權(quán)重系數(shù)的確定方法

統(tǒng)計綜合評價方法權(quán)重系數(shù)的確定方法大家知道，即使某個評價指標非常重要，但在個被評價對象中，若它取值的波動程度非常小，那么無論其取值有多大，對這個被評價對象來說，該指標在評價過程中，對評價結(jié)果的影響都是非常小。極端一點說，若某個非常重要的指標關(guān)于這個被評價對象的取值是完全相同的話，那么該重要的指標在評價過程中的作用為零。反之，若某個評價指標是不太重要的（但不能舍去），但在個被評價對象中，它取值的變化程度卻非常大，那么，對這個被評價對象來說，該指標在評價過程中，對評價結(jié)果的影響是非常大的。一、權(quán)數(shù)的意義和作用一、權(quán)數(shù)的概念權(quán)數(shù)：用來衡量總體中各單位標志值在總體中作用大小的數(shù)值叫權(quán)數(shù)。權(quán)數(shù)一般有兩種表現(xiàn)形式：一是絕對數(shù)（頻數(shù)）表示，另一個是用相對數(shù)（頻率）表示。相對數(shù)是用絕對數(shù)計算出來的百分數(shù)（％）或千分數(shù)（‰）表示的，又稱比重。當各組標志值已確定，如果哪一組標志值分配的單位數(shù)越多，則該組標志值對平均數(shù)的影響越大。反之，影響越小。（即：在一個數(shù)列中，當標志值較大的單位數(shù)居多時，平均數(shù)就會趨近標志值大的一方；當標志值較小的單位數(shù)居多時，平均數(shù)就趨近標志值小的一方；當標志值較大的單位數(shù)與標志值較小的單位數(shù)基本平分時，平均數(shù)居中）?？梢?，各組標志值的單位數(shù)（頻數(shù)）的多少對平均數(shù)的大小有權(quán)衡輕重的作用，所以稱各組單位數(shù)為權(quán)數(shù)，用權(quán)數(shù)乘以各組標志值叫加權(quán)，由此計算的平均數(shù)叫加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。二、權(quán)數(shù)的起源與發(fā)展階段1.權(quán)數(shù)的思想淵源。權(quán)數(shù)思想最早源于我國春秋初期著名政治家管仲(?—前645年)的治國思想。管仲曾被齊桓公任為宰相,歷時40年。他在治國理財時非常注重應(yīng)用輕重之權(quán),《史記·管晏列傳》:“管仲既任政相齊……貴輕重,慎權(quán)衡。”《史記·平淮書》:“齊桓公用管仲之謀,通輕重之權(quán)?！苯K于使齊國成為春秋時期的第一強國。因而管仲的治國思想得到廣泛流傳并被后人匯記成《管子輕重》一書,這是一部專門討論財政經(jīng)濟問題的論著?！皺?quán)數(shù)”一詞最早出現(xiàn)于《管子輕重·山權(quán)數(shù)篇》?；腹珕柟茏釉?“請問權(quán)數(shù)”。管子對曰:“天以時為權(quán),地以財為權(quán),人以力為權(quán),君以令為權(quán)?！币肜斫膺@段話中“權(quán)數(shù)”一詞含義,請先看“權(quán)”之涵義?！睹献印ち夯萃跗?“權(quán),然后知輕重?！币馑际钦f“秤一秤,才曉得輕重”?！赌印ご笕∑?“于所體之中而權(quán)輕重之謂權(quán)”?！痘茨稀r則篇》:“權(quán)者所以權(quán)萬物也”。很顯然,這里的“權(quán)”是稱量的意思,引伸為權(quán)衡,具有權(quán)衡輕重之涵義。只有權(quán)衡方知輕重,就象沒有規(guī)矩不成方圓一樣。那么這里的“權(quán)數(shù)”又作何解釋呢?“數(shù)者術(shù)數(shù),權(quán)數(shù)猶言行權(quán)之術(shù)數(shù)”?？梢?這里的“權(quán)數(shù)”是指權(quán)衡輕重的原則和方式、方法,并不是現(xiàn)代統(tǒng)計科學中的權(quán)數(shù)。二者的共同之處在于“權(quán)”,而不同之處在于“數(shù)”,古代權(quán)數(shù)相當于確定現(xiàn)代統(tǒng)計權(quán)數(shù)的原則和方法。因此我們認為,具有“權(quán)衡輕重之數(shù)”含義的現(xiàn)代權(quán)數(shù)是從管仲的“貴輕重,慎權(quán)衡”思想衍生而來的。2.現(xiàn)代統(tǒng)計科學中的權(quán)數(shù)探源。既然《管子輕重·山權(quán)數(shù)篇》中的權(quán)數(shù)并非現(xiàn)代統(tǒng)計意義上的權(quán)數(shù),那么現(xiàn)代權(quán)數(shù)又源于何時何處?據(jù)史料記載,1812年,英國政治算術(shù)學家阿瑟·楊格在其所著《英國幣值遞增的研究》一書中,首次提出用加權(quán)平均法計算物價指數(shù),被視為加權(quán)算術(shù)平均法的開端,同時也是現(xiàn)代統(tǒng)計權(quán)數(shù)的開端。為了求出物價水平的變動,楊格將各種商品按重要性分別配以一定的權(quán)數(shù),如“大麥的重要性二倍于羊毛、煤、鐵,而糧食有四倍的重要,小麥與勞動力則有五倍的重要”等,從而計算出綜合指數(shù)。這就是說,權(quán)數(shù)思想雖然起源于中國古代,但是,真正現(xiàn)代統(tǒng)計意義上的權(quán)數(shù)卻始于十九世紀初英國政治算術(shù)學家阿瑟·楊格的加權(quán)算術(shù)平均法。三、權(quán)數(shù)的發(fā)展因為現(xiàn)代權(quán)數(shù)始于指數(shù)計算,所以權(quán)數(shù)首先在指數(shù)領(lǐng)域得到充分發(fā)展;當指數(shù)領(lǐng)域中的權(quán)數(shù)發(fā)展進入反省階段以后,權(quán)數(shù)又開始在統(tǒng)計預測中發(fā)揮巨大的作用,而且統(tǒng)計預測中的權(quán)數(shù)已經(jīng)突破了指數(shù)領(lǐng)域中實質(zhì)性權(quán)數(shù)的概念;直到最近十來年,隨著對多指標綜合評價方法的系統(tǒng)分析,權(quán)數(shù)概念得到進一步擴展。這就是權(quán)數(shù)發(fā)展的總體線索。如果從權(quán)數(shù)本身的性質(zhì)來看,權(quán)數(shù)是由實質(zhì)性向虛擬性方向發(fā)展的。具體來講,指數(shù)領(lǐng)域中的權(quán)數(shù)基本上屬于實質(zhì)性權(quán)數(shù),而統(tǒng)計預測和多指標綜合中的權(quán)數(shù)則屬于虛擬性權(quán)數(shù)。下面就分別從這三個領(lǐng)域來談?wù)剻?quán)數(shù)的發(fā)展過程。1.權(quán)數(shù)在指數(shù)領(lǐng)域中的發(fā)展權(quán)數(shù)不但從指數(shù)計算開始,而且在近代統(tǒng)計史上,權(quán)數(shù)主要是伴隨著指數(shù)編制的發(fā)展而發(fā)展。在綜合指數(shù)編制的發(fā)展過程中,矛盾的焦點就是權(quán)數(shù)問題。根據(jù)綜合指數(shù)計算中確定權(quán)數(shù)的方法特點,將權(quán)數(shù)的發(fā)展過程分為如下四個階段:第一階段從1812年至十九世紀50年代,可視為初創(chuàng)階段。本階段的主要特點是:權(quán)數(shù)的確定由憑經(jīng)驗主觀賦權(quán)發(fā)展到憑歷史數(shù)據(jù)進行客觀賦權(quán)。這種客觀賦權(quán)法對后來指數(shù)計算中的權(quán)數(shù)確定具有不可抗拒的影響力。這一階段的代表人物是英國的楊格、羅威、斯克羅普。第二階段從十九世紀60年代到十九世紀末,可視為發(fā)展階段。本階段的主要特點是:圍繞著以基期銷售量還是計算期銷售量抑或二者的平均量為權(quán)數(shù)進行討論，三種方法各有優(yōu)缺點,而且至今仍然為大多數(shù)學者所接受。這一階段的代表人物是德國的拉斯皮雷斯、派許,英國的馬歇爾、艾奇沃斯。第三階段從本世紀初到本世紀二十年代,可視為頂峰階段。本階段的主要特點是:用所有可能的權(quán)數(shù)對各種指數(shù)形式進行加權(quán),并對由此產(chǎn)生的134個指數(shù)公式進行三項檢驗,最后得出一個“理想公式”。這一時期的代表人物就是美國著名的統(tǒng)計學家、經(jīng)濟學家費喧,他的主要觀點收錄在被譽為指數(shù)理論“圣經(jīng)”的《指數(shù)的編制》一書中。第四階段從本世紀二十年代以來,可視為反省階段。本階段的特點是:很少有人再提出新的加權(quán)方法,而是不斷“消化”老問題,重溫舊爭議。2.權(quán)數(shù)在統(tǒng)計預測中的應(yīng)用與擴展正當指數(shù)領(lǐng)域中的權(quán)數(shù)發(fā)展步入低谷之時,權(quán)數(shù)在統(tǒng)計預測中有了新的應(yīng)用與發(fā)展,并且將權(quán)數(shù)概念由實質(zhì)性擴展為虛擬性,為權(quán)數(shù)的應(yīng)用范圍開辟了一個新的天地。在統(tǒng)計預測中,考慮到時間數(shù)列各觀察值的遠近對預測未來的重要性不同,使用權(quán)數(shù)來加重近期數(shù)值的作用,以提高預測結(jié)果的準確程度,這只是近幾十年來發(fā)生的事。統(tǒng)計預測方法很多,無論是加權(quán)移動平均法、指數(shù)平滑法、折扣最小平方法還是三點預測法,它們都體現(xiàn)了同一種基本精神,即按照時間數(shù)列中觀察值的遠近,用某種可以控制的方法來調(diào)整每個觀察值的權(quán)數(shù),使預測結(jié)果更加準確、可靠。同時,我們必須進一步指出,統(tǒng)計預測中的權(quán)數(shù)并不象綜合指數(shù)中的同度量因素那樣具有一定的經(jīng)濟含義,權(quán)數(shù)與被加權(quán)因素之積也不形成一個新的統(tǒng)計指標,權(quán)數(shù)本身僅僅是一組帶有主觀假定性的抽象數(shù)字,它代表各期數(shù)據(jù)的可靠性大小及其對預測結(jié)果影響的重要性程度?？梢?權(quán)數(shù)概念在統(tǒng)計預測中得到擴展,為權(quán)數(shù)的應(yīng)用范圍開辟了一個新的天地。3.權(quán)數(shù)在多指標綜合評價中得到進一步擴展多指標綜合評價,只是最近十幾年來在統(tǒng)計研究與統(tǒng)計實踐中逐漸發(fā)展起來的一項新課題。在多指標綜合評價中,為了對被評價事物作出一項全面合理的整體性評價,需要把反映該事物各方面的指標綜合在一起,形成一個綜合性指標,由于事物本身發(fā)展的不平衡性,以及評價目標值的側(cè)重點有所不同,有些指標在綜合評價值的形成過程中所起作用大一些,有些則小一些,這樣,就需要對各個指標進行加權(quán)處理。然而,在多指標綜合評價中,往往找不到諸如同度量因素之類的實質(zhì)性權(quán)數(shù)。因此,為了滿足多指標綜合評價的要求,需要對權(quán)數(shù)概念作進一步擴展。本文作者之一邱東教授在其所著《多指標綜合評價方法的系統(tǒng)分析》一書中對權(quán)數(shù)的定義、分類、產(chǎn)生方式以及權(quán)數(shù)概念為什么要擴展等問題都作了比較詳盡的論述。統(tǒng)計權(quán)數(shù)論曾憲報東北財大關(guān)于多指標綜合評價方法及其權(quán)數(shù)問題的討論金貞珍延邊大學參考書目二、權(quán)數(shù)的確定方法一、德爾菲法德爾菲法（又稱為專家咨詢法，其特點在于集中專家的經(jīng)驗與意見，確定各指標的權(quán)數(shù)，并在不斷的反饋和修改中得到比較滿意的結(jié)果。基本步驟如下：第一步，選擇專家。這是很重要的一步，選得好不好將直接影響到結(jié)果的準確性。一般情況下，可以選本專業(yè)領(lǐng)域中既有實際工作經(jīng)驗又有較深理論修養(yǎng)的專家10—30人左右，并須征得專家本人的同意。第二步，將待定權(quán)數(shù)的個指標和有關(guān)資料以及統(tǒng)一確定權(quán)數(shù)的規(guī)則發(fā)給選定的各位專家，請他們獨立地給出各指標的權(quán)數(shù)值。第三步，回收結(jié)果并計算各指標權(quán)數(shù)的均值與標準差。第四步，將計算的結(jié)果及補充資料返還給各位專家，要求所有的專家在新的基礎(chǔ)上重新確定權(quán)數(shù)。第五步，重復上述第三和第四步，直至各指標權(quán)數(shù)與其均值的離差不超過預先給定的標準為止，也就是各專家的意見基本趨于一致，以此時各指標權(quán)數(shù)的均值作為該指標的權(quán)數(shù)。此外，為了使判斷更加準確，讓評價者了解已確定的權(quán)數(shù)把握性的大小，還可以運用“帶有信任度的德爾菲法”，該方法需在上述第五步每位專家給出最后權(quán)數(shù)值的同時，標出各自所給權(quán)數(shù)值的信任度，并求出平均信任度。這樣，如果某一指標權(quán)數(shù)的信任度較高，就可以有較大的把握使用它；反之，只能暫時使用或設(shè)法改進。德爾菲法是調(diào)查、征集意見、匯總分析、反饋、再調(diào)查、一個反復的過程，專家們是處于互不知情的隔離狀態(tài)，每個人的信息是他自己的知識、經(jīng)驗、專長以及調(diào)查機構(gòu)反饋給他的匯總情況的集中體現(xiàn)，這就便于集中智慧。所以不少方法也都或多或少地借用這一想法，反復比較、協(xié)調(diào)，求得較好的結(jié)果和比較一致的意見。二、序關(guān)系分析法1、方法及步驟1）確定序關(guān)系定義1

若評價指標相對于某評價準則（或目標）的重要性程度大于（或不小于）時，則記為。定義2若評價指標相對于某評價準則（或目標）具有關(guān)系式時，則稱評價指標之間按“”確立了序關(guān)系。這里表示按關(guān)系“”排定順序后的第個評價指標（）。對于評價指標集，可按下屬步驟建立序關(guān)系：（1）決策者在指標集，選出認為是最重要（關(guān)于某評價準則）的一個（只選一個）指標記為；（2）決策者在在余下的個指標中，選出認為是最重要（關(guān)于某評價準則）的一個（只選一個）指標記為；（）決策者在在余下的個指標中，選出認為是最重要（關(guān)于某評價準則）的一個（只選一個）指標記為；（）經(jīng)過次挑選剩下的評價指標記為。這樣，就唯一確定了一個序關(guān)系。對于某些問題來說，僅僅給出了序關(guān)系還不夠，還要確定出各評價指標相對于某評價準則（或目標）的權(quán)重系數(shù)。2）給出與間相對重要程度的比較判斷設(shè)專家關(guān)于評價指標與的重要性程度之比的理性判斷分別為，（1）當較大時，可取。的賦值可參考下表。表1賦值參考表說明1.0指標與指標具有同樣重要性

1.2指標比指標稍微重要

1.4指標比指標明顯重要

1.6指標比指標強烈重要

1.8指標比指標極端重要

關(guān)于之間的數(shù)量約束，有下面的定理：定理1

若具有序關(guān)系，則與必須滿足，（2）定理2

若專家（或決策者）給出的理性賦值滿足關(guān)系上式，則為

（3）而（4）證明

因為，對k從2到m求和，得

注意到，得故得證式（3），式（4）可由式（1）推出。證畢。3）權(quán)重系數(shù)的計算例：設(shè)某評價問題有4個評價指標為，專家認為之間具有序關(guān)系

并給出，，而所以故評價指標為的權(quán)重系數(shù)為三、統(tǒng)計方法從收集到的指標的數(shù)據(jù)來看，數(shù)據(jù)本身提供的信息中也能確定合適的權(quán)，常見的有：用方差的倒數(shù)為權(quán)、變異系數(shù)為權(quán)和復相關(guān)系數(shù)的倒數(shù)為權(quán)等。這些方法的理論根據(jù)是統(tǒng)計中關(guān)于綜合預測有如下一條定理：證明

利用的獨立性，，因此，這是一個條件極值問題。

注意到約束條件證明

利用證明

利用證明

利用證明

利用的獨立性，證明

利用，因此，這是一個條件極值問題。

注意到約束條件的獨立性，證明

利用定理4.1

設(shè)分別為真值的預測值，它們是相互獨立的，并且，則它們的加權(quán)平均預測值，在，時，相應(yīng)的方差達到最小值。定理4.1

設(shè)定理4.1

設(shè)分別為真值定理4.1

設(shè)分別為真值定理4.1

設(shè)的預測值，它們是相互獨立的，并且分別為真值定理4.1

設(shè)的預測值，它們是相互獨立的，并且分別為真值定理4.1

設(shè)，則它們的加權(quán)平均預測值的預測值，它們是相互獨立的，并且分別為真值定理4.1

設(shè)，則它們的加權(quán)平均預測值的預測值，它們是相互獨立的，并且分別為真值定理4.1

設(shè)，在，則它們的加權(quán)平均預測值的預測值，它們是相互獨立的，并且分別為真值定理4.1

設(shè)，在，則它們的加權(quán)平均預測值的預測值，它們是相互獨立的，并且分別為真值定理4.1

設(shè)，在，則它們的加權(quán)平均預測值的預測值，它們是相互獨立的，并且分別為真值定理4.1

設(shè)時，相應(yīng)的方差，在，則它們的加權(quán)平均預測值的預測值，它們是相互獨立的，并且分別為真值定理4.1

設(shè)時，相應(yīng)的方差，在，則它們的加權(quán)平均預測值的預測值，它們是相互獨立的，并且分別為真值定理4.1

設(shè)達到最小值。時，相應(yīng)的方差，在，則它們的加權(quán)平均預測值的預測值，它們是相互獨立的，并且分別為真值定理4.1

設(shè)定理4.1

設(shè)定理4.1

設(shè)分別為真值定理4.1

設(shè)分別為真值定理4.1

設(shè)的預測值，它們是相互獨立的，并且分別為真值定理4.1

設(shè)的預測值，它們是相互獨立的，并且分別為真值定理4.1

設(shè)，則它們的加權(quán)平均預測值的預測值，它們是相互獨立的，并且分別為真值定理4.1

設(shè)，則它們的加權(quán)平均預測值的預測值，它們是相互獨立的，并且分別為真值定理4.1

設(shè)，則它們的加權(quán)平均預測值的預測值，它們是相互獨立的，并且分別為真值定理4.1

設(shè)，在，則它們的加權(quán)平均預測值的預測值，它們是相互獨立的，并且分別為真值定理4.1

設(shè)，在，則它們的加權(quán)平均預測值的預測值，它們是相互獨立的，并且分別為真值定理4.1

設(shè)時，相應(yīng)的方差，在，則它們的加權(quán)平均預測值的預測值，它們是相互獨立的，并且分別為真值定理4.1

設(shè)時，相應(yīng)的方差，在，則它們的加權(quán)平均預測值的預測值，它們是相互獨立的，并且分別為真值定理4.1

設(shè)達到最小值。時，相應(yīng)的方差，在，則它們的加權(quán)平均預測值的預測值，它們是相互獨立的，并且分別為真值定理4.1

設(shè)因此后，就有，這樣，就求得注意到記，，則

就是的變異系數(shù)。記記記，則記，則記

就是，則記的變異系數(shù)。

就是，則記的變異系數(shù)。

就是，則記的變異系數(shù)。

就是，則記的變異系數(shù)。

就是的變異系數(shù)。

就是的變異系數(shù)。

就是，則的變異系數(shù)。

就是，則的變異系數(shù)。

就是記，則的變異系數(shù)。

就是這條定理表明，用方差的倒數(shù)作為權(quán)來綜合各種相互獨立的預測，效果好（方差達到最?。?。然而，綜合評價與預測還不一樣，所以方差小的這個準則并不適用。于是就派生出變異系數(shù)法、復相關(guān)系數(shù)法。一組數(shù)據(jù)的變異系數(shù)是它的標準差除以均值的絕對值，即對數(shù)據(jù)于是對選的指標，利用被評價對象的數(shù)據(jù)，各個指標都有各自的變異系數(shù)。為了方便，用表示的變異系數(shù)，，此時相應(yīng)的權(quán)就是。

于是對選的指標于是對選的指標，利用被評價對象的數(shù)據(jù)，各個指標都有各自的變異系數(shù)。為了方便，用于是對選的指標，利用被評價對象的數(shù)據(jù)，各個指標都有各自的變異系數(shù)。為了方便，用于是對選的指標，此時，利用被評價對象的數(shù)據(jù)，各個指標都有各自的變異系數(shù)。為了方便，用于是對選的指標，此時，利用被評價對象的數(shù)據(jù)，各個指標都有各自的變異系數(shù)。為了方便，用于是對選的指標相應(yīng)的權(quán)就是，此時，利用被評價對象的數(shù)據(jù)，各個指標都有各自的變異系數(shù)。為了方便，用于是對選的指標相應(yīng)的權(quán)就是，此時，利用被評價對象的數(shù)據(jù)，各個指標都有各自的變異系數(shù)。為了方便，用于是對選的指標。

相應(yīng)的權(quán)就是，此時，利用被評價對象的數(shù)據(jù)，各個指標都有各自的變異系數(shù)。為了方便，用于是對選的指標。

相應(yīng)的權(quán)就是，此時，利用被評價對象的數(shù)據(jù)，各個指標都有各自的變異系數(shù)。為了方便，用于是對選的指標。

相應(yīng)的權(quán)就是，此時，利用被評價對象的數(shù)據(jù)，各個指標都有各自的變異系數(shù)。為了方便，用于是對選的指標。

相應(yīng)的權(quán)就是，此時，利用被評價對象的數(shù)據(jù)，各個指標都有各自的變異系數(shù)。為了方便，用于是對選的指標。

相應(yīng)的權(quán)就是，此時，利用被評價對象的數(shù)據(jù)，各個指標都有各自的變異系數(shù)。為了方便，用于是對選的指標。

相應(yīng)的權(quán)就是，此時，利用被評價對象的數(shù)據(jù)，各個指標都有各自的變異系數(shù)。為了方便，用于是對選的指標。

相應(yīng)的權(quán)就是，此時，利用被評價對象的數(shù)據(jù)，各個指標都有各自的變異系數(shù)。為了方便，用于是對選的指標這種加權(quán)的方法是為了突出各指標的相對變化幅度，從評價的目的來看，就是區(qū)別被評價的對象，的值大，表示在不同的對象身上變化大，區(qū)別對象能力強，所以應(yīng)給予重視。這種加權(quán)的方法是為了突出各指標的相對變化幅度，從評價的目的來看，就是區(qū)別被評價的對象，這種加權(quán)的方法是為了突出各指標的相對變化幅度，從評價的目的來看，就是區(qū)別被評價的對象，另一種是考慮復相關(guān)系數(shù)，每一個被選的指標，用其余的指標對它的相關(guān)程度——復相關(guān)系數(shù)來考慮時，復相關(guān)系數(shù)簡記為，它反映了非的那些指標能替