山西省大同市渾源縣西坊城中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

山西省大同市渾源縣西坊城中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為A．4 B．8 C．12 D．24參考答案：A由三視圖可知：該幾何體為四棱錐,由體積公式易得故選A．

2.函數(shù)在[0,1]上的最大值與最小值的和為3，則a=(

)A．2

B.3

C.4

D.8參考答案：A3.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．9

B．15

C.18

D．36參考答案：C4.已知函數(shù)，則下列命題正確的是（

）A．是最小正周期為1的奇函數(shù)

B．是最小正周期為1的偶函數(shù)C．是最小正周期為2的奇函數(shù)

D．是最小正周期為2的偶函數(shù)參考答案：D略5.在的二項(xiàng)展開式中，的系數(shù)為

A．

B．

C．

D．參考答案：C：本題考查了二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式以及同學(xué)們的計(jì)算能力，難度一般。由二項(xiàng)式定理知令得，所以r的系數(shù)為，故選C。6.如圖，矩形ABCD中，AB=2AD=4，MN=2PQ=2，向該矩形內(nèi)隨機(jī)投一質(zhì)點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)落在四邊形MNQP內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】分別求出四邊形ABCD和四邊形MNQP的面積，從而求出質(zhì)點(diǎn)落在四邊形MNQP內(nèi)的概率即可．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=2AD=4，MN=2PQ=2，∴SABCD=8，SMNQP=3，故滿足條件的概率p=，故選：B．7.已知f（x）是定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)，若對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有，且方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間[0，3]上有兩解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．0＜a≤5 B．a(chǎn)＜5 C．0＜a＜5 D．a(chǎn)≥5參考答案：A【考點(diǎn)】3F：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】由題意可得必存在唯一的正實(shí)數(shù)a，滿足f（x）+=a，f（a）=4①，可得f（a）+=a②，由①②得a=，解得a=3．由題意，||=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解，數(shù)形結(jié)合可得a的范圍．【解答】解：∵f（x）是定義域?yàn)椋?，+∞）的單調(diào)函數(shù)，對(duì)任意的x∈（0，+∞），都有，∴必存在唯一的正實(shí)數(shù)a，滿足f（x）+=a，f（a）=4

①，∴f（a）+=a②，由①②得：4+=a，即=a﹣4，∴a=，解得a=3．故f（x）+=a=3，∴f（x）=3﹣，由方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解，即有||=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解，由g（x）=x3﹣6x2+9x﹣4+a，可得g′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），當(dāng)1＜x＜3時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞增．g（x）在x=1處取得最大值a，g（0）=a﹣4，g（3）=a﹣4，分別作出y=||，和y=x3﹣6x2+9x﹣4的圖象，可得兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)（1，0），將y=x3﹣6x2+9x﹣4的圖象向上平移，至經(jīng)過點(diǎn)（3，1），有兩個(gè)交點(diǎn)，由g（3）=1，即a﹣4=1，解得a=5，當(dāng)0＜a≤5時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程|f（x）﹣3|=x3﹣6x2+9x﹣4+a在區(qū)間（0，3]上有兩解．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的綜合運(yùn)用，綜合性強(qiáng)，難度大．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，屬于難題．8.已知集合，，則A.

B.

C.

D.

參考答案：C略9.已知a>0，b>0，a、b的等差中項(xiàng)是，且，則x+y的最小值是(

)A．6 B．5 C．4 D．3參考答案：B10.關(guān)于函數(shù)，下列說法錯(cuò)誤的是（

）（A）是的極小值點(diǎn)

(B)函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)

(C)存在正實(shí)數(shù)，使得恒成立(D)對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則參考答案：C，，且當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增，因此是的極小值點(diǎn)，A正確；，，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，即單調(diào)遞減，又，，所以有零點(diǎn)且只有一個(gè)零點(diǎn)，B正確；設(shè)，易知當(dāng)時(shí)，，對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，顯然當(dāng)時(shí)，，即，，所以不成立，C錯(cuò)誤；作為選擇題這時(shí)可得結(jié)論，選C，下面對(duì)D研究，畫出函數(shù)草圖可看出（0，2）的時(shí)候遞減的更快，所以二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知（），且滿足的整數(shù)共有個(gè)，（）的最大值為，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

．參考答案：∵，∴是偶函數(shù)，又由絕對(duì)值性質(zhì)知時(shí)，是增函數(shù)，所以由得，解得或，結(jié)合，可知也滿足要求，所以，故.即在時(shí)恒成立.，且，可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，符合題意；當(dāng)時(shí)，，使得在單調(diào)遞增，不合題意，舍去.故答案為.

12.拋物線的準(zhǔn)線方程是

．參考答案：略13.若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍為______________.參考答案：

14.已知矩形的周長為36，矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成一個(gè)圓柱，則旋轉(zhuǎn)形成的圓柱的側(cè)面積的最大值為

.參考答案：略15.在△ABC中，a=2,c=4，且3sinA=2sinB,則cosC=

.參考答案：16.已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的正弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°，若的面積為，則該圓錐的側(cè)面積為______.參考答案：【分析】利用已知條件求出圓錐的母線長，利用直線與平面所成角求解底面半徑，然后求解圓錐的側(cè)面積．【詳解】解：圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，可得sin∠ASB．△SAB的面積為5，可得sin∠ASB＝5，即5，即SA＝4．SA與圓錐底面所成角為45°，可得圓錐的底面半徑為：2．則該圓錐的側(cè)面積：π＝40π．故答案為：40π．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征，母線與底面所成角，圓錐的截面面積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．17.已知展開式中的常數(shù)項(xiàng)為60，則

.參考答案：4的通項(xiàng)公式為，令，，，故答案為.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：(a＞b＞0)，其短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成面積為的正三角形，過橢圓C的右焦點(diǎn)作斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為P．（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）過點(diǎn)P垂直于AB的直線與x軸交于點(diǎn)D，試求的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（I）由面積為的正三角形的邊長為2，即可求得a和c的值，b2=a2﹣c2，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）將直線方程，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得P點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線PD的方程及D點(diǎn)坐標(biāo)，求得丨PD丨及丨AB丨，則，由k的取值范圍，即可求得的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為（c，0），易知面積為的正三角形的邊長為2，依題意知，，∴b2=a2﹣c2=3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，橢圓C的方程為．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）設(shè)過橢圓C的右焦點(diǎn)的直線l的方程為y=k（x﹣1），將其代入中得，（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣其中，△=144（k2+1），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因?yàn)镻為線段AB的中點(diǎn)，所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為．故點(diǎn)P的坐標(biāo)為，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又直線PD的斜率為，直線PD的方程為，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣令y=0得，，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為，所以，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣又∵k2+1＞1，∴，∴．所以，的取值范圍是．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣19.已知函數(shù)，直線l：y=kx﹣1．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；（Ⅱ）求證：對(duì)于任意k∈R，直線l都不是曲線y=f（x）的切線；（Ⅲ）試確定曲線y=f（x）與直線l的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】計(jì)算題；解題思想；轉(zhuǎn)化思想；解題方法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）定義域，求導(dǎo)，令f′（x）=0，解得x=1．利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，（Ⅱ）假設(shè)存在某個(gè)k∈R，使得直線l與曲線y=f（x）相切，設(shè)切點(diǎn)為，求出切線滿足斜率，推出，此方程顯然無解，假設(shè)不成立．推出直線l都不是曲線y=f（x）的切線．（Ⅲ）“曲線y=f（x）與直線l的交點(diǎn)個(gè)數(shù)”等價(jià)于“方程的根的個(gè)數(shù)”．令，則k=t3+t+2，其中t∈R，且t≠0．函數(shù)h（t）=t3+t+2，其中t∈R，求出導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后推出曲線y=f（x）與直線l交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解答】（本小題滿分13分）（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）定義域?yàn)閧x|x≠0}，…（1分）求導(dǎo)，得，…（2分）令f′（x）=0，解得x=1．當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）與f（x）的變化情況如下表所示：x（﹣∞，0）（0，1）1（1，+∞）f′（x）+﹣0+f（x）↗↘

↗所以函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，0），（1，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（0，1），…（3分）所以函數(shù)y=f（x）有極小值f（1）=3，無極大值．

…（4分）（Ⅱ）證明：假設(shè)存在某個(gè)k∈R，使得直線l與曲線y=f（x）相切，…（5分）設(shè)切點(diǎn)為，又因?yàn)?，所以切線滿足斜率，且過點(diǎn)A，所以，…（7分）即，此方程顯然無解，所以假設(shè)不成立．所以對(duì)于任意k∈R，直線l都不是曲線y=f（x）的切線．…（8分）（Ⅲ）解：“曲線y=f（x）與直線l的交點(diǎn)個(gè)數(shù)”等價(jià)于“方程的根的個(gè)數(shù)”．由方程，得．…（9分）令，則k=t3+t+2，其中t∈R，且t≠0．考察函數(shù)h（t）=t3+t+2，其中t∈R，因?yàn)閔′（t）=3t2+1＞0時(shí)，所以函數(shù)h（t）在R單調(diào)遞增，且h（t）∈R．…（11分）而方程k=t3+t+2中，t∈R，且t≠0．所以當(dāng)k=h（0）=2時(shí)，方程k=t3+t+2無根；當(dāng)k≠2時(shí)，方程k=t3+t+2有且僅有一根，故當(dāng)k=2時(shí)，曲線y=f（x）與直線l沒有交點(diǎn)，而當(dāng)k≠2時(shí)，曲線y=f（x）與直線l有且僅有一個(gè)交點(diǎn)．…（13分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．20.選修4－5不等式選講已知x，y，z均為正數(shù)．求證：．參考答案：選修4－5不等式選講證明：因?yàn)閤，y，z都是為正數(shù)，所以．………4分同理可得，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z時(shí)，以上三式等號(hào)都成立．……7分將上述三個(gè)不等式兩邊分別相加，并除以2，得．…10分21.如圖，直線經(jīng)過⊙上的點(diǎn)，并且⊙交直線于，，連接．（I）求證：直線是⊙的切線；（II）若⊙的半徑為，求的長．參考答案：略22.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，，，點(diǎn)O，M分別為AD，PC的中點(diǎn)