山西省太原市北留中學高三數學文上學期期末試卷含解析

山西省太原市北留中學高三數學文上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知全集U=R，集合A=，B=，那么集合A、

B、

C、

D、參考答案：答案：D2.已知：tan，則等于（

）A．3

B．-3

C．2

D．-2參考答案：A3.已知a＞b＞0，ab=ba，有如下四個結論：①b＜e；②b＞e；③?a，b滿足a?b＜e2；④a?b＞e2．則正確結論的序號是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④參考答案：C【考點】有理數指數冪的化簡求值．【分析】根據題意，得出=，f（x）=，x＞0，利用導數判斷0＜x＜e時f（x）增，x＞e時f（x）減；x=e時f（x）取得最大值；根據f（a）=f（b）得出a＞e＞b，判斷①正確②錯誤；由＞e＞b得出f（b）＜f（）且f（a）＜f（），即ab＞e2，判斷④正確③錯誤．【解答】解：∵a＞b＞0，ab=ba，∴blna=alnb，∴=，設f（x）=，x＞0，∴f′（x）=，當0＜x＜e時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增，當x＞e時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減，當x=e時，f（x）max=f（e）=；∵f（a）=f（b），∴a＞e＞b＞0，∴①正確，②錯誤；∴＞e＞b，∴f（b）＜f（），∴f（a）＜f（），∴a＞＞e，∴ab＞e2，④正確，③錯誤；綜上，正確的命題是①④．故選：C．【點評】本題考查了利用構造函數的方法判斷數值大小的應用問題，是綜合性題目．4.如圖，半徑為的扇形的圓心角為，點在上，且，若，則(

).（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A5.設函數y=f（x）的反函數為f－1（x）,將y＝f（2x－3）的圖像向左平移兩個單位，再關于x軸對稱后所得到的函數的反函數是A.y＝

B.

y＝C.y＝

D.y＝參考答案：A6.已知函數f（x）=sin（x+）﹣在上有兩個零點，則實數m的取值范圍為(

)A． B． D．參考答案：B【考點】函數零點的判定定理．【專題】函數的性質及應用．【分析】由f（x）=0得sin（x+）=，然后求出函數y=sin（x+）在上的圖象，利用數形結合即可得到結論．【解答】解：由f（x）=0得sin（x+）=，作出函數y=g（x）=sin（x+）在上的圖象，如圖：由圖象可知當x=0時，g（0）=sin=，函數g（x）的最大值為1，∴要使f（x）在上有兩個零點，則，即，故選：B【點評】本題主要考查函數零點個數的應用，利用三角函數的圖象是解決本題的關鍵．7.已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是（）A． B． C．4π D．參考答案：D【考點】LG：球的體積和表面積．【分析】由AB=BC=CA=2，求得△ABC的外接圓半徑為r，再由R2﹣（R）2=，求得球的半徑，再用面積求解．【解答】解：因為AB=BC=CA=2，所以△ABC的外接圓半徑為r=．設球半徑為R，則R2﹣（R）2=，所以R2=S=4πR2=．故選D【點評】本題主要考查球的球面面積，涉及到截面圓圓心與球心的連線垂直于截面，這是求得相關量的關鍵．8.已知是定義在R上的奇函數，且時的圖像如圖所示，則

A.-3

B.-2

C.-1

D.2

參考答案：【知識點】函數的奇偶性.

B4【答案解析】B

解析：因為是奇函數，所以，又時的圖像如圖所示，所以，所以-2，故選B.【思路點撥】利用函數的奇偶性及函數的圖像獲得結果.9.在中，若，則的形狀是（

）

A．等腰三角形

B．等邊三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形參考答案：B由正弦定理可知由，因為，所以，因為，所以，所以，即.同理可得，所以三角形為等邊三角形，選B.10.拋物線和圓，直線l經過C1的焦點F，依次交C1，C2于四點，則的值為（

）A．

B．1

C.2

D．4參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.的展開式中的常數項為_________．參考答案：略12.給出下列不等式：，，，…，則按此規(guī)律可猜想第n個不等式為

．參考答案：13.過點引直線與曲線相交于A，B兩點，O為坐標原點，當△AOB的面積取最大值時，直線的斜率等于___________.參考答案：略14.

．（用數字作答）參考答案：5515.已知都是正實數，函數的圖像過點（0,1），則的最小值是

.參考答案：略16.橢圓x2+4y2=1的離心率為

．參考答案：考點：橢圓的簡單性質．專題：圓錐曲線的定義、性質與方程．分析：由橢圓x2+4y2=1化為標準方程得，可得a2，b2．再利用即可得出．解答： 解：橢圓x2+4y2=1化為標準方程得，∴a2=1，，∴=．故答案為：．點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質，屬于基礎題．17.某幾何體三視圖如所示，則該幾何體的體積為(）

A．8－

B．8－

C．8－π

D．8－2π參考答案：【知識點】由三視圖求面積、體積．G2

【答案解析】C

解析：由三視圖知：幾何體是正方體切去兩個圓柱，正方體的棱長為2，切去的圓柱的底面半徑為1，高為2，∴幾何體的體積V=23﹣2××π×12×2=8﹣π．故選：C．【思路點撥】幾何體是正方體切去兩個圓柱，根據三視圖判斷正方體的棱長及切去的圓柱的底面半徑和高，把數據代入正方體與圓柱的體積公式計算．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分14分)已知函數．(1)當時，求函數的最值；(2)求函數的單調區(qū)間；(3)試說明是否存在實數使的圖象與無公共點．參考答案：（1）函數的定義域是．當時，，所以在為減函數,在為增函數，所以函數f(x)的最小值為=．(2)若時，則(x)在恒成立，所以的增區(qū)間為．若，則故當，，當時，f(x),所以時的減區(qū)間為，的增區(qū)間為．(3)時，由（2）知在上的最小值為，由在上單調遞減，所以則，因此存在實數使的最小值大于，故存在實數使的圖象與無公共點．19.甲乙兩個學校高三年級分別有1100人，1000人，為了了解兩個學校全體高三年級學生在該地區(qū)二?？荚嚨臄祵W成績清況，采用分層抽樣方法從兩個學校一共抽取了105名學生的數學成績，并作出了頻數分布統(tǒng)計表如下：甲校：

分組[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)頻數231015分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]頻數15x31

乙校:

分組[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)頻數1298分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]頻數1010y3

（1）計算x，y的值；（2）若規(guī)定考試成績在[120,150]內為優(yōu)秀，請根據樣本估計乙校數學成績的優(yōu)秀率；（3）由以上統(tǒng)計數據填寫下面2×2列聯表，并判斷是否有97.5%的把握認為兩個學校的數學成績有差異.

甲校乙?？傆媰?yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

P(K2≥k0)0.100.0250.010k02.7065.0246.635

附：；.參考答案：（1）由題意知，甲校抽取人，乙校抽取人，∴.（2）由題意知，乙校優(yōu)秀率為.（3），∴有的把握認為兩個學校的數學成績有差異.

20.已知數列前n項和為，首項為，且成等差數列.（I）求數列的通項公式；（II）數列滿足，求證：參考答案：略21.已知a，b是正實數，且，證明：（1）；（2）．參考答案：（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）利用基本不等式證明即可．（2）利用綜合法，通過重要不等式證明即可．【詳解】是正實數，，，∴，當且僅當時，取∴∴∴當且僅當即時，取【點睛】本題考查不等式的證明，綜合法的應用，基本不等式的應用，是基本知識的考查．22.已知函f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．①討論f（x）的單調性；②設a＞0，證明：當0＜x＜時，；③函數y=f（x）的圖象與x軸相交于A、B兩點，線段AB中點的橫坐標為x0，證明f′（x0）＜0．參考答案：【考點】6E：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值；6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】①求出函數f（x）的定義域，然后在定義域內分a＞0，a≤0兩種情況解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得函數的單調區(qū)間；②設函數g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），只需證明g（x）＞0即可，進而轉化為利用導數求函數的最值；③由①易判斷a≤0時不滿足條件，只需考慮a＞0時情形，由①可得f（x）的最大值為f（），且f（）＞0，設A（x1，0），B（x2，0），0＜x1＜x2，則0＜x1＜＜x2，由②可推得f（﹣x1）＞f（x1）=f（x2）=0，借助函數單調性可得結論；【解答】解：①函數f（x）的定義域為（0，+∞），f'（x）=﹣2ax+（2﹣a）=﹣，（i）當a＞0時，則由f'（x）=0，得x=，當x∈（0，）時，f'（x）＞0，當x∈（，+∞）時，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，）單調遞增，在（，+∞）上單調遞減；（ii）當a≤0時，f（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）單調遞增；②設函數g（x）=f（+x）﹣f（﹣x），則g（x）=﹣=ln（1+ax）﹣ln（1﹣ax）﹣2ax，g'（x）=+﹣2a=，當x∈（0，）時，g'（x