19-20版 第3章 3.2 3.2.2 函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例

aa3.2.2學(xué)習(xí)目標(biāo)

函數(shù)模型的用實(shí)例核心素養(yǎng)1．會(huì)利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題．(重點(diǎn))2．能建立數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題．重點(diǎn)、難點(diǎn))3．了解擬合函數(shù)模型并解決實(shí)際問(wèn)題．(重點(diǎn))

通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)使學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)模型的作用，提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)1．常用數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型

y＝＋(k，為常數(shù)，k≠0)(2)二次函數(shù)模型

y＝2

＋＋ca，b，c常數(shù)，a≠0)常用函數(shù)模型

(3)指數(shù)函數(shù)模型(4)對(duì)數(shù)函數(shù)模型

y＝x＋ca，b，c為常數(shù)b≠0，a且a≠y＝logx＋n，a，n為常數(shù)，≠，a>0a≠(5)冪函數(shù)模型

y＝n

＋(，為常數(shù)，a≠0)(6)分段函數(shù)模型

＋b（x），y＝＋d（≥m）2.建立函數(shù)模型解決問(wèn)題的基本過(guò)程1/11

222222思考：解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟是什么？[示]行：

利用函數(shù)知識(shí)和函數(shù)觀點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題，般按以下幾個(gè)步驟進(jìn)一)題；二)建模；()模；四還原．這些步驟用框圖表示如圖：1．如表是數(shù)值隨自變量變化的一組數(shù)據(jù)，由此判斷它最可能的函數(shù)模型是()x568910y1719212327A．一次數(shù)模型C．指數(shù)函數(shù)模型

B．二次函數(shù)模型D．對(duì)數(shù)函數(shù)模型A[變量每增加1數(shù)值增加函數(shù)值的增量是均勻的故為一次函數(shù)模型．故選A.]2．某地為抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動(dòng)物已知該動(dòng)物的繁殖數(shù)量(只與引入時(shí)間x年)的關(guān)系為y＝ax＋若該動(dòng)物在引入一年后的數(shù)量為只，則第7年它們發(fā)展到()A．只C．600

B．D．700A[＝1＝100入＝a(x1)＝a(1a100.所以x7，y100log

2

(71)3．據(jù)調(diào)查某自行車存車處在某星期日的存車量為2000次，其中變速車存車費(fèi)是每輛一次元，普通車存車費(fèi)是每輛一次元，若普通車存車數(shù)為x次，存車費(fèi)總收入為y元，則y關(guān)于x的數(shù)關(guān)系式是()2/11

2h20a2h20aA．＝0.3＋800(0≤x≤2B．y＝0.3＋1≤≤2000)C．y＝－0.3＋≤≤2000)D．y＝－0.3x＋1≤2000)D[題意知，變速車存車數(shù)為(x輛次，總收入＝0.5x000－x×0.8－x1600(0x≤2000)]4．某汽車輸公司購(gòu)買了一批豪華大客車投入運(yùn)營(yíng)．據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車營(yíng)運(yùn)的利潤(rùn)y營(yíng)運(yùn)年數(shù)x∈N為二次函數(shù)關(guān)系(如圖)車有營(yíng)運(yùn)利潤(rùn)的時(shí)間不超過(guò)_．7

[二次函數(shù)＝a－6)

＋11又過(guò)點(diǎn)(，，所以＝－，即y－(－6)

＋11.解y≥0－≤x≤6營(yíng)運(yùn)利潤(rùn)的時(shí)間為又11<7，以有營(yíng)運(yùn)利潤(rùn)的時(shí)間不超過(guò)年．]利用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題【例1】物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來(lái)描述，設(shè)物體的t初始溫度是T，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間后的溫度是則T－T＝(－)×，其中a0aT表示環(huán)境溫度為半衰期一杯用℃熱水沖的速溶咖啡24℃的房間中，如果咖啡降溫到℃需要min，那么降溫到32℃時(shí)，需要多長(zhǎng)時(shí)間？[]

先設(shè)定半衰期h，題意知3/11

h2即＝，12123＝＝＝，h2即＝，12123＝＝＝，t30.22204024－24)，2014解之，得＝，故原式可化簡(jiǎn)為tT24(88－×，當(dāng)T時(shí)，代入上式得t3224－24)，即

t864因此，需要30min，降溫到32℃已知函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題往往給出的函數(shù)解析式含有參數(shù)需要將題中的數(shù)據(jù)代入函數(shù)模型求得函數(shù)模型中的參數(shù)再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)解析式求函數(shù)值或自變量的值．1.某種商品在近30內(nèi)每件的銷售價(jià)格P(元和時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系為：（0<）＝(t∈N*＋（25≤t≤30）.設(shè)該商品的日銷售量件)時(shí)間t(天)函數(shù)關(guān)系為＝40－(0<t≤30，t∈N*，求這種商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大是第幾天？[]

設(shè)日銷售金額為y元)，則yPQ，4/11

為mmm2時(shí)，y取得最大值＋m424為mmm2時(shí)，y取得最大值＋m424所以y

t＋8000<），140t00025≤30.

t∈N*①當(dāng)0<<25且t∈N*，＝－(－10)2900，所以當(dāng)t＝10，y＝900()②當(dāng)25≤≤t∈N*，y(t－70)

－900，所以當(dāng)t＝25，y＝元)．結(jié)合①②得ymax1125(．因此，這種商品日銷售額的最大值為125，在第25時(shí)日銷售金額達(dá)到最大.自建確定性函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題【例2】牧場(chǎng)中羊群的最大畜養(yǎng)量為m只，為保證羊群的生長(zhǎng)空間，實(shí)際畜養(yǎng)量不能達(dá)到最大畜養(yǎng)量必須留出適當(dāng)?shù)目臻e量已知羊群的年增長(zhǎng)量只和實(shí)際畜養(yǎng)量x與空閑率的乘積成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．寫出關(guān)于的函數(shù)解析式，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域．求羊群年增長(zhǎng)量的最大值．單調(diào)性思路點(diǎn)撥：畜養(yǎng)率→空率→yx間的函數(shù)關(guān)系→求最值[]

根據(jù)題意由于最大畜養(yǎng)量為m只實(shí)際畜養(yǎng)量為則畜養(yǎng)率xx，故空閑率為，由此可得ykxx)．k對(duì)原二次函數(shù)配方，＝－(

－mx＝－

km，即當(dāng)x

.1．(條件)將本例“與空閑率的乘積成正比”改為“與空閑率的乘積成5/11

mmk因?yàn)楫?dāng)xmmk因?yàn)楫?dāng)x時(shí)＋2424反比”又如何表示出關(guān)于x的函數(shù)解析式？[]

根據(jù)題，于最大畜養(yǎng)量為m只，際畜養(yǎng)量為x，畜養(yǎng)率為xx空閑率為1為羊群的年增長(zhǎng)量y和實(shí)際畜養(yǎng)量與空閑率的乘積成反比，由此可得＝xx

(0<xm2.(變結(jié)論)若本例條件不變當(dāng)羊群的年增長(zhǎng)量達(dá)到最大值時(shí)k的值范圍．[]

由題意知為給羊群留有一定的生長(zhǎng)空間，則有實(shí)際畜養(yǎng)量與年增長(zhǎng)量的和小于最大畜養(yǎng)量，即＋y<mmkm＝，所以0<<m解得－2<<2.因?yàn)?gt;0，所以0<k<2.自建模型時(shí)主要抓住四個(gè)關(guān)鍵：“求什么設(shè)什么，列什么，限制什么”．求什么就是弄清楚要解決什么問(wèn)題，完成什么任務(wù)．設(shè)什么就是弄清楚這個(gè)問(wèn)題有哪些因素誰(shuí)是核心因素通常設(shè)核心因素為自變量．列什么就是把問(wèn)題已知條件用所設(shè)變量表示出來(lái)可以是方程、函數(shù)式等．限制什么主要是指自變量所應(yīng)滿足的限制條件在實(shí)際問(wèn)題中除了要使函數(shù)式有意義外，還要考慮變量的實(shí)際含義，人不能是半個(gè)等．?dāng)M合數(shù)據(jù)構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題[究問(wèn)題]1．際問(wèn)題中兩個(gè)變量之間一定有確定的函數(shù)關(guān)系嗎？6/11

11223n11223n提示：不一定．2．于收集的一組樣本數(shù)據(jù)(x，y)，，y)(x，y)…，x，)們常對(duì)其如何操作，以發(fā)現(xiàn)其所隱含的規(guī)律？提示先畫上述數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖再借助其變化趨勢(shì)結(jié)合我們已學(xué)習(xí)的函數(shù)模型，對(duì)數(shù)據(jù)作出合理的分析，從中找出所隱含的規(guī)律．【例3】

某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，自2015年以來(lái)，每年在正常情況下，該產(chǎn)品產(chǎn)量平穩(wěn)增長(zhǎng)．已2015為第年，前4年產(chǎn)量f)(萬(wàn)件)如下表所示：x3f(x)4.005.587.00畫出2015～該企業(yè)年產(chǎn)量的散點(diǎn)圖；建立一個(gè)能基本反映(誤差小于0.1)這一時(shí)期該企業(yè)年產(chǎn)量變化的函數(shù)模型，并求出函數(shù)解析式；年即x＝5)因受到某國(guó)對(duì)我國(guó)該產(chǎn)品反傾銷的影響，產(chǎn)量減少，試根據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定年的年產(chǎn)量為多少？依散點(diǎn)圖待定系數(shù)法誤差思路點(diǎn)撥：描點(diǎn)→

選模求模?！]

畫出散點(diǎn)圖，圖所示．由散點(diǎn)圖知，可選用一次函數(shù)模型．設(shè)f(x＝ax＋b(a≠0)由已知得解得∴f)1.5＋2.5.檢驗(yàn)：f(2)5.5，|5.58＝，f(4)8.5且|－＝0.06<0.1.∴一次函數(shù)模型f(x＝1.5x2.5能基本反映年產(chǎn)量的變化．根據(jù)所建的函數(shù)模型，預(yù)計(jì)年的年產(chǎn)量為f(5)1.5×5＝7/11

件，又年產(chǎn)量減少30%，10×70%7件，即2019的年產(chǎn)量為萬(wàn)件．函數(shù)擬合與預(yù)測(cè)的一般步驟是：根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點(diǎn)圖．通過(guò)考察散點(diǎn)圖，畫出擬合直線或擬合曲線．求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式．(4)利用函數(shù)關(guān)系，根條件對(duì)所給問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制，決策和管理提供依據(jù)．身高/cm體

2.某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表：607090110120130140150160170重

6.13

7.90

9.90

12.15

15.02

17.50

20.92

26.86

31.11

38.85

47.25

55.05(1)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重與身高x的函數(shù)關(guān)系？試寫出這函數(shù)模型的解析式；若體重超過(guò)相同身高男性體重平均值的倍為偏胖為偏瘦，那么這個(gè)地區(qū)一名身高為cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？[]

以身高為橫坐，體重為縱坐標(biāo)，畫出散點(diǎn)圖．8/11

160160根據(jù)點(diǎn)的分布特征，可考慮以＝a

x

作為刻畫這個(gè)地區(qū)未成年男性的體重與身高關(guān)系的函數(shù)模型．取其中的兩組數(shù)據(jù)(707.90)，，，入＝a

x

得：70·

，

用計(jì)算器算得≈，≈這樣，我們就得到一個(gè)函數(shù)模型：＝2×1.02

x

.將已知數(shù)據(jù)代入上述函數(shù)解析式或作出上述函數(shù)的圖象可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好明它能較好地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性體重與身高的關(guān)系．將＝175代入＝2×1.02

x

得y2×1.02

，由計(jì)算器算得≈63.98.于78÷63.98≈，所以，這個(gè)男生偏胖．1．函數(shù)的用，實(shí)質(zhì)上是函數(shù)思想方法的應(yīng)用，其處理問(wèn)題的一般方法是根據(jù)題意先構(gòu)建函數(shù)，把所給問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的研究從而間接求出所需要的結(jié)論．2．解函數(shù)用問(wèn)題的步驟(四步八字)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；還原：將數(shù)學(xué)問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題．1.考辨析銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問(wèn)題可以用指數(shù)函數(shù)模型來(lái)表述．()在函數(shù)建模中，散點(diǎn)圖可以幫助我們選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型．當(dāng)不同的范圍下，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同時(shí)，可以選擇分段函數(shù)模型．9/11

()()

100100100100100100[案]

√

(2)√

√2．一輛汽在某段路程中的行駛路程s關(guān)于時(shí)間t變化的圖象如圖所示，那么圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型是()A．分段數(shù)C．指數(shù)函數(shù)

B．二次函數(shù)D．對(duì)數(shù)函數(shù)A[圖可知，該圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型是分段函數(shù)模型．]3．若鐳經(jīng)100后剩留原來(lái)質(zhì)量的95.76%設(shè)質(zhì)量1鐳經(jīng)過(guò)x年后剩留量為y，則x，的函數(shù)關(guān)系是()A．＝

x100B．y＝(0.9576C．y＝

xD．y＝1

x100A[題意可知y

xx，即y6.]4．已知A，兩地相距，某人開(kāi)汽車以的速度從地到達(dá)地，在B停留1小時(shí)后再以50km/h的度返回地．把汽車離開(kāi)A地的距離s表示為時(shí)間t的函數(shù)(從地出發(fā)時(shí)開(kāi)始)，并畫出函數(shù)的圖象；把