高中數學北師大版第一章立體幾何初步（省一等獎）

(本欄目內容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．下列結論正確的是()①在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行；②平行于同一條直線的兩條直線平行；③一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交；④空間四條直線a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c.A．①②③ B．②④C．③④ D．②③解析：①錯，可以異面．②正確．③錯誤，和另一條可以異面．④正確，由平行直線的傳遞性可知．答案：B2．兩個三角形不在同一平面內，它們的邊兩兩對應平行，那么這兩個三角形()A．全等 B．相似C．僅有一個角相等 D．無法判斷解析：由題意知，這兩個三角形的三個角對應相等，故這兩個三角形相似．答案：B3．如圖，α∩β＝l，aα，bβ，且a，b為異面直線，則以下結論正確的是()A．a，b都與l平行B．a，b中至多有一條與l平行C．a，b都與l相交D．a，b中至多有一條與l相交解析：如果，a，b都與l平行，根據公理4，有a∥b，這與a，b為異面直線矛盾，故a，b中至多有一條與l平行．答案：B4．已知空間四邊形ABCD中，M，N分別為AB，CD的中點，則下列判斷正確的是()A．MN≥eq\f(1,2)(AC＋BD) B．MN≤eq\f(1,2)(AC＋BD)C．MN＝eq\f(1,2)(AC＋BD) D．MN＜eq\f(1,2)(AC＋BD)解析：如圖，取BC的中點H，據題意有MH＝eq\f(1,2)AC，MH∥AC，HN＝eq\f(1,2)BD，HN∥BD.在△MNH中，由兩邊之和大于第三邊知，MN＜MH＋HN＝eq\f(1,2)(AC＋BD).答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)5．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BD和B1D1是正方形ABCD和A1B1C1D1的對角線．(1)∠DBC的兩邊與________的兩邊分別平行且方向相同；(2)∠DBC的兩邊與________的兩邊分別平行且方向相反．解析：(1)因為B1D1∥BD，B1C1∥BC且方向相同，所以∠DBC的兩邊與∠D1B1C1的兩邊分別平行且方向相同．(2)B1D1∥BD，D1A1∥BC且方向相反，所以∠DBC的兩邊與∠B1D1A1的兩邊分別平行且方向相反．答案：(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A16．如圖，在空間四邊形ABCD中，E，H分別是AB，AD的中點，F，G分別是CB，CD上的點，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3).若BD＝6cm，梯形EFGH的面積為28cm2，則平行線EH，FG間的距離為________．解析：在△BCD中，∵eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，∴GF∥BD，eq\f(FG,BD)＝eq\f(2,3).∴FG＝4cm.在△ABD中，∵點E，H分別是AB，AD的中點，∴EH＝eq\f(1,2)BD＝3(cm)．設EH，FG間的距離為dcm.則eq\f(1,2)×(4＋3)×d＝28，∴d＝8.答案：8cm三、解答題(每小題10分，共20分)7．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，求證：(1)∠ABC＝∠A1B1C1；(2)∠A1D1A＝∠B1C1B.證明：(1)如下圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，由長方體的性質可得：A1B1∥AB，BC∥B1C1，且方向相同，由等角定理可得∠ABC＝∠A1B1C1.(2)如上圖在長方體ABCD－A1B1C1D1中，由長方體的性質可得：D1C1綊AB，∴四邊形ABC1D1為平行四邊形．∴AD1∥BC1且A1D1∥B1C1，并且方向相同，∴∠A1D1A＝∠B1C1B.8．直三棱柱ABC－A1B1C1中∠ACB＝90°，D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點．若BC＝CA＝CC1＝2，求異面直線BD1與AF1所成的角．解析：取BC中點G，連接F1G，AG，D1F1，則D1F1∥B1C1且D1F1＝eq\f(1,2)B1C1，又∵B1C1綊BC，G為BC的中點．∴D1F1綊BG，∴四邊形D1F1GB是平行四邊形，∴BD1∥F1G，∴∠AF1G(或其補角)為異面直線BD1與AF1所成的角．在Rt△ACG中，AG＝eq\r(AC2＋CG2)＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5).同理在Rt△BB1D1，Rt△A1AF1中可求BD1＝AF1＝eq\r(5).又BD1＝GF1，故△AGF1是等邊三角形，∴∠AF1G＝60°，∴異面直線BD1與AF1所成的角是60°.eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)如圖，已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點．(1)求證：E、F、G、H四點共面；(2)若四邊形EFGH是矩形，求證：AC⊥BD.證明：(