經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第八章二重積分

第八章二重積分

§8.1二重積分的基本概念§8.2二重積分的計(jì)算

一元函數(shù)定積分是求與定義在某一區(qū)間上的函數(shù)有關(guān)的某種總量的數(shù)學(xué)模型，作為推廣，二元函數(shù)的二重積分是求與定義在某一平面區(qū)域上的函數(shù)有關(guān)的某種總量的數(shù)學(xué)模型，這些模型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同，都是和式的極限?！?.1二重積分的基本概念一、曲頂柱體的體積

曲頂柱體是指它的底面是在平面上的有界閉區(qū)域，它的側(cè)面是以的邊界為準(zhǔn)線，母線平行于軸的柱面，它的頂是連續(xù)曲面

o

平頂柱體的高是不變的，它的體積可以用公式體積＝底面積高來(lái)計(jì)算。而對(duì)于曲頂柱體，當(dāng)點(diǎn)在區(qū)域上變動(dòng)時(shí)，高度是一個(gè)變量，因此它的體積不能直接用上式來(lái)計(jì)算。3）作和4）取極限

則

曲頂柱體的體積求解過(guò)程1）將區(qū)域任意分割成個(gè)小區(qū)域：

也表示第塊小區(qū)域的面積。2）任取點(diǎn)

o二、二重積分的定義及幾何意義

設(shè)二元函數(shù)在有界閉區(qū)域上有定義，用任意分法將分成個(gè)小閉區(qū)域

其中表示第個(gè)小區(qū)域（也表示它的面積），表示的直徑中的最大者。在上任取一點(diǎn)，作乘積，并作和當(dāng)時(shí)，如果這個(gè)和的極限存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)在區(qū)域上的二重積分，記為，即定義積分區(qū)域積分和被積函數(shù)被積表達(dá)式面積元素注：1在二重積分定義中，對(duì)區(qū)域D的劃分是任意的，故如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分D，則除了包含邊界的一些小閉區(qū)域外，其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域。設(shè)矩形小閉區(qū)域的邊長(zhǎng)為和則0xyD直角坐標(biāo)系下面積元素2存在性：當(dāng)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí)，函數(shù)在D上的二重積分必定存在。以后總假定在D上的二重積分是存在的。3由二重積分的定義可知：曲頂柱體的體積是函數(shù)在D上的二重積分幾何意義1)、若，表示以區(qū)域?yàn)榈椎那斨w的體積。2)、若，表示以區(qū)域?yàn)榈椎那斨w的體積的相反數(shù)。3)、若在區(qū)域上的值有正有負(fù)，則曲頂柱體的體積取其二重積分的代數(shù)和。（其中xoy面上方柱體的體積取正，xoy面下方柱體的體積取負(fù)）。三、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到二重積分號(hào)的外面，即：性質(zhì)2有限個(gè)函數(shù)的和（或差）的二重積分等于各個(gè)函數(shù)的二重積分的和（或差）。性質(zhì)3(區(qū)域可加性)如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域，則在D上的二重積分等于在個(gè)部分閉區(qū)域上的二重積分的和.性質(zhì)4若在D上，則：特別地，高為1的平頂柱體的體積在數(shù)值上等于柱體的底面積。性質(zhì)５如果在上恒有，是的面積，則性質(zhì)６設(shè)和分別是函數(shù)在閉區(qū)域上的最大值和最小值，是的面積，則性質(zhì)７中值定理如果在閉區(qū)域上連續(xù)，是的面積，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得

中值定理的幾何意義：在區(qū)域上以曲頂為頂?shù)那斨w的體積，等于區(qū)域上以某一點(diǎn)的函數(shù)值為高的平頂柱體的體積。0yx(3,0)(1,0)(0,1).D解：在區(qū)域D內(nèi)，顯然有故在D內(nèi)例1比較下列積分的大小：1）與其中D:,其中區(qū)域D為頂點(diǎn)為A(1，0)B(1，1)，C(2，0)的三角形閉區(qū)域。2）解：BC的方程

x+y=2D內(nèi)所以A(1,0)C(2,0)B(1,1)例２估計(jì)積分值解：在D內(nèi)的最大值為4，最小值為1區(qū)域D的面積為2所以

二重積分的計(jì)算，可以歸結(jié)為求兩次一元定積分，然后利用一元定積分的計(jì)算方法來(lái)計(jì)算二重積分。按定義:二重積分是一個(gè)特定乘積和式極限然而，用定義來(lái)計(jì)算二重積分，一般情況下是非常麻煩的.§8.2二重積分的計(jì)算那么，有沒(méi)有簡(jiǎn)便的計(jì)算方法呢?這就是我們今天所要研究的課題。下面介紹:一、直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

二重積分僅與被積函數(shù)及積分域有關(guān),為此,先介紹：

1、積分域D:如果積分區(qū)域?yàn)椋海?）X-型域［X－型］

X型區(qū)域的特點(diǎn)：a、平行于y軸且穿過(guò)區(qū)域的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)；b、

2、X-型域下二重積分的計(jì)算:由幾何意義，若?(x,y)≥0，則平行截面面積為已知的立體的體積.yZ截面為曲邊梯形，面積為：注:若?(x,y)≤0仍然適用。注意:2）積分次序:X-型域先Y后X;3）積分限確定法:域中一線插,內(nèi)限定上下，域邊兩線夾，外限依靠它。為方便，上式也常記為：1）上式說(shuō)明:二重積分可化為二次定積分計(jì)算;（2）Y-型域：［Y－型］Y型區(qū)域的特點(diǎn)：a、穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界的交點(diǎn)不多于兩個(gè)；b、3、Y-型域下二重積分的計(jì)算：1）積分次序:Y-型域,先x后Y;2）積分限確定法:

“域中一線插”,須用平行于X軸的直線穿插區(qū)域。注意:

注意：二重積分轉(zhuǎn)化為二次定積分時(shí)，關(guān)鍵在于正確確定積分限,一定要做到熟練、準(zhǔn)確。4、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分的步驟（1）畫(huà)出積分區(qū)域的圖形,求出邊界曲線交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）確定積分限，化為二次定積分；（2）根據(jù)積分域類(lèi)型,確定積分次序；（4）計(jì)算兩次定積分，即可得出結(jié)果.解：［X－型］［Y－型］例2解：X-型例3解：（如圖）將D作Y型-12例4交換積分次序。解：即解：積分區(qū)域如圖xyo231原式xyoxyo例6解：先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖則例7計(jì)算，

解：畫(huà)圖若把區(qū)域看成－型區(qū)域則求不出來(lái)例8計(jì)算

例9計(jì)算

選擇積分次序的原則：

第一次積分易積；積分區(qū)域要盡量避免分塊。解：畫(huà)圖例10用二重積分計(jì)算由所圍成的圖形的面積。例11解表示為X-型域改變積分次序二利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分

當(dāng)一些二重積分的積分區(qū)域D用極坐標(biāo)表示比較簡(jiǎn)單，或者一些函數(shù)它們的二重積分在直角坐標(biāo)系下根本無(wú)法計(jì)算時(shí)，我們可以在極坐標(biāo)系下考慮其計(jì)算問(wèn)題。直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系o1直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系下的二重積分關(guān)系（1）面積元素變換為極坐標(biāo)系下：極坐標(biāo)系下的面積元素為：（2）二重積分轉(zhuǎn)換公式：（3）注意：將直角坐標(biāo)系的二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分需要進(jìn)行“三換”：o2極坐標(biāo)系下的二重積分化為二次積分用兩條過(guò)極點(diǎn)的射線夾平面區(qū)域，由兩射線的傾角得到其上下限任意作過(guò)極點(diǎn)的半射線與平面區(qū)域相交，由穿進(jìn)點(diǎn)，穿出點(diǎn)的極徑得到其上下限。將直角坐標(biāo)系下的二重積分化為極坐標(biāo)系后，極坐標(biāo)系下的二重積分仍然需要化為二次積分來(lái)計(jì)算。（1）區(qū)域如圖1具體地（如圖）圖1（2）區(qū)域如圖2圖2（3）區(qū)域如圖3圖3（4）區(qū)域如圖4圖4

當(dāng)積分區(qū)域?yàn)閳A形、扇形或環(huán)形時(shí)，利