高中數學人教B版第二章平面向量 學業(yè)分層測評18

學業(yè)分層測評(十八)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1.(2023·衡水高一檢測)設e1，e2是平面內所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是()＋e2和e1－e2－4e2和6e1－8e2＋2e2和2e1＋e2和e1＋e2【解析】B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作為基底.【答案】B2.(2023·合肥高一檢測)如圖2-2-9，向量a－b等于()圖2-2-9A.－4e1－2e2B.－2e1－4e2－3e2－e2【解析】不妨令a＝eq\o(CA,\s\up13(→))，b＝eq\o(CB,\s\up13(→))，則a－b＝eq\o(CA,\s\up13(→))－eq\o(CB,\s\up13(→))＝eq\o(BA,\s\up13(→))，由平行四邊形法則可知eq\o(BA,\s\up13(→))＝e1－3e2.【答案】C3.(2023·大連高一檢測)如圖2-2-10，已知E，F分別是矩形ABCD的邊BC，CD的中點，EF與AC交于點G，若eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AD,\s\up13(→))＝b，用a、b表示eq\o(AG,\s\up13(→))＝()圖2-2-10\f(1,4)a＋eq\f(1,4)b \f(1,3)a＋eq\f(1,3)b\f(3,4)a－eq\f(1,4)b \f(3,4)a＋eq\f(3,4)b【解析】易知eq\o(CF,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up13(→))，eq\o(CE,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up13(→)).設eq\o(CG,\s\up13(→))＝λeq\o(CA,\s\up13(→))，則由平行四邊形法則可得eq\o(CG,\s\up13(→))＝λ(eq\o(CB,\s\up13(→))＋eq\o(CD,\s\up13(→)))＝2λeq\o(CE,\s\up13(→))＋2λeq\o(CF,\s\up13(→))，由于E，G，F三點共線，則2λ＋2λ＝1，即λ＝eq\f(1,4)，從而eq\o(CG,\s\up13(→))＝eq\f(1,4)eq\o(CA,\s\up13(→))，從而eq\o(AG,\s\up13(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up13(→))＝eq\f(3,4)(a＋b).【答案】D4.若D點在三角形ABC的邊BC上，且eq\o(CD,\s\up13(→))＝4eq\o(DB,\s\up13(→))＝req\o(AB,\s\up13(→))＋seq\o(AC,\s\up13(→))，則3r＋s的值為()\f(16,5) \f(12,5)\f(8,5) \f(4,5)【解析】∵eq\o(CD,\s\up13(→))＝4eq\o(DB,\s\up13(→))＝req\o(AB,\s\up13(→))＋seq\o(AC,\s\up13(→))，∴eq\o(CD,\s\up13(→))＝eq\f(4,5)eq\o(CB,\s\up13(→))＝eq\f(4,5)(eq\o(AB,\s\up13(→))－eq\o(AC,\s\up13(→)))＝req\o(AB,\s\up13(→))＋seq\o(AC,\s\up13(→))，∴r＝eq\f(4,5)，s＝－eq\f(4,5)，∴3r＋s＝eq\f(12,5)－eq\f(4,5)＝eq\f(8,5).【答案】C5.如果e1，e2是平面α內所有向量的一組基底，那么下列命題正確的是()A.若實數λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，則λ1＝λ2＝0B.空間任一向量a可以表示為a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈RC.對實數λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α內D.對平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的實數λ1，λ2有無數對【解析】選項B錯誤，這樣的a只能與e1，e2在同一平面內，不能是空間任一向量；選項C錯誤，在平面α內任一向量都可表示為λ1e1＋λ2e2的形式，故λ1e1＋λ2e2一定在平面α內；選項D錯誤，這樣的λ1，λ2是唯一的，而不是有無數對.【答案】A二、填空題6.已知a與b是兩個不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ【解析】由題意可以設a＋λb＝λ1(－b＋3a)＝3λ1a－λ1b，因為a與b不共線，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝3λ1，,λ＝－λ1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ1＝\f(1,3)，,λ＝－\f(1,3).))【答案】－eq\f(1,3)7.設e1，e2是平面內一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為另一組基向量a，b的線性組合，即e1＋e2＝________.【解析】因為a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，顯然a與b不共線，①＋②得a＋b＝3e2，所以e2＝eq\f(a＋b,3)代入②得e1＝e2－b＝eq\f(a＋b,3)－b＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b，故有e1＋e2＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b.【答案】eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b三、解答題8.如圖2-2-11，平面內有三個向量eq\o(OA,\s\up13(→))，eq\o(OB,\s\up13(→))，eq\o(OC,\s\up13(→))，其中eq\o(OA,\s\up13(→))與eq\o(OB,\s\up13(→))的夾角為120°，eq\o(OA,\s\up13(→))與eq\o(OC,\s\up13(→))的夾角為30°，且|eq\o(OA,\s\up13(→))|＝|eq\o(OB,\s\up13(→))|＝1，eq\o(|OC,\s\up13(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up13(→))＝λeq\o(OA,\s\up13(→))＋μeq\o(OB,\s\up13(→))(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值.圖2-2-11【導學號：72023056】【解】如圖，以OA，OB所在射線為鄰邊，OC為對角線作平行四邊形ODCE，則eq\o(OC,\s\up13(→))＝eq\o(OD,\s\up13(→))＋eq\o(OE,\s\up13(→))，在Rt△OCD中，因為|eq\o(OC,\s\up13(→))|＝2eq\r(3)，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，所以|eq\o(OD,\s\up13(→))|＝4，|eq\o(CD,\s\up13(→))|＝2，故eq\o(OD,\s\up13(→))＝4eq\o(OA,\s\up13(→))，eq\o(OE,\s\up13(→))＝2eq\o(OB,\s\up13(→))，即λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.9.(2023·馬鞍山二中期末)如圖2-2-12所示，在?ABCD中，E，F分別是BC，DC的中點，BF與DE交于點G，設eq\o(AB,\s\up13(→))＝a，eq\o(AD,\s\up13(→))＝b.圖2-2-12(1)用a，b表示eq\o(DE,\s\up13(→))；(2)試用向量方法證明：A，G，C三點共線.【解】(1)eq\o(DE,\s\up13(→))＝eq\o(AE,\s\up13(→))－eq\o(AD,\s\up13(→))＝eq\o(AB,\s\up13(→))＋eq\o(BE,\s\up13(→))－eq\o(AD,\s\up13(→))＝a＋eq\f(1,2)b－b＝a－eq\f(1,2)b.(2)證明：連接AC，BD交于O，則eq\o(CO,\s\up13(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up13(→))，∵E，F分別是BC，DC的中點，∴G是△CBD的重心，∴eq\o(GO,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CO,\s\up13(→))＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))eq\o(AC,\s\up13(→))＝－eq\f(1,6)eq\o(AC,\s\up13(→))，又C為公共點，∴A，G，C三點共線.[能力提升]1.已知點O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足eq\o(OP,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up13(→)),|\o(AC,\s\up13(→))|)))(λ∈[0，＋∞))，則點P的軌跡一定通過△ABC的()A.外心 B.內心C.重心 D.垂心【解析】eq\f(\o(AB,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))|)為eq\o(AB,\s\up13(→))上的單位向量，eq\f(\o(AC,\s\up13(→)),|\o(AC,\s\up13(→))|)為eq\o(AC,\s\up13(→))上的單位向量，則eq\f(\o(AB,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up13(→)),|\o(AC,\s\up13(→))|)的方向為∠BAC的角平分線eq\o(AD,\s\up13(→))的方向.又λ∈[0，＋∞)，∴λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up13(→)),|\o(AC,\s\up13(→))|)))的方向與eq\f(\o(AB,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up13(→)),|\o(AC,\s\up13(→))|)的方向相同.而eq\o(OP,\s\up13(→))＝eq\o(OA,\s\up13(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up13(→)),|\o(AB,\s\up13(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up13(→)),|\o(AC,\s\up13(→))|)))，∴點P在eq\o(AD,\s\up13(→))上移動，∴點P的軌跡一定通過△ABC的內心.【答案】B2.如圖2-2-13所示，OM∥AB，點P在由射線OM，線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(不含邊界)運動，且eq\o(OP,\s\up13(→))＝xeq\o(OA,\s\up13(→))＋yeq\o(OB,\s\up13(→)).圖2-2-13(1)求x的取值范圍；(2)當x＝－eq\f(1,2)時，求y的取值范圍.【解】(1)因為eq\o(OP,\s\up13(→))＝xeq\o(OA,\s\up13(→))＋yeq\o(OB,\s\up13(→))，以OB和OA的反向延長線為兩鄰邊作平行四邊形，由向量加法的平行四邊形法則可知OP為此平行四邊形的對角線，當OP長度增大且靠近OM時，x趨向負無窮大，所以x的取值范圍是(－∞，0).(2)如圖所示，當x＝－eq\f(1,2)時，在OA的反向延長線取點C，使OC＝eq\f(1,2)OA，過C作CE∥OB，分別交OM和AB的延長線于點D，E，則CD＝eq\f(1,2)OB，CE＝eq\f(3,