《平面向量基本定理》導學案

111111111111112121121學習目標

平面向量本定理理解平向量基本定理的內容，了解向量的一組基底的含在平面內，當一組基底選定后，會用這組基底來表示其他向會應用平面向量基本定理解決有關平面向量的綜合問題.知識點一平面向量基本定理思考1如，是兩個不共線的確定向量，那么與e，e在一平面內的任一向量能否用e，e表示？依據(jù)是什么？答案

能依是數(shù)乘向量和平行四邊形法思考如，是線向量，那么向量能否用，表示？為什么？答案梳理

不一定，當e共線時可以表示，否則不能表.(1)平面向量基本定理：如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a有且只有一對實數(shù)λ，，＝＋e.基底：不共線的向量，e叫表示這一平面內所有向量的一組基知識點二兩向量的夾角與垂直思考平中的任意兩個向量都可以平移至起點，它們存在夾角嗎？若存在，向量夾角與直線的夾角一樣嗎？答案

存在夾角，不一→→思考△正三角形，設AB＝，＝，向量a與b的角是多少？→答案如，延長AB至D，AB，則B＝a，∵△等邊三角形，∴＝60°，則∠CBD，向量a與的角為120°.梳理

→→(1)夾角：已知兩個非零向量b，作O＝a，＝，∠＝≤≤180°)叫做向量與b的夾角(如圖所示)

12111112111121112212211121，2112122112當θ＝0°時，a與向；當θ時，與b向垂直：如果的角是90°，則稱與b垂，作⊥類型一對基底概念的理解例如，是面α內個不共線的向量，那么下列說法中不正確的()①＋e，∈)可表示平面內所有向量；②對于平面α內一向量a，使＝＋e的實數(shù)對(，)有無窮多個；③若向量e＋與＋e共線且有一個實數(shù)＋＝(e＋；④若存在實數(shù)，使＋＝，則＝＝0.①②③③D.②答案B解析由面向量基本定理可知①④是正確的；對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的；對于③，當兩向量的系數(shù)均為零，即＝λ＝＝＝0時這樣的λ有數(shù)個，故選反思與感悟考兩個向量是否能構成基底主要看兩向量是否非零且不共.外一個平面的基底一旦確定，那么平面上任意一個向量都可以由這個基底唯一線性表示出跟蹤訓練1()

若，是面內的一組基底，則下列組向量能作為平面向量的基底的是e－，－e－3e－4e

B.2－，－1212e＋e，e－e答案D解析選A中兩個向量為相反向量，即－e＝－－，則－，－為線向量；選項B中2e－e＝e－，也為共線向量；選項中－＝－2(2e－e，122為共線向量.據(jù)不共線的向量可以作為基底，只有選項D符.類型二向量的夾角

1120111201010例已a＝＝2，且b的角，設ab夾角為α－與a的角是β，＋解

→→如圖，作OA，＝，＝，以OA、鄰邊作OACB→→→→則＝a＋BA＝－＝ab，→→＝＝a因為a＝＝，所以為正三角形，所以OAB＝ABC，即a－與夾角β＝因為a＝，以平行四邊形OACB為菱形，所以OC，所以COA＝－＝30°即a＋與夾角＝30°，所以α＋＝90°.反思與感悟(1)兩個向量夾角的關鍵是利用平移的方法使兩個向量起點重合兩向量的夾角，按“作二證三算”步驟求.特別地a與b的角為θ，與λbλ、是零常數(shù)的夾角為θ，λ時＝－θ；λλ時θ＝→→→→→跟蹤訓練已A為O上三點O(＋B與的夾角答案90°→1→→解析由AO＝(AB＋知，O，三點共線，且是段的點，故線段是→→O的徑，從而＝，因此B與A的夾角為90°.類型三平面向量基本定理的應

→→例如所，在ABCD中E，F(xiàn)分是BCDC邊的中點，B＝aAD＝，試以→→，為基底表D，BF.解

∵四邊形是行四邊形，F(xiàn)分是BCDC上的中點，→→→→→→∴＝＝，BA＝＝2，→→→→1→1∴BE＝＝，＝BA＝－AB＝－→→→→→→→∴＝＋＋BE＝－＋AB＋BE＝－b＋a＝－，2→→→→→1＝＋＝＋CF＝b引申探究→→→→若本例中其他條件不變，DEa＝，試以ab為底表B，AD.解取CF的點，連接.∵E、G分別為，的點，→→∴＝＝，2→→→1∴DGDE＋EGa＋.→3→又DG＝DC＝AB，→→42∴AB＝DG(ab＝＋.3→→→→→1→→1→又ADBC＋FC＝BFDC＋，→→14∴＝＝b＋(＋)34＝a＋3反思與感悟將共線的向量作為基底表示其他向量的方法有兩種：一種是利用向量的線性運算及法則對所求向量不斷轉化，直至能用基底表示為止；另一種是列向量方程組，利用基

底表示向量的唯一性求.→→跟蹤訓練如所，在中OAa＝b，，分是邊，上的點，→→→→→且＝，ONb，設AN與M交于點，用基底，表示O.2→→→→→→解＝OMMP＝＋.→→→→設＝，＝nNA則→→→1→→→OPOM＋mMB＋m(－)1＝am(b－)＝(1－)＋m，3→→→1→→→OPON＝OB＋ON11＝＋(a－)(1－nb＋na.2∵a，不共線，∴

即

＝，m＝.→∴＝＋.5下關基底的說法正確的()①平面內不共線的任意兩個向量都可作為一組基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面內的基底一旦確定，該平面內的向量關于基底的線性分解形式也是唯一確定①B.②①D.②③答案解析零量與任意向量共線，零向量不能作為基底中的向量，故②錯，①③正.→→在角角形ABC中∠BAC＝30°，則AC與BA的夾角等于()

1212112121212C.120°

B.60°D.150°答案D→→解析由量夾角定義知，ACA的夾角為150°.已向e不線實數(shù)xy滿足(2－3)＋－4ye＝＋e則x＝，y＝答案－－12解析

∵向量e，不線，∴解→→→→如所，在正方形中，設＝，AD＝，當以，基底時，AC→表示為_，以，為底時可表示________.答案＋2ac→→→→解析由行四邊形法則可知，AC＋AD＝a，以a，為基底時將D移，使點與點A重，再由三角形法則和平行四邊形法則即可得.→已在形中AB∥DC且＝2，，F(xiàn)分是DC，AB的點，AD，→→→→＝b，試用ab為基底表示D，.解

連接FD，∥，＝2CDE，分是DCAB的點，∴DC∴四邊形DCBF為行四邊.→→依題意＝1＝AB＝，→→→→＝FD＝AD－AF

4111411121211212121111212→→＝－AB＝a，→→→→→→→＝DF－DE＝FD－DE－－DC1＝－－－×＝－a.對底理解基底的特征基底具備兩個主要特征①基底兩個不共線向量②基底的選擇是不唯一.面內兩向量不共線是這兩個向量可以作為這個平面內所有向量的一組基底的條.零向量與任意向量共線，故不能作為基.準理平面向量基本定理平面向量基本定理的實質是向量的分解平內任一向量都可沿兩個不共線的方向分解成兩個向量和的形式，且分解是唯一.平面向量基本定理體現(xiàn)了轉化與化歸的數(shù)學思想，用向量解決幾問題時，我們可以選擇適當?shù)幕?，將問題中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解課時作業(yè)一、選擇題設e，e是平面內所有向量的一組基底，則下列四組向量中不能作為基底的()e＋和e－B.3－4e和－C.e＋2e和2e＋和e＋e答案B解析B中6e－＝2(3－)∴(6－∥(3e－e，∴3－和6e－不作為基底.若量a與b的角為，則向量－a與b夾角是()答案A

D.150°

112121212112121212121112121212112121212121212121212如所，用向量e，e表向量－為()－4－2eC.e－3e答案解析如，由向量的減法得

－2e－4eD.3－→→－AB.由向量的加法A＝－.設量和是一平面內所有向量的一組基底若3e＋(10e＝(4－＋x，則實數(shù)y的為)A.3C.－答案B解析因3e＋(10－y)e＝y(tǒng)－e＋2e，所以(3－y＋7)e＋(10－2x)＝0，又因為和是一平面內所有向量的一組底解得故0，選→→→→→若O＝a，OP＝，P＝PP(≠－，O等于()a＋C.a＋答案D

λa－λbλa1λ＋解析

→→∵＝PP，

121212121212→→→→→→→∴－＝OP－)，∴(1＋)＝OPOP，→1→λ→1λ∴＝＋＝a＋1＋＋＋→→→→若D點在三角形的邊上且＝4＝＋sAC，則3r＋的為()84C.5答案解析

→→→→∵CD＝＝rABsAC→4→→→∴＝＝(－AC→→＝rAB＋，4∴r＝，＝－8∴3r＋＝－＝.5在行邊形AC與BD交于點O是段OD中點的長線與交→→→于點.A＝a，BD＝，則F于)1a＋2C.a＋b答案→→→→解析如，F(xiàn)CD，AEμAF，

ab2a3→→→11則CD＝OD－＝－a，2→→→11故A＋＝(1λa＋λ.→→1→→11∵AFAE(AO＋OE＝＋)μμμ2＝

＋b，24

412111124121111231－λ，μ∴由平面向量基本定理，得＝，，∴，

→1∴＝a＋，故選3二、填空題已，不共線，＝＋2e，b＝2e＋e，要使，能作為平面內的一組基底，則實數(shù)λ的值范圍為______________.答案

(－∞，4)∪，＋∞)解析若作為平面內的一組基，則與不線ae＋，b＋，≠，即得λ≠4.若＝＝－＝rr>0)，則與b的角_答案60°→→→解析作O＝，＝，B＝ab，AOB為與b的角，由a＝＝ab知AOB為等邊三角形，所以＝→→→10.如圖，在平行四邊形ABCD中E和F分是邊和中點，若AC＝AE＋，其中，∈R，＋＝________.答案

→→→1→解析設ABa，AD＝，AE＝＋，＝＋b→又AC＋，→2→→4∴＝(AE＋AF，即λ＝＝，λ＋＝三、解答題判斷下列命題的正誤，并說明理由：

1212112111212112111211211121221若ae＋＝e＋、b、c、∈R，＝c，＝d若和e是示平面內所有向量的一組基底，那么該平面內的任一向量可以用＋e－表示出解

(1)錯，當e與e共線時，結論不一定成立.正確，假設＋與－共，則存在實數(shù)，使＋＝－)，即(1λ)＝(1＋)因為－與＋不同時為0所以與共，這與，不線矛.所以e＋e與－e不共線，即它們可以作為基底，該平面內的任一向量可以用＋、e－表示出→→→→→→→12.如圖面有三個OAOC其中O與的夾角為與O的夾角為，→→→→→→且OA＝＝1＝3，若OC＝OA＋μOB(λ，∈)，＋的解

→→→如圖OAOB所射線為邊為角線作行四邊形ODCECODOE→在OCD中＝2，∠COD＝，∠＝90°，→→→→∴OD＝4，CD＝，故OD＝OA→→OE2，即λ＝，＝，＋＝6.→→DC→→13.在梯形ABCD∥CDMN別是BC的點，且＝.AD＝ABe，AB2→→→以e，為底表示向量，，MN解

方法一如所示，

212212212→k＋212212212→k＋→DC∵AB＝，且＝，2→→∴＝＝k.→→→→又＋BCCD＋＝0，→→→→→→→∴＝－－CD－DA－AB＋AD＝＋k－e.→→→→又＋BA＋＝0，→→→→且N＝－BC，AMAD，2→→→→1→→→∴＝－AMBA－＝－AD＋AB2＝

k＋1e.2方法二如所示，過CCE，交于點E，交于F→同方法一可得DC＝k.→