤差.

又簡記

.誤差是無法計(jì)算的(因?yàn)闇?zhǔn)確值x不知道),但可以估計(jì)出它的一個(gè)上界。即,稱

是近似值

的絕對(duì)誤差限,簡稱誤差限.誤差是有量綱的，可正可負(fù)。2.

相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限實(shí)際計(jì)算中,由于準(zhǔn)確值x總是未知的,且由于稱為近似值的相對(duì)誤差。簡記為。相對(duì)誤差是無量綱的,也可正可負(fù),它的絕對(duì)值的上界稱為該近似值的相對(duì)誤差限,記作簡記為即是

的平方項(xiàng)級(jí),故當(dāng)

較小時(shí),常取三、有效數(shù)字

如果近似值

的誤差限是某一位的半個(gè)單位,該位到的第一位非零數(shù)字共有n位,我們稱

有n位有效數(shù)字。

π=3.1415926535,取

=3.14

時(shí)，所以

=3.14

作為π的近似值,有3位有效數(shù)字；而取

=3.1416時(shí),所以

=3.1416

作為π的近似值有5位有效數(shù)字。定義：例下面給出有效數(shù)字的另一等價(jià)定義

用

表示x的近似值，并將表示成若其誤差限,則稱

具有

n位有效數(shù)字,這里

m

是整數(shù),a1,a2

,,an為

0~9中的一個(gè)數(shù)字,且a10.定義：例

=3.1415926535,取

=3.14時(shí)，即

m-n=-

2,m=1,n=3,所以

=3.14作為

近似值時(shí),

就有3位有效數(shù)字。四誤差限與有效數(shù)字的關(guān)系證明故此定理說明，相對(duì)誤差是由有效數(shù)字決定的。定理1有n位有效數(shù)字，。則其相對(duì)誤差限為設(shè)近似值

已知定理2設(shè)近似值的相對(duì)誤差則它至少有n位有效數(shù)字。故

至少有n位有效數(shù)字。證明例解由于所以由定理有即得要使的近似值的相對(duì)誤差限小于0.1%,要取幾位有效數(shù)字。故只要對(duì)的近似數(shù)取4位有效數(shù)字,因此,可取其相對(duì)誤差就可小于0.1%,

一、算術(shù)運(yùn)算的誤差可見,和、差的誤差是誤差之和、差,但是因?yàn)樗院突虿畹恼`差限是誤差限之和，以上的結(jié)論適用于任意多個(gè)近似數(shù)的和或差。第二節(jié)數(shù)值運(yùn)算中誤差的傳播1.由于x*的誤差e(x*)=x*-x可看作是x的微分,即dx=x*-x,則：同理可得：乘、除運(yùn)算的誤差,以兩數(shù)為例寫出2.x*

的相對(duì)誤差是它是對(duì)數(shù)函數(shù)的微分。設(shè)u=xy,則lnu=lnx+lny,因而dlnu=dlnx+dlny

這就是說,乘積的相對(duì)誤差是各乘數(shù)的相對(duì)誤差之和,相對(duì)誤差限是各乘數(shù)的相對(duì)誤差限之和。

r(u*)=r(x*)+r(y*)即

er(u*)=er(x*)+er(y*)即商的相對(duì)誤差是被除數(shù)與除數(shù)的相對(duì)誤差之差,但相對(duì)誤差限是各乘數(shù)的相對(duì)誤差限之和.

由此可得:任意多次連乘、連除所得結(jié)果的相對(duì)誤差限等于各乘數(shù)和除數(shù)的相對(duì)誤差限之和。

r(u*)=r(x*)+r(y*)

同樣,若u=x/y,則lnu=lnx–lny,因此dlnu=dlnx–dlny即

er(u*)=er(x*)-

er(y*)例1解因所以從而得到

設(shè)u的相對(duì)誤差限等于乘數(shù)x、y和除數(shù)z、ω的相對(duì)誤差限之和。求u的相對(duì)誤差限。

取絕對(duì)值得其中為近似數(shù)x*的誤差限。二、函數(shù)運(yùn)算誤差設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)可微,x

的近似值為x*,f(x)的近似值為f(x*),其誤差為e[f(x*)],誤差限為對(duì)多元函數(shù)自變量的近似值為的近似值為函數(shù)值y*的運(yùn)算誤差為可得出一元函數(shù)運(yùn)算的誤差限和相對(duì)誤差限分別為：記則上式簡記為相對(duì)誤差限于是誤差限例1

計(jì)算多項(xiàng)式的值:每項(xiàng)akxk有k次乘法運(yùn)算,因此計(jì)算Pn(x)共需次乘法和n次加法運(yùn)算。如將Pn(x)寫成:一、簡化計(jì)算步驟,減少運(yùn)算次數(shù)第三節(jié)設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)注意的原則用遞推算法:最終Pn(x)=un共需n次乘法和n次加法運(yùn)算。

一般地要注意:能在循環(huán)外計(jì)算,就不要放在循環(huán)內(nèi)計(jì)算。如用四位有效數(shù)字計(jì)算:例2結(jié)果只有一位有效數(shù)字；兩個(gè)相近的數(shù)相減,有效數(shù)字會(huì)大大損失。二、注意避免兩個(gè)相近數(shù)的相減如改為：有四位有效數(shù)字,新算法避免了兩個(gè)相近數(shù)的相減。例3

計(jì)算

解用五位十進(jìn)制計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算:0.1被大數(shù)“吃掉”了,從而有三、防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)如改為0.1就沒有被吃掉。這也是構(gòu)造算法時(shí)要注意的問題,避免重要的參數(shù)被吃掉。當(dāng)|x|>>|y|時(shí),舍入誤差會(huì)擴(kuò)大四、避免除數(shù)的絕對(duì)值遠(yuǎn)小于被除數(shù)的絕對(duì)值。例4的舍入誤差均為,而的舍入誤差為:,則很小的數(shù)作除數(shù)有時(shí)還會(huì)造成計(jì)算機(jī)的溢出而停機(jī)。五、使用數(shù)值穩(wěn)定的算法用分部積分公式得遞推公式:近似值In*的遞推公式:In*

=1-nIn-1*

例5In=1-nIn-1

在運(yùn)算過程中,舍入誤差能控制在某個(gè)范圍內(nèi)的算法稱為數(shù)值穩(wěn)定的算法,否則就稱為不穩(wěn)定的算法.

e(In*)

=-ne(In-1*

),用四位有效數(shù)字計(jì)算:誤差e(In*)的遞推公式:于是I7*

,I8*

與精確值已經(jīng)面目全非。n精確值In

近似值In*n精確值In

近似值In*012340.632120.367870.264240.207270.170890.63210.36780.26420.20740.1704567890.145530.126800.112380.100930.091610.14080.11200.2180-0.72807.5520算法一

In=1-nIn-1,代入得下表由于計(jì)算I0有誤差不計(jì)中間再產(chǎn)生的舍入誤差

|e(In*)|=n!|e(I0*)

|到I8

時(shí)|e(I8*)|=8!ε=40320ε

誤差擴(kuò)大了4萬倍,因而該算法是不穩(wěn)定的。e(In*)

=-ne(In-1*

)分析：

In=1-nIn-1,可以估計(jì)出故算法二

如果遞推式改為

In-1=(1-In)/n

則In-1*

=(1-In*

)/n

誤差e(In-1*)=-

e(In*

)/n

n精確值In

近似值In*n精確值In

近似值In*987650.091610.10093

0.112380.126800.145530.10000.10000.11250.12680.14554321