第四章 傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析

Chapter4傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析FourierTransformandFrequency-DomainAnalysisofSystems第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析第二、三章中分別討論了連續(xù)時間系統(tǒng)和離散時間系統(tǒng)的時域分析法。以沖激函數(shù)或單位序列為基本信號，任意信號可分解為一系列沖激函數(shù)或單位序列，而系統(tǒng)的響應(yīng)（零狀態(tài)響應(yīng)）是輸入信號與系統(tǒng)沖激響應(yīng)或單位序列響應(yīng)的卷積。2本章主要討論連續(xù)信號的傅里葉變換和連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析法。以非周期信號為例：所謂傅里葉變換（含正變換和逆變換），其目的是以正弦函數(shù)或虛指數(shù)函數(shù)為基本信號，將任意連續(xù)時間信號表示為一系列不同頻率的正弦函數(shù)或虛指數(shù)函數(shù)之和（對于周期信號）或積分（對于非周期信號）。3接下來我們可證明，連續(xù)LTI系統(tǒng)對虛指數(shù)函數(shù)的響應(yīng)仍是同頻率的虛指數(shù)函數(shù)，只是乘上了一個與有關(guān)的復(fù)常數(shù)。輸出輸入4時域分析法頻域分析法卷積乘積5頻域分析法的優(yōu)點：

1.將卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)換為乘積運(yùn)算，使運(yùn)算簡化。

2.物理意義更明確?！静淮嬖?，正余弦函數(shù)常見】

3.將反卷積運(yùn)算轉(zhuǎn)換為除法運(yùn)算。6$4.5傅里葉變換的性質(zhì)（）$4.6能量譜和功率譜（能量譜定義

功率譜定義及二者關(guān)系）線性

奇偶性

對稱性

尺度變換

時移

頻移卷積定理

時域微積分

頻域微積分

相關(guān)定理

第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析$4.1信號分解為正交函數(shù)（正交函數(shù)集的定義

信號分解公式）$4.2傅里葉級數(shù)（三角函數(shù)形式

奇/偶函數(shù)的級數(shù)特點

指數(shù)形式）$4.3周期信號的頻譜（頻譜定義

矩形脈沖頻譜特點

信號功率）$4.4非周期信號的頻譜（引出傅里葉變換

某些特殊函數(shù)結(jié)果）$4.7周期信號的傅里葉變換（求解方法

與傅里葉級數(shù)關(guān)系）$4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析（頻率響應(yīng)及頻域分析

無失真?zhèn)鬏?/p>

理想低通）$4.9取樣定理（信號的取樣

時域取樣定理

頻域取樣定理）74.1信號分解為正交函數(shù)

4.1信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)的原理與矢量分解為正交矢量的概念類似。為軸和軸的單位矢量,組成一個二維正交矢量集。矢量正交分解的概念可以推廣到信號空間，在信號空間找到若干個相互正交的信號作為基本信號，使得信號空間中的任意信號均可表示成它們的線性組合。84.1信號分解為正交函數(shù)

一.正交函數(shù)集1.正交函數(shù)在區(qū)間上定義的非零實函數(shù)和,若滿足條件，則稱函數(shù)和為在區(qū)間的正交函數(shù)。2.正交函數(shù)集在區(qū)間上定義的個非零實函數(shù)，其中任意兩個均滿足,則稱函數(shù)集為在的正交函數(shù)集。94.1信號分解為正交函數(shù)

3.完備正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集之外不存在函數(shù)滿足等式，則稱該函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。例：三角函數(shù)集在區(qū)間組成完備正交函數(shù)集。其中，。原因：*（自己下去驗證，后同）104.1信號分解為正交函數(shù)

**對任意的和注意：正弦函數(shù)集是正交函數(shù)集，但不是完備正交函數(shù)集。如果是復(fù)函數(shù)集，若在區(qū)間滿足：，則稱此函數(shù)為正交函數(shù)集。114.1信號分解為正交函數(shù)

例：復(fù)函數(shù)集在區(qū)間組成完備正交函數(shù)集。其中，。原因：*式(a)二.信號分解為正交函數(shù)的線性組合設(shè)有個函數(shù)在區(qū)間構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)用這個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為：（自己下去驗證）124.1信號分解為正交函數(shù)

顯然，應(yīng)選取各系數(shù)使實際函數(shù)與近似函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的誤差為最小。為防止正負(fù)誤差相互抵消的情況，通常采用最小均方誤差準(zhǔn)則。其中的均方誤差定義為：在中，為求得，必須使。即：式(b)134.1信號分解為正交函數(shù)

根據(jù)【所有交叉項

的積分為零】【

中不含

項】【求和號去掉】【求和號去掉】144.1信號分解為正交函數(shù)

可推得：交換微分與積分次序，可得：式中。式(c)15【】4.1信號分解為正交函數(shù)

展開前面的式(b)，可得：由于,得：164.1信號分解為正交函數(shù)

由于，顯然當(dāng)所取的項數(shù)越大時，均方誤差越小。（越大，越接近于）當(dāng)時，。此時有：(1)物理意義：信號可展開為無窮多項正交函數(shù)的線性組合，各項的展開系數(shù)按式(c)計算。(2)物理意義：信號的能量等于各正交分量的能量和。【的能量為】174.2傅里葉級數(shù)

4.2傅里葉級數(shù)本節(jié)的任務(wù)是將周期信號在區(qū)間展開成在完備正交函數(shù)集中的無窮級數(shù)。如果完備的正交函數(shù)集是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，那么，周期信號所展開的無窮級數(shù)就分別稱為“三角型傅里葉級數(shù)”或“指數(shù)型傅里葉級數(shù)”，統(tǒng)稱為傅里葉級數(shù)。184.2傅里葉級數(shù)

一.周期信號的分解（結(jié)果為三角函數(shù)的形式）設(shè)有一個周期信號,它的周期是,角頻率,它可分解為:（前提：滿足狄里赫利條件）其中稱為傅里葉系數(shù)。教材P120194.2傅里葉級數(shù)

傅里葉系數(shù)可按$4.1中的相關(guān)公式計算：204.2傅里葉級數(shù)

因此，在最終展開式中的常數(shù)項為。為保證計算公式的統(tǒng)一起見，定義：*是關(guān)于的偶函數(shù)。即：。是關(guān)于的奇函數(shù)。即：。類似地，可得出的計算公式：*214.2傅里葉級數(shù)

由于和是同頻率項，可進(jìn)行合并。式中：是關(guān)于的偶函數(shù)。即：。是關(guān)于的奇函數(shù)。即：。224.2傅里葉級數(shù)

總結(jié)：任何滿足狄里赫利條件的周期函數(shù)可分解為直流和許多余弦（正弦）分量。其中第一項是常數(shù)項，它是周期信號所包含的直流分量；式中第二項稱為基波或一次諧波，其角頻率與原周期信號相同，是基波振幅，是基波初相角；式中第三項稱為二次諧波；以此類推，還有三次、四次、…

諧波。一般而言，其中的稱為次諧波。總之，周期信號可分解為各次諧波分量。234.2傅里葉級數(shù)

例4.2-1

將如圖所示的方波信號展開為傅里葉級數(shù)。解：244.2傅里葉級數(shù)

254.2傅里葉級數(shù)

264.2傅里葉級數(shù)

下面考察當(dāng)用有限項級數(shù)逼近時引起的誤差：當(dāng)取一、三次諧波時：當(dāng)取一、三、五次諧波時：當(dāng)取一、三、五、七次諧波時：當(dāng)只取基波時：【】274.2傅里葉級數(shù)

TT/20t(a)基波0T/2Tt

(b)基波+三次諧波0T/2Tt(c)基波+三次諧波+五次諧波0T/2Tt(d)基波+三次+五次+七次諧波284.2傅里葉級數(shù)

(1)級數(shù)所取項數(shù)愈多，合成波形（除間斷點外）愈接近于原方波信號,其均方誤差越小。低頻成分––––

合成波形的主體輪廓。高頻成分––––合成波形的細(xì)節(jié)部分。(2)級數(shù)所取項數(shù)愈多，在間斷點附近，尖峰愈靠近間斷點。即使，在間斷點處尖峰仍不能與之吻合，有約的偏差。但在均方（整體）的意義上，合成波形同原方波的真值之間沒有區(qū)別。(吉布斯現(xiàn)象）294.2傅里葉級數(shù)

二.奇、偶函數(shù)的傅里葉級數(shù)

若給定的

有某些特點，那么，有些傅里葉系數(shù)將等于零，從而使得計算較為簡便。1.為偶函數(shù)即有：,波形對稱于縱坐標(biāo)軸。304.2傅里葉級數(shù)

2.為奇函數(shù)即有：,波形對稱于原點。314.2傅里葉級數(shù)

注意：任意信號都可以分為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分。其中：式(a)式(b)式(a)式(b)*32任意周期信號可以分為奇函數(shù)和偶函數(shù)兩部分，是否會簡化傅里葉級數(shù)系數(shù)的計算？思考：4.2傅里葉級數(shù)

不能。因為仍要計算兩類系數(shù)?；卮穑?34.2傅里葉級數(shù)

3.為奇諧函數(shù)如果函數(shù)的前半周期波形移動后，與后半周期波形相對于橫軸對稱，即：，則稱該函數(shù)為奇諧函數(shù)。此時傅里葉級數(shù)展開式中將只含有奇次諧波分量，而不含有偶次諧波分量。即：

例：344.2傅里葉級數(shù)

證：【】令，可得：354.2傅里葉級數(shù)

【令】當(dāng)為偶數(shù)時，。當(dāng)為奇數(shù)時，。的證明類似。得證。364.2傅里葉級數(shù)

例4.2-2

正弦交流信號經(jīng)全波或半波整流后的波形如下圖所示。求它們的傅里葉級數(shù)展開式。(a)全波整流信號(b)半波整流信號解：(1)全波整流信號374.2傅里葉級數(shù)

為偶函數(shù)，。令，可得：方法一384.2傅里葉級數(shù)

394.2傅里葉級數(shù)

注意：同樣可看成是周期為的周期函數(shù)。此時，對應(yīng)的基波角頻率為。方法二仍為偶函數(shù)，。404.2傅里葉級數(shù)

令，可得：【】【】414.2傅里葉級數(shù)

令，可得：【】【】424.2傅里葉級數(shù)

(2)半波整流信號令方法一434.2傅里葉級數(shù)

444.2傅里葉級數(shù)

令【】454.2傅里葉級數(shù)

對于半波整流信號，也可分解為奇函數(shù)與偶函數(shù)兩部分進(jìn)行求解。方法二464.2傅里葉級數(shù)

474.2傅里葉級數(shù)

三.傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式設(shè)，對上式中第三項進(jìn)行變量替換：【三角形式】484.2傅里葉級數(shù)

如將上式中的寫成（其中），則

上式可寫成：

利用，，可得：494.2傅里葉級數(shù)

令復(fù)數(shù)量，稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)?？傻弥笖?shù)形式的傅里葉級數(shù)為：**其中的傅里葉系數(shù)為：【教材P127式（4.2-18）中多了一個1/2】504.2傅里葉級數(shù)

討論：與的關(guān)系。展開式的對比：三角形式：指數(shù)形式：514.2傅里葉級數(shù)

例4.2-3

周期鋸齒波的信號如圖所示，求其指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。解：524.2傅里葉級數(shù)

當(dāng)時，有：【】分部積分法：534.3周期信號的頻譜

4.3周期信號的頻譜一.周期信號的頻譜單邊譜：…….橫坐標(biāo)…….縱坐標(biāo)單邊幅度頻譜，簡稱單邊幅度譜。…….橫坐標(biāo)…….縱坐標(biāo)單邊相位頻譜，簡稱單邊相位譜。544.3周期信號的頻譜

(a)單邊幅度譜(b)單邊相位譜幅度譜線：幅度譜中的每條豎線代表該頻率分量的幅度。相位譜線：相位譜中的每條豎線代表該頻率分量的相位。包絡(luò)線：連接各幅度譜線頂點的曲線。554.3周期信號的頻譜

雙邊譜：雙邊相位頻譜，簡稱雙邊相位譜?！?橫坐標(biāo)…….縱坐標(biāo)…….橫坐標(biāo)…….縱坐標(biāo)雙邊幅度頻譜，簡稱雙邊幅度譜。564.3周期信號的頻譜

(a)雙邊幅度譜(b)雙邊相位譜574.3周期信號的頻譜

周期信號頻譜的共同點：第一為離散性，此頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個正弦分量，所以此頻譜稱為不連續(xù)譜或離散譜。第二為諧波性，此頻譜的每一條譜線只能出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍頻率上，即含有的各次諧波分量，而決不含有非整數(shù)倍的諧波分量。第三為收斂性，各次諧波分量的振幅雖然隨的變化有起伏變化，但總的趨勢是隨著的增大而逐漸減小。當(dāng)時，。584.3周期信號的頻譜

二.周期矩形脈沖的頻譜設(shè)有一幅度為1，脈沖寬度為的周期性矩形脈沖，其周期為，求其復(fù)傅里葉級數(shù)。解：594.3周期信號的頻譜

定義：取樣函數(shù)特點：(1)當(dāng)時，。(2)是偶函數(shù)。(3)總體呈衰減趨勢。(4)是的零點。604.3周期信號的頻譜

周期性矩形脈沖指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式為：注意：當(dāng)為實數(shù)時，幅度譜與相位譜可畫在同一張圖上。614.3周期信號的頻譜

幾個重要指標(biāo)：1.相鄰譜線的間隔：3.第一個零點的位置：2.譜線零點的位置：4.第一個零點對應(yīng)的譜線序號：【前提：為的整數(shù)倍】624.3周期信號的頻譜

周期性矩形脈沖頻譜的特點：1.離散性。2.諧波性。且當(dāng)時，譜線越稠密。4.譜線的幅度按包絡(luò)線的規(guī)律變化。當(dāng)時，相應(yīng)的頻譜分量等于零。5.能量主要集中在第一零點以內(nèi)。定義信號帶寬為。當(dāng)時，零點位置越遠(yuǎn)，帶寬越寬。P663.收斂性。能量主要集中在低頻頻率處。634.3周期信號的頻譜

f

(t)2TtT03T4TT=4f

(t)2TtT0T=8f

(t)tT0T=16f

(t)t0T02/4/1/4Fn02/4//TFn02/4/1/16Fn02/4/1/8Fn，譜線越稠密（間隔：）；非周期信號演變?yōu)檫B續(xù)譜。641/1602/4/Fnf

(t)tT0=T/8f

(t)tT0

=T/402/8/1/8Fn4/02/16/1/4Fn4/8/tT0=T/16f

(t)4.3周期信號的頻譜

，零點位置越遠(yuǎn)，帶寬越寬（）。654.3周期信號的頻譜

三.周期信號的功率（從頻域計算）周期信號是功率信號，歸一化平均功率為：以上為時域表達(dá)式，其頻域表達(dá)式為：664.3周期信號的頻譜

4.3周期信號的頻譜

形式項：形式項：674.3周期信號的頻譜

**由于是的偶函數(shù)，且有，則有：【】以上兩式稱為帕斯瓦爾等式。它們表明，對于周期信號，在時域中求得的功率與在頻域中求得的功率相等。（能量守恒）【解釋：的功率】684.3周期信號的頻譜

例4.3-1試計算下圖所示信號在頻譜第一個零點以內(nèi)各分量的功率所占總功率的百分比。解：根據(jù)第二部分的計算結(jié)果，有：694.3周期信號的頻譜

第一個零點對應(yīng)的頻率為：【】【】704.4非周期信號的頻譜

4.4非周期信號的頻譜前已指出，當(dāng)周期趨于無限大時，相鄰譜線的間隔趨近于無窮小，從而頻譜密集成為連續(xù)譜。同時，各頻率分量的幅度也都趨近于無窮小，但這些無窮小量仍保持一定比例關(guān)系。（例：與）為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念（思路：無窮小/無窮小或無窮小*無窮大）。令：稱為頻譜密度函數(shù)（含義在后面解釋）。*一.傅里葉變換714.4非周期信號的頻譜

當(dāng)時，有：式(b)*式(a)【】724.4非周期信號的頻譜

術(shù)語：式(b)為非周期函數(shù)的傅里葉變換。式(a)為頻譜密度函數(shù)的傅里葉逆變換。為的頻譜密度函數(shù)(頻譜函數(shù))。為的原函數(shù)。記號：*734.4非周期信號的頻譜

奇偶性：（前提：為實函數(shù)）的偶函數(shù)的奇函數(shù)的偶函數(shù)的奇函數(shù)744.4非周期信號的頻譜

傅里葉逆變換式的物理意義：根據(jù)奇偶性，有：【上式第二項為奇函數(shù)】754.4非周期信號的頻譜

上式表明，非周期信號可看作是由不同頻率的余弦“分量”所組成，它包含了頻率從零到無限大的一切頻率“分量”。各頻率分量的幅度為，為無窮小量。所以信號的頻譜（幅度譜）不能用各分量的幅度表示，改為用頻譜密度函數(shù)的幅度來表示，即：在某頻點處單位頻率的信號幅度?！締挝活l率的信號幅度無窮小頻率間隔】764.4非周期信號的頻譜

傅里葉變換的存在條件：需要說明，前面在推導(dǎo)傅里葉變換式的過程中并未遵循數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格步驟。數(shù)學(xué)證明指出，函數(shù)的傅里葉變換存在的充分條件是在無限區(qū)間內(nèi)絕對可積，即：。但注意該條件并非必要條件。當(dāng)引入廣義函數(shù)的概念后，許多不滿足絕對可積分條件的函數(shù)（例：）也能進(jìn)行傅里葉變換。這給信號與系統(tǒng)的分析帶來了很大的方便。774.4非周期信號的頻譜

例4.4-1如圖所示為門函數(shù)（或稱矩形脈沖），用符號表示，其寬度為，高度為1。求其頻譜函數(shù)。解：784.4非周期信號的頻譜

*注意：如果為實函數(shù)或虛函數(shù)，幅度譜和相位譜可表示在一張圖上。2.門函數(shù)的帶寬定義為。794.4非周期信號的頻譜

例4.4-2

求下圖所示的單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)()。解：804.4非周期信號的頻譜

例4.4-3

求下圖所示的雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)()。解：814.4非周期信號的頻譜

例4.4-4

求下圖所示信號的頻譜函數(shù)()。解：824.4非周期信號的頻譜

二.某些特殊函數(shù)的傅里葉變換（

等）1.沖激函數(shù)的頻譜即單位沖激函數(shù)的頻譜是常數(shù)1，如下圖所示。其頻譜密度在區(qū)間處處相等，常稱為“均勻譜”或“白色頻譜”。*834.4非周期信號的頻譜

2.沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù)的頻譜按沖激函數(shù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)：【第一章的性質(zhì)】類似可得：*【】844.4非周期信號的頻譜

3.單位直流信號的頻譜幅度等于1的直流信號可表示為：顯然，該信號并不滿足絕對可積條件。854.4非周期信號的頻譜

當(dāng)時，有：*【分子分母同除以】【】思考：與哪個函數(shù)的特點相同？864.4非周期信號的頻譜

4.符號函數(shù)的頻譜符號函數(shù)定義為：顯然，該信號并不滿足絕對可積條件。874.4非周期信號的頻譜

當(dāng)時，有：【】但884.4非周期信號的頻譜

5.階躍函數(shù)的頻譜階躍函數(shù)定義為：不滿足絕對可積。=+894.4非周期信號的頻譜

總結(jié)：

附錄四列出常用函數(shù)的傅里葉變換。（教材P414）904.5傅里葉變換的性質(zhì)

4.5傅里葉變換的性質(zhì)任一信號可以有兩種描述方法：時域的描述頻域的描述本節(jié)將研究在某一域中對函數(shù)進(jìn)行某種運(yùn)算（如：尺度變換、平移等），在另一域中所引起的效應(yīng)。為簡便起見，用表示二者間關(guān)系，即：914.5傅里葉變換的性質(zhì)

一.線性性質(zhì)若，，則：證明過程略。物理意義：1.齊次性2.可加性924.5傅里葉變換的性質(zhì)

二.奇偶性【部分內(nèi)容前面已討論】本性質(zhì)研究實時間函數(shù)與其頻譜的奇、偶、虛、實關(guān)系。934.5傅里葉變換的性質(zhì)

若是實時間函數(shù)，則頻譜函數(shù)的實部是的偶函數(shù)，是的奇函數(shù)，是的偶函數(shù)，是的奇函數(shù)。2.若是實偶函數(shù)，則，且有：因此，也為實偶函數(shù)（關(guān)于的函數(shù)）。3.若是實奇函數(shù)，則，且有：因此，為虛奇函數(shù)（關(guān)于的函數(shù)）。944.5傅里葉變換的性質(zhì)

4.的傅里葉變換令得，*若是實函數(shù)，則是的偶函數(shù)，是的奇函數(shù)。954.5傅里葉變換的性質(zhì)

總結(jié)一若是實函數(shù)，且設(shè)則有：(1)(2)如,則實奇虛奇(3)如，則實偶實偶偶函數(shù)奇函數(shù)964.5傅里葉變換的性質(zhì)

(1)(2)總結(jié)二若是虛函數(shù)，則有：（自己下去證明）如,則虛奇實奇(3)如，則虛偶虛偶偶函數(shù)奇函數(shù)974.5傅里葉變換的性質(zhì)

三.對稱性若，則有：。*將換為，得：將和互換，得：證：即：984.5傅里葉變換的性質(zhì)

例如：令，得：解：已知。例4.5-1

求取樣函數(shù)的頻譜函數(shù)。994.5傅里葉變換的性質(zhì)

例4.5-2

求函數(shù)和的頻譜函數(shù)。解：已知已知【為

奇函數(shù)】1004.5傅里葉變換的性質(zhì)

四.尺度變換含義：若信號在時間坐標(biāo)上壓縮（或擴(kuò)展）到原來的，那么其頻譜函數(shù)在頻率坐標(biāo)上將展寬（或壓縮）至

倍，同時其幅度變?yōu)樵瓉淼?。若，則有：。*例：1014.5傅里葉變換的性質(zhì)

時域壓縮頻域擴(kuò)展時域擴(kuò)展頻域壓縮例：1024.5傅里葉變換的性質(zhì)

令，則。當(dāng)時，有：當(dāng)時，有：特例：證：1034.5傅里葉變換的性質(zhì)

五.時移特性若，則有：。*含義：在時域中，信號沿時間軸右移（或左移），其在頻域中所有頻域分量相應(yīng)落后（或超前）一相位，而其幅度保持不變。思考：證：*1044.5傅里葉變換的性質(zhì)

例4.5-3

已知圖(a)的函數(shù)是寬度為2的門函數(shù)，即：，其傅里葉變換。求圖(b)和(c)中函數(shù)和的傅里葉變換。(a)(b)(c)1054.5傅里葉變換的性質(zhì)

解：(1)(2)或利用：可得相同結(jié)果。P1121064.5傅里葉變換的性質(zhì)

例4.5-4如圖所示，有5個相同的脈沖，其相鄰間隔為，求其頻譜函數(shù)。解：設(shè)位于坐標(biāo)原點的單個脈沖表示式為，其頻譜為，則圖中的信號可表示為：顯然有：1074.5傅里葉變換的性質(zhì)

根據(jù)等比數(shù)列求和公式（教材P100），有：對上式進(jìn)行化簡，可得：1084.5傅里葉變換的性質(zhì)

顯然，當(dāng)時，有：另外，當(dāng)(為整數(shù)，但不為5的倍數(shù))時，有：【】即：在處，是的5倍。這是由于在這些頻率點處，5個單個脈沖的各頻率分量同向?！玖睢?094.5傅里葉變換的性質(zhì)

(為整數(shù)，但不為5的倍數(shù))信號的能量將向處集中，其它頻率處幅度減小，甚至為零（如：、、、等處）。1104.5傅里葉變換的性質(zhì)

推廣到一般情況（脈沖個數(shù)為，且為奇數(shù)），有：(為整數(shù)，但不為N的倍數(shù))當(dāng)時，信號演變?yōu)橹芷谛盘枺矣腥缦乱?guī)律：除的頻率外，其它頻率分量的幅度均為零。即：連續(xù)譜離散譜。（解釋：例如0和間間隔個幅度為零的頻率點）1114.5傅里葉變換的性質(zhì)

六.頻移特性（調(diào)制特性）若，則有：。*含義：將信號乘以因子，對應(yīng)于將頻譜函數(shù)沿軸右移；將信號乘以因子，對應(yīng)于將頻譜函數(shù)沿軸左移。證：1124.5傅里葉變換的性質(zhì)

例：

求解正、余弦函數(shù)的傅里葉變換。根據(jù)頻移性質(zhì)，可得：根據(jù)歐拉公式，可得：1130t1f

(t)=cos0t0-00F(j)(b)正弦脈沖及其頻譜0t1f

(t)=sin0t-X()0-00(a)余弦脈沖及其頻譜4.5傅里葉變換的性質(zhì)

1144.5傅里葉變換的性質(zhì)

例4.5-5如已知信號的傅里葉變換為，求信號的傅里葉變換。解：頻移特性在通信系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛，如調(diào)幅，同步解調(diào)等都是在頻譜搬移基礎(chǔ)上實現(xiàn)的。實現(xiàn)頻譜搬移的原理如下圖所示：調(diào)制解調(diào)P118115調(diào)幅波（補(bǔ)充）電磁波的傳播導(dǎo)線空氣例：無線電廣播、電視塔、微波通信等。若采用無線傳輸，需要使用天線，天線所流過電流必須是高頻電流，原因是必須滿足：天線尺寸信號波長例：語音信號頻率若則4.5傅里葉變換的性質(zhì)

116將要發(fā)射的低頻信號搭載到高頻信號（稱為載波）上，然后通過天線發(fā)射出去的過程。所發(fā)射的信號稱為已調(diào)信號。（類比：人乘坐交通工具）調(diào)制：解調(diào)：在接收方，從已調(diào)信號中恢復(fù)出真正要傳送的低頻調(diào)制信號。（類比：人從交通工具中下來）4.5傅里葉變換的性質(zhì)

調(diào)幅：已調(diào)信號的幅度隨著調(diào)制信號幅度的變化而成正比例地變化。1174.5傅里葉變換的性質(zhì)

調(diào)制信號：載波信號：已調(diào)信號：從時域上看，已調(diào)信號的幅度隨著調(diào)制信號幅度的變化而變化。若，則：從頻域上看，頻譜搬移。調(diào)制過程1184.5傅里葉變換的性質(zhì)

調(diào)制過程1194.5傅里葉變換的性質(zhì)

載波信號：解調(diào)后輸出：已調(diào)信號：濾波后輸出：解調(diào)過程1204.5傅里葉變換的性質(zhì)

解調(diào)過程1214.5傅里葉變換的性質(zhì)

七.卷積定理若：則：時域卷積定理：頻域卷積定理：若：則：其中：1224.5傅里葉變換的性質(zhì)

證：根據(jù)卷積積分的定義，有：【交換積分次序】【時移特性】頻域卷積定理的證明過程類似，略。1234.5傅里葉變換的性質(zhì)

例4.5-6求三角形脈沖的頻譜函數(shù)。*=（自己下去驗證）1244.5傅里葉變換的性質(zhì)

*=1254.5傅里葉變換的性質(zhì)

例4.5-7求斜升函數(shù)和函數(shù)的頻譜函數(shù)。解：已知且有【是

奇函數(shù)】【卷積的微積分性質(zhì)】1264.5傅里葉變換的性質(zhì)

八.時域微分和積分設(shè)若，則有。*時域微分定理：時域積分定理：若，則有。*若，則。這里，。1274.5傅里葉變換的性質(zhì)

證：時域微分定理可證明如下：時域積分定理可證明如下：這兩個性質(zhì)經(jīng)常用來求某些復(fù)雜函數(shù)的傅里葉變換。即先將所求的函數(shù)求導(dǎo)(或積分)，求出其導(dǎo)數(shù)(或積分)的傅里葉變換,再利用積分(或?qū)?shù))性質(zhì)求出所求信號的頻譜?！痉磸?fù)利用左邊的性質(zhì)】1284.5傅里葉變換的性質(zhì)

什么時候應(yīng)用時域微積分性質(zhì)？微分性質(zhì)：當(dāng)直接計算某函數(shù)的傅里葉變換繁瑣，而其積分的傅里葉變換容易計算時，可應(yīng)用微分性質(zhì)。積分性質(zhì)：當(dāng)直接計算某函數(shù)的傅里葉變換繁瑣，而其導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換容易計算時，可應(yīng)用積分性質(zhì)。1294.5傅里葉變換的性質(zhì)

例4.5-8求三角形脈沖的頻譜函數(shù)。解：1304.5傅里葉變換的性質(zhì)

設(shè)，則有：【】1314.5傅里葉變換的性質(zhì)

利用積分性質(zhì)，可得：【】再次利用積分性質(zhì)，可得：【】1324.5傅里葉變換的性質(zhì)

例4.5-9求門函數(shù)的積分的頻譜函數(shù)。解：【】1334.5傅里葉變換的性質(zhì)

利用時域積分性質(zhì)時應(yīng)注意的條件：但要注意，對某些函數(shù)，雖然有，但有可能存在：這是因為：最終有：*當(dāng)欲求某函數(shù)的傅里葉變換時，?？筛鶕?jù)其導(dǎo)數(shù)的傅里葉變換，利用積分特性求得。1344.5傅里葉變換的性質(zhì)

例4.5-10求圖(a)、(b)所示信號的傅里葉變換。解：圖(a)所示的函數(shù)可寫為：(a)(b)(c)【】1354.5傅里葉變換的性質(zhì)

圖(b)所示的函數(shù)可寫為：(a)(b)(c)【】1364.5傅里葉變換的性質(zhì)

九.頻域微分和積分設(shè)頻域微分定理：若，則有。*頻域積分定理：若，則有。*這里，。若，則。1374.5傅里葉變換的性質(zhì)

證：頻域微分定理可證明如下：即：?！尽俊緦ΨQ性】1384.5傅里葉變換的性質(zhì)

頻域積分定理可證明如下：1394.5傅里葉變換的性質(zhì)

什么時候應(yīng)用頻域微積分性質(zhì)？（第一種情況）微分性質(zhì)：當(dāng)直接計算的傅里葉逆變換繁瑣，而其積分的傅里葉逆變換易計算時，可應(yīng)用微分性質(zhì)。積分性質(zhì)：當(dāng)直接計算的傅里葉逆變換繁瑣，而其導(dǎo)數(shù)的傅里葉逆變換易計算時，可應(yīng)用積分性質(zhì)。1404.5傅里葉變換的性質(zhì)

利用頻域積分性質(zhì)時應(yīng)注意的條件：當(dāng)欲求的逆傅里葉變換時，?？筛鶕?jù)其導(dǎo)數(shù)的逆變換，利用積分特性求得。但要注意，對某些函數(shù)，雖然有，但有可能存在：這是因為：【】最終有：*1414.5傅里葉變換的性質(zhì)

什么時候應(yīng)用頻域微積分性質(zhì)？(第二種情況，更常用)微分性質(zhì)：當(dāng)已知，可計算出：…積分性質(zhì)：當(dāng)已知，可計算出：…1424.5傅里葉變換的性質(zhì)

例4.5-11求斜升函數(shù)的傅里葉變換。解：單位階躍信號及其頻譜函數(shù)為由式，可得：【令】1434.5傅里葉變換的性質(zhì)

例4.5-12求函數(shù)的傅里葉變換。解：令根據(jù)頻域積分特性有：【】1444.5傅里葉變換的性質(zhì)

利用傅里葉（逆）變換求解類似或思路：將表達(dá)式湊成某（逆）傅里葉變換已知的函數(shù)在某點處的函數(shù)值。即：或：1454.5傅里葉變換的性質(zhì)

例4.5-13求。解：解題思路是將表達(dá)式湊成某（逆）傅里葉變換已知的函數(shù)在某點處的函數(shù)值。即：令設(shè)，可得：【若，積分上限為】1464.5傅里葉變換的性質(zhì)

令，可得：。即：。1474.5傅里葉變換的性質(zhì)

十.相關(guān)定理相關(guān)定理研究的是兩個實信號相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換與各信號的傅里葉變換之間的關(guān)系。若：則：證：根據(jù)第二章中的結(jié)論，有：同理，可證明。1484.5傅里葉變換的性質(zhì)

以上兩個式子表明，兩個信號互相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于其中一個信號的傅里葉變換與另一個信號傅里葉變換的共軛之乘積。對于自相關(guān)函數(shù)，即，則有：即:自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換等于原信號幅度譜的平方。總結(jié)：本節(jié)學(xué)習(xí)了線性、奇偶性、對稱性、尺度變換、時移特性、頻移特性、卷積定理、時域微積分、頻域微積分、相關(guān)定理等性質(zhì)（教材P161）。巧妙利用這些性質(zhì)，可大大簡化計算。1494.6能量譜和功率譜

4.6能量譜和功率譜前面研究的頻譜是在頻域中描述信號特征的方法之一。它反映了信號所含分量的幅度和相位隨頻率的分布情況。此外，還可以用能量譜或功率譜來描述信號。特別是對于隨機(jī)信號，由于無法用確定的時間函數(shù)來表示，也就不能用頻譜表示。這時，往往用功率譜來描述它的頻域特性。一.能量譜信號能量：若，則稱信號為能量有限信號?！緦嵭盘枴?504.6能量譜和功率譜

接下來研究實信號能量和頻譜函數(shù)間的關(guān)系?！窘粨Q積分次序】帕斯瓦爾方程1514.6能量譜和功率譜

也可以從頻域的角度來研究信號能量。為表征能量在頻域中的分布情況，可借助密度的概念，定義能量密度函數(shù)，簡稱為能量譜。能量譜：單位頻率的信號能量（能量密度）。*(3)。(2)能量譜反映信號能量在頻域的分布。(1)能量譜是的偶函數(shù)，且只取決于幅度譜?！緦τ谀芰啃盘柖浴刻攸c：1524.6能量譜和功率譜

二.功率譜信號（平均）功率：若，則稱信號為功率有限信號。功率有限信號的能量。為計算傅里葉變換，截取中的一段。設(shè)：【實信號】1534.6能量譜和功率譜

的能量可表示為：功率譜：單位頻率的平均功率?！尽?54(1)功率譜是的偶函數(shù)，且只取決于幅度譜。(2)功率譜反映了信號平均功率在頻域的分布情況。(3)?！咀⒁饽芰?功率信號之分】4.6能量譜和功率譜

特點：證：對于功率信號，自相關(guān)函數(shù)定義為：【注意與第二章中能量信號定義不同】【時，有

】155例4.6-1如圖所示RC低通電路，已知輸入端電壓

,輸出為電容兩端電壓。求：(1)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜。(2)輸出的功率譜，自相關(guān)函數(shù)和平均功率。4.6能量譜和功率譜

1564.6能量譜和功率譜

思路：【注意是功率信號】(1)(2)由由類似地，可推導(dǎo)出：【即由

可求】157解：(1)4.6能量譜和功率譜

【

為奇函數(shù)】158(2)4.6能量譜和功率譜

1594.6能量譜和功率譜

1604.7周期信號的傅里葉變換

4.7周期信號的傅里葉變換在前面討論周期信號的傅里葉級數(shù)和非周期信號的傅里葉變換基礎(chǔ)上，本節(jié)將討論周期信號的傅里葉變換，以及傅里葉級數(shù)與傅里葉變換之間的關(guān)系。這樣，就能把周期信號與非周期信號的分析方法統(tǒng)一起來，使傅里葉變換的應(yīng)用范圍更加廣泛。一.周期函數(shù)傅里葉變換的求解方法二.傅里葉級數(shù)與傅里葉變換的關(guān)系主要內(nèi)容：1614.7周期信號的傅里葉變換

一.周期函數(shù)傅里葉變換的求解方法方法一：設(shè)有周期為的周期函數(shù)*1624.7周期信號的傅里葉變換

*含義：上式表明，周期信號的傅里葉變換（或頻譜密度函數(shù)）由無窮多個沖激函數(shù)組成，這些沖激函數(shù)位于信號的各諧波角頻率處，其強(qiáng)度為各相應(yīng)幅度的倍。例4.7-1求周期性矩形脈沖信號的頻譜函數(shù)。解：1634.7周期信號的傅里葉變換

傅里葉級數(shù)傅里葉變換1644.7周期信號的傅里葉變換

例4.7-2求周期性單位沖激函數(shù)序列的頻譜函數(shù)。*解：利用傅里葉系數(shù)公式1654.7周期信號的傅里葉變換

方法二：從周期信號中任意截取其中一個周期的信號，令其為。則有：*根據(jù)時域卷積定理，有：1664.7周期信號的傅里葉變換

例4.7-3求例4.7-1中周期脈沖的頻譜函數(shù)。當(dāng)取的不同周期時，對的計算結(jié)果有無影響？思考：沒有影響。設(shè)，則有：。解：1674.7周期信號的傅里葉變換

二.傅里葉系數(shù)與傅里葉變換的關(guān)系*上式表明傅里葉變換的許多性質(zhì)也適用于傅里葉級數(shù)，同時還提供了求周期信號傅里葉系數(shù)的另一種方法。方法1：方法2：1684.7周期信號的傅里葉變換

例4.7-4求如圖所示的周期信號指數(shù)型傅里葉級數(shù)的系數(shù)。解：結(jié)果已知1694.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析前面討論了信號的傅里葉分析，本節(jié)將研究系統(tǒng)的激勵與響應(yīng)在頻域中的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，再討論任意信號作用于系統(tǒng)所引起的響應(yīng)，得出響應(yīng)的頻域求解方法，并引出頻域中反映系統(tǒng)特性的函數(shù)–––

頻率響應(yīng)。一.頻率響應(yīng)及頻域分析法傅里葉分析是將信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和，因此首先討論單一的虛指數(shù)函數(shù)作用于LTI系統(tǒng)引起的響應(yīng)(零狀態(tài)響應(yīng))。1704.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

1.虛指數(shù)函數(shù)作用于系統(tǒng)所引起的響應(yīng)設(shè)，系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為。即：。其中：一個虛指數(shù)函數(shù)作用于LTI系統(tǒng)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)仍然是同頻率的虛指數(shù)函數(shù)，只是幅度和相位上發(fā)生了變化。實質(zhì)：1714.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

2.當(dāng)輸入為任意信號時的響應(yīng)當(dāng)激勵為任意信號時，由傅里葉逆變換式可得：根據(jù)線性性質(zhì)，可得：因此，有：*1724.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

3.頻率響應(yīng)的定義頻率響應(yīng)（頻率響應(yīng)函數(shù)，系數(shù)函數(shù)）定義為系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的傅里葉變換與激勵的傅里葉變換之比，即：幅頻響應(yīng)相頻響應(yīng)偶函數(shù)奇函數(shù)1734.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

系統(tǒng)特性的表征系統(tǒng)微分方程框圖沖激響應(yīng)頻率響應(yīng)…174例4.8-1某LTI系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)如下圖所示。若系統(tǒng)的激勵，求系統(tǒng)的響應(yīng)。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

4.頻域分析法時域分析法：頻域分析法：解：將展開成傅里葉級數(shù)的基波角頻率方法一1754.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

傅里葉系數(shù)1764.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

取的傅里葉變換，可得：方法二1774.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

結(jié)果分析：直流分量一次諧波二次諧波直流分量：完全通過。一次諧波：幅度減半，滯后。二次諧波：完全濾除。1784.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

例4.8-2描述某系統(tǒng)的微分方程為求輸入時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：對方程取傅里葉變換，得：1794.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

例4.8-3如圖所示的電路，若激勵電壓源為單位階躍函數(shù)，求電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)。解：【令】【分子、分母

同乘】1804.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

181例4.8-4如圖所示的系統(tǒng)，已知乘法器的輸入信號分別為，乘積通過頻率響應(yīng)為4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

的濾波器，求輸出。解：1824.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

利用傅里葉變換的對稱性，可得：又有：1834.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

可轉(zhuǎn)換為：1844.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

二.無失真?zhèn)鬏斔^無失真?zhèn)鬏斒侵篙敵雠c輸入相比，只有幅度上以及出現(xiàn)時間上的先后不同，而沒有波形上的變化。思考：LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)應(yīng)滿足什么條件，才能實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏斝盘枺?854.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

結(jié)論：幅頻響應(yīng)為常數(shù)（理想情況）相頻響應(yīng)為一條過原點的直線一般對限帶信號而言，只要在信號有限帶寬內(nèi)滿足該條件即可實現(xiàn)無失真?zhèn)鬏?。實際：多為低通/高通/帶通/帶阻等；幅頻響應(yīng)有波紋。1864.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

三.理想低通濾波器截止頻率：通帶：阻帶：注意：與無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻率響應(yīng)進(jìn)行區(qū)分。1874.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

1.沖激響應(yīng)令并同除以，可得：輸出峰值時刻推遲了。輸出出現(xiàn)在輸入之前。特點：【對稱性】1884.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

2.階躍響應(yīng)令，則有：【設(shè)】【】正弦積分1894.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

以下討論：(1)信號上升時間(2)吉布斯現(xiàn)象(3)最大值(4)因果性1904.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

由上圖可見，在處階躍響應(yīng)上升最快【此時的導(dǎo)數(shù)值最大】，若定義上升時間為在處斜率的倒數(shù)，則上升時間為：結(jié)論：濾波器的通帶愈寬，即截止頻率愈高，其階躍響應(yīng)上升時間愈短，波形愈陡峭?！驹O(shè)表示濾波器帶寬】當(dāng)從某信號的傅里葉變換恢復(fù)或逼近（如：用的不同頻率成分逼近）原信號時，若原信號有間斷點，則在各間斷點處，恢復(fù)信號將出現(xiàn)過沖，稱為吉布斯現(xiàn)象。1914.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

(3)結(jié)論：與濾波器的帶寬無關(guān)。增大濾波器的通帶，不能減小過沖的幅度，僅能使其更靠近處。(4)理想低通是非因果的，是物理不可實現(xiàn)的。雖然理想低通濾波器是物理不可實現(xiàn)的。但傳輸特性接近于理想特性的電路卻不難構(gòu)成。(教材P180)【此時有：】192要求：幅頻特性不能在有限頻帶內(nèi)為零。4.8LTI系統(tǒng)的頻域分析

判斷系統(tǒng)是否物理可實現(xiàn)的依據(jù)：時域:頻域:佩利