19-20版 第3章 3.2 3.2.2 函數模型的應用實例

aa3.2.2學習目標

函數模型的用實例核心素養(yǎng)1．會利用已知函數模型解決實際問題．(重點)2．能建立數模型解決實際問題．重點、難點)3．了解擬合函數模型并解決實際問題．(重點)

通過本節(jié)內容的學習使學生認識函數模型的作用，提高學生數學建模、數據分析的素養(yǎng)1．常用數模型(1)一次函數模型

y＝＋(k，為常數，k≠0)(2)二次函數模型

y＝2

＋＋ca，b，c常數，a≠0)常用函數模型

(3)指數函數模型(4)對數函數模型

y＝x＋ca，b，c為常數b≠0，a且a≠y＝logx＋n，a，n為常數，≠，a>0a≠(5)冪函數模型

y＝n

＋(，為常數，a≠0)(6)分段函數模型

＋b（x），y＝＋d（≥m）2.建立函數模型解決問題的基本過程1/11

222222思考：解決函數應用問題的基本步驟是什么？[示]行：

利用函數知識和函數觀點解決實際問題，般按以下幾個步驟進一)題；二)建模；()模；四還原．這些步驟用框圖表示如圖：1．如表是數值隨自變量變化的一組數據，由此判斷它最可能的函數模型是()x568910y1719212327A．一次數模型C．指數函數模型

B．二次函數模型D．對數函數模型A[變量每增加1數值增加函數值的增量是均勻的故為一次函數模型．故選A.]2．某地為抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動物已知該動物的繁殖數量(只與引入時間x年)的關系為y＝ax＋若該動物在引入一年后的數量為只，則第7年它們發(fā)展到()A．只C．600

B．D．700A[＝1＝100入＝a(x1)＝a(1a100.所以x7，y100log

2

(71)3．據調查某自行車存車處在某星期日的存車量為2000次，其中變速車存車費是每輛一次元，普通車存車費是每輛一次元，若普通車存車數為x次，存車費總收入為y元，則y關于x的數關系式是()2/11

2h20a2h20aA．＝0.3＋800(0≤x≤2B．y＝0.3＋1≤≤2000)C．y＝－0.3＋≤≤2000)D．y＝－0.3x＋1≤2000)D[題意知，變速車存車數為(x輛次，總收入＝0.5x000－x×0.8－x1600(0x≤2000)]4．某汽車輸公司購買了一批豪華大客車投入運營．據市場分析，每輛客車營運的利潤y營運年數x∈N為二次函數關系(如圖)車有營運利潤的時間不超過_．7

[二次函數＝a－6)

＋11又過點(，，所以＝－，即y－(－6)

＋11.解y≥0－≤x≤6營運利潤的時間為又11<7，以有營運利潤的時間不超過年．]利用已知函數模型解決實際問題【例1】物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述，設物體的t初始溫度是T，經過一定時間后的溫度是則T－T＝(－)×，其中a0aT表示環(huán)境溫度為半衰期一杯用℃熱水沖的速溶咖啡24℃的房間中，如果咖啡降溫到℃需要min，那么降溫到32℃時，需要多長時間？[]

先設定半衰期h，題意知3/11

h2即＝，12123＝＝＝，h2即＝，12123＝＝＝，t30.22204024－24)，2014解之，得＝，故原式可化簡為tT24(88－×，當T時，代入上式得t3224－24)，即

t864因此，需要30min，降溫到32℃已知函數模型解決實際問題往往給出的函數解析式含有參數需要將題中的數據代入函數模型求得函數模型中的參數再將問題轉化為已知函數解析式求函數值或自變量的值．1.某種商品在近30內每件的銷售價格P(元和時間t(天)的函數關系為：（0<）＝(t∈N*＋（25≤t≤30）.設該商品的日銷售量件)時間t(天)函數關系為＝40－(0<t≤30，t∈N*，求這種商品的日銷售金額的最大值，并指出日銷售金額最大是第幾天？[]

設日銷售金額為y元)，則yPQ，4/11

為mmm2時，y取得最大值＋m424為mmm2時，y取得最大值＋m424所以y

t＋8000<），140t00025≤30.

t∈N*①當0<<25且t∈N*，＝－(－10)2900，所以當t＝10，y＝900()②當25≤≤t∈N*，y(t－70)

－900，所以當t＝25，y＝元)．結合①②得ymax1125(．因此，這種商品日銷售額的最大值為125，在第25時日銷售金額達到最大.自建確定性函數模型解決實際問題【例2】牧場中羊群的最大畜養(yǎng)量為m只，為保證羊群的生長空間，實際畜養(yǎng)量不能達到最大畜養(yǎng)量必須留出適當的空閑量已知羊群的年增長量只和實際畜養(yǎng)量x與空閑率的乘積成正比，比例系數為k(k>0)．寫出關于的函數解析式，并指出這個函數的定義域．求羊群年增長量的最大值．單調性思路點撥：畜養(yǎng)率→空率→yx間的函數關系→求最值[]

根據題意由于最大畜養(yǎng)量為m只實際畜養(yǎng)量為則畜養(yǎng)率xx，故空閑率為，由此可得ykxx)．k對原二次函數配方，＝－(

－mx＝－

km，即當x

.1．(條件)將本例“與空閑率的乘積成正比”改為“與空閑率的乘積成5/11

mmk因為當xmmk因為當x時＋2424反比”又如何表示出關于x的函數解析式？[]

根據題，于最大畜養(yǎng)量為m只，際畜養(yǎng)量為x，畜養(yǎng)率為xx空閑率為1為羊群的年增長量y和實際畜養(yǎng)量與空閑率的乘積成反比，由此可得＝xx

(0<xm2.(變結論)若本例條件不變當羊群的年增長量達到最大值時k的值范圍．[]

由題意知為給羊群留有一定的生長空間，則有實際畜養(yǎng)量與年增長量的和小于最大畜養(yǎng)量，即＋y<mmkm＝，所以0<<m解得－2<<2.因為>0，所以0<k<2.自建模型時主要抓住四個關鍵：“求什么設什么，列什么，限制什么”．求什么就是弄清楚要解決什么問題，完成什么任務．設什么就是弄清楚這個問題有哪些因素誰是核心因素通常設核心因素為自變量．列什么就是把問題已知條件用所設變量表示出來可以是方程、函數式等．限制什么主要是指自變量所應滿足的限制條件在實際問題中除了要使函數式有意義外，還要考慮變量的實際含義，人不能是半個等．擬合數據構建函數模型解決實際問題[究問題]1．際問題中兩個變量之間一定有確定的函數關系嗎？6/11

11223n11223n提示：不一定．2．于收集的一組樣本數據(x，y)，，y)(x，y)…，x，)們常對其如何操作，以發(fā)現其所隱含的規(guī)律？提示先畫上述數據的散點圖再借助其變化趨勢結合我們已學習的函數模型，對數據作出合理的分析，從中找出所隱含的規(guī)律．【例3】

某企業(yè)常年生產一種出口產品，自2015年以來，每年在正常情況下，該產品產量平穩(wěn)增長．已2015為第年，前4年產量f)(萬件)如下表所示：x3f(x)4.005.587.00畫出2015～該企業(yè)年產量的散點圖；建立一個能基本反映(誤差小于0.1)這一時期該企業(yè)年產量變化的函數模型，并求出函數解析式；年即x＝5)因受到某國對我國該產品反傾銷的影響，產量減少，試根據所建立的函數模型，確定年的年產量為多少？依散點圖待定系數法誤差思路點撥：描點→

選模求模?！]

畫出散點圖，圖所示．由散點圖知，可選用一次函數模型．設f(x＝ax＋b(a≠0)由已知得解得∴f)1.5＋2.5.檢驗：f(2)5.5，|5.58＝，f(4)8.5且|－＝0.06<0.1.∴一次函數模型f(x＝1.5x2.5能基本反映年產量的變化．根據所建的函數模型，預計年的年產量為f(5)1.5×5＝7/11

件，又年產量減少30%，10×70%7件，即2019的年產量為萬件．函數擬合與預測的一般步驟是：根據原始數據、表格，繪出散點圖．通過考察散點圖，畫出擬合直線或擬合曲線．求出擬合直線或擬合曲線的函數關系式．(4)利用函數關系，根條件對所給問題進行預測和控制，決策和管理提供依據．身高/cm體

2.某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表：607090110120130140150160170重

6.13

7.90

9.90

12.15

15.02

17.50

20.92

26.86

31.11

38.85

47.25

55.05(1)根據表中提供的數據，能否建立恰當的函數模型，使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重與身高x的函數關系？試寫出這函數模型的解析式；若體重超過相同身高男性體重平均值的倍為偏胖為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高為cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？[]

以身高為橫坐，體重為縱坐標，畫出散點圖．8/11

160160根據點的分布特征，可考慮以＝a

x

作為刻畫這個地區(qū)未成年男性的體重與身高關系的函數模型．取其中的兩組數據(707.90)，，，入＝a

x

得：70·

，

用計算器算得≈，≈這樣，我們就得到一個函數模型：＝2×1.02

x

.將已知數據代入上述函數解析式或作出上述函數的圖象可以發(fā)現這個函數模型與已知數據的擬合程度較好明它能較好地反映這個地區(qū)未成年男性體重與身高的關系．將＝175代入＝2×1.02

x

得y2×1.02

，由計算器算得≈63.98.于78÷63.98≈，所以，這個男生偏胖．1．函數的用，實質上是函數思想方法的應用，其處理問題的一般方法是根據題意先構建函數，把所給問題轉化為對函數的圖象和性質的研究從而間接求出所需要的結論．2．解函數用問題的步驟(四步八字)審題：弄清題意，分清條件和結論，理順數量關系，初步選擇數學模型；(2)建模：將自然語言轉化為數學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用數學知識，建立相應的數學模型；求模：求解數學模型，得出數學結論；還原：將數學問題還原為實際問題．1.考辨析銀行利率、細胞分裂等增長率問題可以用指數函數模型來表述．()在函數建模中，散點圖可以幫助我們選擇恰當的函數模型．當不同的范圍下，對應關系不同時，可以選擇分段函數模型．9/11

()()

100100100100100100[案]

√

(2)√

√2．一輛汽在某段路程中的行駛路程s關于時間t變化的圖象如圖所示，那么圖象所對應的函數模型是()A．分段數C．指數函數

B．二次函數D．對數函數A[圖可知，該圖象所對應的函數模型是分段函數模型．]3．若鐳經100后剩留原來質量的95.76%設質量1鐳經過x年后剩留量為y，則x，的函數關系是()A．＝

x100B．y＝(0.9576C．y＝

xD．y＝1

x100A[題意可知y

xx，即y6.]4．已知A，兩地相距，某人開汽車以的速度從地到達地，在B停留1小時后再以50km/h的度返回地．把汽車離開A地的距離s表示為時間t的函數(從地出發(fā)時開始)，并畫出函數的圖象；把