第四章 定量資料的統(tǒng)計描述

變量類型定量變量定性變量無序分類有序分類:如血清反應,治療效果等二項分類:如生死,有效無效等多項分類:如血型,職業(yè)特征等連續(xù)型變量:如:身高,體重離散型變量:如子女數(shù),脈搏數(shù)1資料辨認病例號年齡身高血型心電圖尿WBC產(chǎn)前檢查次數(shù)職業(yè)1351.65A正常－0教師2441.74B正常－3工人3261.80O正常＋2職員4251.61AB正常＋1農(nóng)民5411.71A異常++5工人6451.58B正常++6工人7501.60O異常++3干部8281.76AB正常+++2干部9311.62O正常＋3軍人2統(tǒng)計分析的內(nèi)容統(tǒng)計描述：是用統(tǒng)計表、統(tǒng)計圖、統(tǒng)計指標來描述資料的分布規(guī)律及其數(shù)量特征。▲

把握資料的基本特征;▲

為統(tǒng)計推斷打下基礎(chǔ)。統(tǒng)計推斷：在醫(yī)學科學研究中通常應用抽樣研究的方法，即對總體中隨機抽取的部分觀察單位(樣本)進行研究，然后用樣本信息推斷總體特征，即統(tǒng)計推斷。3

第四章

定量資料的統(tǒng)計分析

4第一節(jié)頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖

第二節(jié)

集中趨勢的統(tǒng)計描述

第三節(jié)離散趨勢的統(tǒng)計描述

第四節(jié)正態(tài)分布及其應用本章內(nèi)容第一節(jié)頻數(shù)分布表和

頻數(shù)分布圖一、頻數(shù)分布表二、頻數(shù)分布圖6一、頻數(shù)分布表

對一個隨機現(xiàn)象進行重復觀察，其中某變量值（隨機事件）出現(xiàn)的次數(shù)被稱作頻數(shù)（frequency）。

把變量值及相對應的頻數(shù)列成表格即頻數(shù)分布表,簡稱頻數(shù)表（frequencytable）。

7連續(xù)性變量的頻數(shù)表的編制

例4.2在某市2005年進行的小學生體質(zhì)評價研究中，測定了120名9歲男孩的肺活量(L)，資料如下，根據(jù)該資料制作頻數(shù)表。1.7061.3261.6321.8762.1611.6841.5331.1751.8671.6762.0911.8471.2131.2770.989

2.2351.6651.2891.7241.5481.6081.8901.7331.7961.2031.7361.4501.6331.5551.352…1.2911.7961.6471.4151.8730.9961.9361.5261.4241.5891.6701.0561.9691.4812.4062.1231.9881.5121.0301.8861.9301.7251.3741.6541.6631.4381.6451.2141.1841.735你能看出資料有什么規(guī)律？89編制步驟：①確定全距（range）

全部觀察值中最大值與最小值之差，用符號R表示。又稱極差。本例極差：R=2.406-0.980=1.417(L)。1.7061.3261.6321.8762.1611.6841.5331.1751.8671.6762.0911.8471.2131.2770.989

2.2351.6651.2891.7241.5481.6081.8901.7331.7961.2031.7361.4501.6331.5551.352…1.2911.7961.6471.4151.8730.9961.9361.5261.4241.5891.6701.0561.9691.4812.4062.1231.9881.5121.0301.8861.9301.7251.3741.6541.6631.4381.6451.2141.1841.735R=2.406-0.980=1.417(L)②劃分組段

確定組數(shù)：觀察單位及其全距定:本例11確定組距：等距分組，組距＝R/組數(shù)。本例i=R=1.417/11=0.129≈0.130確定各組段上下限：每組段的起點稱為該組的下限(lowlimit)，終點稱為上限(upperlimit)。第一組段必須包含最小值。最后一個組段上限必須包含最大值。③統(tǒng)計各組頻數(shù)采用計算機或手工劃記匯總，得到各組段相應的頻數(shù)。根據(jù)這些數(shù)據(jù)編制成的頻數(shù)表能顯示出這組數(shù)據(jù)分布的特征11二、頻數(shù)分布圖

以觀測變量為橫軸，頻數(shù)(或頻率)為縱軸所作的直方圖，稱為頻數(shù)分布圖。橫軸依次以等距標出各組段的起點，在各組段上方分別繪制寬度等于組距、高度等于相應頻數(shù)的長方形。用途與頻數(shù)表類似，但更直觀、形象。

12圖4.12005年某市120名9歲男孩肺活量頻數(shù)分布

131）頻數(shù)分布特征集中趨勢(centraltendency)一組數(shù)據(jù)向某一個位置聚集或集中的傾向。例如本例，肺活量有大有小，但中等居多，此為集中趨勢。離散程度(dispersion)：一組數(shù)據(jù)的分散性或變異度。離“中心”位置越遠，頻數(shù)越小；即少數(shù)人具有較大或較小的肺活量，表現(xiàn)了肺活量分布的離散趨勢。14集中趨勢：高峰組段的位置離散趨勢：觀察值的分布范圍152）頻數(shù)分布的類型對稱分布：集中位置在正中，左右兩側(cè)大體對稱。偏態(tài)分布：集中位置偏向一側(cè)，頻數(shù)分布不對稱。

正偏態(tài)分布*分布類型不同，采用的統(tǒng)計方法不同負偏態(tài)分布負偏態(tài)分布16頻數(shù)分布高峰（集中位置）位于中部、兩邊低、左右對稱。1.對稱分布：實例18是否為對稱分布？19圖4.22004年我國麻疹患者的年齡分布2.正偏態(tài)分布：集中位置偏向數(shù)值小的一側(cè)，高峰偏于左側(cè)，長尾向右延伸。20表4-2115名正常成年女子血清轉(zhuǎn)氨酶（mmol/L）含量分布

21圖4.3某市219名乳腺癌患者術(shù)后康復期生存質(zhì)量評分的分布

頻數(shù)評分集中位置偏向數(shù)值大的一側(cè)，高峰偏于右側(cè)，長尾向左延伸。3.負偏態(tài)分布：22表4-3101名正常人的血清肌紅蛋白含量分布23（三）頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布圖的用途1.反映頻數(shù)分布的兩個重要特征；集中趨勢:變量值的中心數(shù)值或中心位置所在。離散趨勢:變量值圍繞中心數(shù)值或中心位置的分布情況。2.揭示資料的分布類型；

對稱分布：頻數(shù)分布高峰位于中部；偏態(tài)分布：高峰偏于一側(cè)。3.便于發(fā)現(xiàn)某些特大或特小的可疑值；4.便于進一步計算指標和統(tǒng)計分析處理。24

4．便于進一步做統(tǒng)計分析和處理25第二節(jié)、集中趨勢的描述

描述一組同質(zhì)觀察值的平均水平或中心位置的常用的指標有算術(shù)均數(shù)、幾何均數(shù)、中位數(shù)等。261、算術(shù)均數(shù),mean適用條件：單峰對稱分布，特別是正態(tài)或近似正態(tài)分布的定量資料。符號：表示樣本均數(shù)，希臘字母表示總體均數(shù)。27計算方法：

（1）直接法（小樣本）28如：7名正常女子血清總膽固醇（mmol/L）分別為：4.21，3.32，5.35，4.17，4.14，3.58，4.34。試計算其平均數(shù)。例4.3：例4.2某市2005年120名9歲男孩的肺活量(L)的平均數(shù)29（2）頻數(shù)表法（加權(quán)法）

當觀察值個數(shù)較多時，可先把原始資料分組，列出頻數(shù)表，計算均數(shù)時將各組頻數(shù)乘以相應組的組中值，逐個相加求和，除以總例數(shù)。X1,X2,,Xk：頻數(shù)表資料中各組段的組中值；f1,f2,,fk：相應組段的頻數(shù)。30表4.2120名9歲男孩肺活量均數(shù)的計算肺活量組段（1）頻數(shù)f（2）組中值x

（3）

fx(4)=(2)(3)0.980~51.0455.2251.110~51.1755.8751.240~71.3109.1701.370~141.43520.091.500~191.56529.735............31

均數(shù)的應用范圍及條件：1.均數(shù)反映一組同質(zhì)觀察值的平均水平，并可作為樣本的代表值與其他樣本進行比較。2.均數(shù)適用于單峰對稱分布，尤其是正態(tài)分布資料，這時均數(shù)位于分布的中央，能反映觀察值的集中趨勢，即其平均水平。也可用于近似正態(tài)分布。32適用于數(shù)據(jù)經(jīng)過對數(shù)變換后呈正態(tài)分布的資料，也可用于觀察值之間呈倍數(shù)或近似倍數(shù)變化（等比關(guān)系）的資料。如醫(yī)學實驗中的抗體滴度；食品中農(nóng)藥含量；疾病的潛伏期等。計算方法有：直接法和頻數(shù)表法。2、幾何均數(shù)，geometricmean，G33直接法由原始變量值直接計算幾何均數(shù)。設變量值為X1,X2…Xn，幾何均數(shù)G為：34例

有5份血清的滴度為1:4，1:8，1:16，1:32，1:64，求平均滴度？

該5份血清的平均滴度為1:16。

352.頻數(shù)表法(加權(quán)法)當資料中出現(xiàn)相同觀察值的個數(shù)較多時，或資料為頻數(shù)表資料，則用加權(quán)法計算幾何均數(shù)。變量及頻數(shù)如下：X1，X2，…Xk

f1

，

f2，…fk

則幾何平均數(shù)G為：

36應用注意事項：適用資料：①經(jīng)對數(shù)變換后呈正態(tài)或近似正態(tài)分布的資料；②用于等比資料；注意：根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)：零與負數(shù)沒有對數(shù)1）變量值不能有0；2）變量值不能同時有正值與負值。37一組觀察值從小到大排列，位次居中的觀察值即中位數(shù)，是一個位置指標。符號：P50

或M3.中位數(shù)（median）

38中位數(shù)計算方法直接法：將觀察值由小到大排列，按下式計算。39例某病患者9名，其發(fā)病的潛伏期（天）為：3，4，4，5，6，7，7，9，>11，求中位數(shù)。本例n=9，為奇數(shù)，按式（4.6）得：（天）若在該例基礎(chǔ)上再繼續(xù)觀察，在又發(fā)現(xiàn)1例患者>11天，則n=10，為偶數(shù)，按式（4.7）得：＝（X5+X6）/2=（6+7）/2=6.5（天）40（2）頻數(shù)表法

L為P50所在下限；i為該組的組距；fM

為該組頻數(shù)；

為比該組段略小的組段的累計頻數(shù)。41

百分位數(shù)示意圖附：百分位數(shù)（percentile）:P25P75位置參數(shù)42公式：

43P25＝1.37+0.13x[(120x25%－17)/14]＝1.49P75＝1.76+0.13x[(120x75%－79)/15]＝1.86P50＝1.63+0.13x[(120x50%－50)/29]＝1.6744①計算累計頻數(shù)和累計頻率(%)；②確定M所在組段；③根據(jù)公式計算。計算步驟45評分頻數(shù)累計頻數(shù)累計頻率(%)頻率范圍

0~220.910~0.9130~241.830.92~1.8340~373.201.84~3.2050~11188.223.21~8.2260~304821.928.23~21.9270~6311150.6821.93~50.6880~6017178.0850.69~78.0890~10048219100.0078.09~100.0表4.4219名乳腺癌患者康復期生存質(zhì)量評分例4.8為研究乳癌患者術(shù)后康復期生存質(zhì)量，某醫(yī)院對219名術(shù)后康復期乳癌患者進行了生存質(zhì)量測定，結(jié)果如表4.4，求平均評分。M=70+10/63（219×50%-48

）=79.76(分)

46平均數(shù)應用的注意事項

同質(zhì)的資料計算平均數(shù)才有意義根據(jù)資料的分布類型選用適當?shù)钠骄鶖?shù)均數(shù)：單峰對稱分布的資料，特別是正態(tài)分布幾何均數(shù)：等比級數(shù)資料、對數(shù)正態(tài)分布資料中位數(shù)：理論上可用于任何分布資料，但當資料適合計算均數(shù)或幾何均數(shù)時，不宜用中位數(shù)。（偏態(tài)分布、分布不明資料、有不確定值的資料）47第三節(jié)、離散程度的描述

集中趨勢是數(shù)據(jù)分布的一個重要特征，但單有集中趨勢指標還不能很好地描述數(shù)據(jù)的分布規(guī)律。而且還要看數(shù)據(jù)的變異散程度。48盤編號甲乙丙14404804902460490495350050050045405105055560520510合計250025002500均數(shù)500500500例：采甲、乙、丙三人的耳垂血，然后進行紅細胞計數(shù)，每人數(shù)5個計數(shù)盤，得結(jié)果如下（萬/mm3）甲乙丙離散程度：反映一群變量值的變異程度或參差不齊的程度?！綦x散程度大，均數(shù)的代表性差，◆離散程度小，均數(shù)的代表性好。50常用的指標（1）極差（range）（2）四分位數(shù)間距（quartileinterval）（3）方差和標準差（varianceandstandarddeviation）（4）變異系數(shù)（coefficientofvariation）511、極差/全距，range

R=Xmax-Xmin優(yōu)點：簡單明了缺點：1）只考慮最大值與最小值之差異，不能反映組內(nèi)其它觀察值的變異度2）樣本含量越大，抽到較大或較小觀察值的可能性越大，則全距可能越大，因此樣本含量懸殊時不宜用全距。522、四分位數(shù)間距，inter-quartilerange

常用于描述偏態(tài)分布資料、兩端無確切值或分布不明確資料的離散程度。

1）百分位數(shù)(percentile)：是指將觀察值從小到大排列后處于第x百分位置上的數(shù)值，亦是位置指標，用Px

表示。Px

表示將全部觀察值分為兩部分，有x%的觀察值比Px

小，有(100–x)

%的觀察值比Px

大。P50

即中位數(shù)。532）四分位數(shù)(quartile,Q)：特定的百分位數(shù)，把一組觀察值分為四等份。下四分位數(shù)：QL=P25上四分位數(shù)為：QU=P75四分位數(shù)間距：QU－QL小大P0P25

P50

P75

P100QLQUM54表4.4219名乳腺癌患者康復期生存質(zhì)量評分P75=QU=80+10/60（219×75%-111）=88.88（分)Q=QU－QL=88.88-71.07=17.81P25=QL=70+10/63（219×25%-48）=71.07（分)例4.13評分頻數(shù)累計頻數(shù)累計頻率(%)頻率范圍

0~220.910~0.9130~241.830.92~1.8340~373.201.84~3.2050~11188.223.21~8.2260~304821.928.23~21.9270~6311150.6821.93~50.6880~6017178.0850.69~78.0890~10048219100.0078.09~100.00M=70+10/63（219×50%-48

）=79.76(分)

55四分位數(shù)間距越大，變量值的變異程度或離散程度越大；四分位數(shù)間距比極差穩(wěn)定，但仍未考慮每個觀察值的變異；四分位數(shù)間距常用于描述偏態(tài)分布資料、兩端無確切值或分布不明確資料的離散程度。四分位數(shù)間距的意義56例4.2在某市2005年進行的小學生體質(zhì)評價研究中，測定了120名9歲男孩的肺活量(L)，資料如下，根據(jù)該資料制作頻數(shù)表。1.7061.3261.6321.8762.1611.6841.5331.1751.8671.6762.0911.8471.2131.2770.989

2.2351.6651.2891.7241.5481.6081.8901.7331.7961.2031.7361.4501.6331.5551.352…1.2911.7961.6471.4151.8730.9961.9361.5261.4241.5891.6701.0561.9691.4812.4062.1231.9881.5121.0301.8861.9301.7251.3741.6541.6631.4381.6451.2141.1841.735P25＝1.37+0.13x[(120x25%－17)/14]＝1.49P75＝1.76+0.13x[(120x75%－79)/15]＝1.86R=2.406-0.980=1.417(L)四分位數(shù)間距=0.37(L)R=2.406-0.980=1.417(L)四分位數(shù)間距=0.37(L)57

為了衡量每個變量值的變異，先選擇一個數(shù)值作為比較標準；誰合適呢？均數(shù)最有代表性。

甲乙丙58３.方差和標準差為了全面考慮每個觀察值的變異情況，克服全距和四分位數(shù)間距的缺點，引入了“方差”59（１）方差，variance衡量每個觀察值相對均數(shù)的偏差，構(gòu)造出綜合描述資料離散程度的指標。方差說明觀察值的變異程度，方差越大，觀察值得變異程度較大，反之，觀察值得變異程度較小。60在實際工作中，總體均數(shù)μ往往是未知的，故只能用樣本均數(shù)作為總體均數(shù)μ的估計值，用樣本例數(shù)n代替N，這樣計算的結(jié)果通常比實際的σ2低。英國統(tǒng)計學家提出用n-1代替n來校正，這就是樣本方差s2

。式中的n-1稱為自由度（degreeoffreedom）是統(tǒng)計學中的一個常用術(shù)語，用υ表示。

61自由度例：有一個4個數(shù)據(jù)的樣本，在自由取值4、2、5三個數(shù)據(jù)后，第四個數(shù)據(jù)只能是962（２）標準差，standarddeviation因方差的度量單位是原度量單位的平方，故將方差開方，恢復成原度量單位，得總體標準差σ。標準差大，表示觀察值的變異度大；標準差小，表示觀察值的變異度小。63樣本標準差（s）：64例4-11三組同齡男孩的身高值(cm)

甲組：

65標準差的意義說明資料的離散趨勢(或變異程度)，標準差的值越大，說明變異程度越大，均數(shù)的代表性越差;...。標準差與原始數(shù)據(jù)的單位一致，在科技論文報告中，均數(shù)與標準差經(jīng)常被同時用來描述資料的集中趨勢與離散趨勢。66例4.17，某年某市城區(qū)120名5歲女孩身高均數(shù)為110.15(cm)，標準差為5.86(cm)；體重均數(shù)為17.71(kg)，標準差為1.44(kg)，比較其離散程度。身高體重

674.變異系數(shù)(coefficientofvariation，CV)（1）意義：標準差與均數(shù)之比，用百分數(shù)表示。變異系數(shù)是相對數(shù)，沒有單位。（2）適用條件：

①觀察指標單位不同，如身高、體重；

②同單位資料，但均數(shù)相差懸殊。（3）公式：例4.17，某年某市城區(qū)120名5歲女孩身高均數(shù)為110.15(cm)，標準差為5.86(cm)；體重均數(shù)為17.71(kg)，標準差為1.44(kg)，比較其離散程度。身高體重該市