高中數(shù)學(xué)人教A版第一章集合與函數(shù)概念集合 優(yōu)秀作品

函數(shù)的概念及其表示法函數(shù)的定義：①傳統(tǒng)定義：在某一個變化過程中有兩個變量x和y，如果對于在某一個范圍內(nèi)的任一個x的值，都有唯一的y值與它對應(yīng)，則稱y是x的函數(shù)，x叫自變量，y叫因變量。②現(xiàn)代定義：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y=f（x），x∈A，其中x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f（x）|x∈A}叫做函數(shù)的值域。映射的定義：一般地，設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中的任何一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng)，那么，這樣的對應(yīng)（包括集合A、B，以及集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系f）叫做集合A到集合B的映射，記作f：A→B。如果集合A中的元素a對應(yīng)到集合B中的元素b，那么其中集合B中的元素b是集合A中元素a對應(yīng)的“象”；b是a的“原象”。由映射和函數(shù)的定義可知，函數(shù)是一類特殊的映射，它要求A、B非空且皆為數(shù)集。對應(yīng)有以下幾種形式：994133221130456090112233149123123456開平方求正弦求平方乘以2（1）（2）（3）（4）其中：一對多（如①）、多對一（如③）、一對一（如②、④）總結(jié)：①根據(jù)映射的定義知“一對多”（如①）不是映射；②A中每一個元素都有象；③B中每一個元素不一定都有原象，不一定只一個原象；④A中每一個元素的象唯一。函數(shù)的定義域：函數(shù)的定義域是自變量x的取值范圍，它是構(gòu)成函數(shù)的重要組成部分，如果沒有標明定義域，則認為定義域是使函數(shù)解析式有意義的或使實際問題有意義的x的取值范圍，但要注意，在實際問題中，定義域要受實際意義的制約。如：的定義域是非負實數(shù)；圓半徑R與面積S的函數(shù)關(guān)系的定義域為正數(shù)；的定義域是非零實數(shù)……注：求函數(shù)的定義域的常見類型當為整式時，定義域為Ｒ；當為分式時，定義域為使分母不為０的x的集合；當為二次根式時，定義域為使被開方式非負的x的集合；當是由幾個式子組成時，定義域是使得各個式子都有意義的x的值的集合。函數(shù)的對應(yīng)法則：對應(yīng)關(guān)系f是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征，y=f（x）的意義是：y就是x在關(guān)系到f下的對應(yīng)值，而f是“對應(yīng)”得以實現(xiàn)的方法和途徑。如：f(x)=3x+5，f表示自變量的3倍加上5。函數(shù)的值域：函數(shù)的值域：自變量在定義于內(nèi)取值時相應(yīng)的函數(shù)值的集合。求函數(shù)的值域的常用方法：1．觀察法求函數(shù)值域【例31】求下列函數(shù)值域：（1），（2），（3）（4）2．配方法求二次函數(shù)值域【例32】已知函數(shù)，分別求它在下列區(qū)間上的值域。（1）；（2）；（3）；（4）．提示：（1）函數(shù)的定義域不同，值域也不同；（2）二次函數(shù)的區(qū)間值域的求法：①配方；②作圖；③求值域。3．部分分式法求分式函數(shù)的值域（分離常數(shù)法）【例33】求函數(shù)的值域。4．利用“已知函數(shù)的值域”求值域【例34】求下列函數(shù)的值域：（1）；（2）；（3）；（4）．5．換元法求函數(shù)值域【例35】求函數(shù)的值域。6．判別式法求函數(shù)值域【例36】求函數(shù)的值域。兩個函數(shù)相等的定義：函數(shù)的定義含有三個要素，即定義域、值域和對應(yīng)法則。當函數(shù)的定義域及從定義域到值域的對應(yīng)法則確定之后，函數(shù)的值域也就隨之確定。因此，定義域和對應(yīng)法則為函數(shù)的兩個基本條件，當且僅當兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都分別相同時，這兩個函數(shù)才是同一個函數(shù)?！纠?7】試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？（1）f（x）=，g（x）=；（2）f（x）=，g（x）=（3）f（x）=，g（x）=；（4）f（x）=x2－2x－1，g（t）=t2－2t－1。提示：對于兩個函數(shù)來講，只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同，則這兩個函數(shù)就不可能是同一函數(shù)區(qū)間的概念：設(shè)a、b是兩個實數(shù)，且a<b，我們規(guī)定：滿足不等式a≤x≤b的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]；滿足不等式a＜x＜b的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為(a，b)；滿足不等式a≤x＜b和a＜x≤b的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為[a，b)、(a，b；實數(shù)集合R可以用區(qū)間表示為，“”讀作“無窮大”，“”讀作“負無窮大”。我們可以把滿足不等式的實數(shù)x的集合分別表示成。復(fù)合函數(shù)的定義域及其求法：若y=f(u),u=g(x),x(a,b),u(m,n),那么稱為復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域。①已知的定義域，求的定義域，其實質(zhì)是由的取值范圍求的范圍。②已知的定義域，求的定義域，其實質(zhì)是由的取值范圍求的范圍?！纠?8】已知的定義域是，求下列各函數(shù)的定義域：①； ②； ③函數(shù)的表示法：解析法：用數(shù)學(xué)表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。優(yōu)點：簡明；給自變量求函數(shù)值。圖像法：用圖像表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。優(yōu)點：直觀形象，反應(yīng)變化趨勢。列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系。優(yōu)點：不需計算就可看出函數(shù)值。具體實例如：二次函數(shù)等；股市走勢圖；列車時刻表；銀行利率表?！纠?9】某種細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，…，一直分裂下去．①用列表表示1個細胞分裂1、2、3、4、5、6、7、8次后，得到的細胞個數(shù)；②用圖像表示1個細胞分裂的次數(shù)n(nN＋)與得到的細胞個數(shù)y之間的關(guān)系。分段函數(shù)：有些函數(shù)在其定義域中，對于自變量x的不同取值范圍，對應(yīng)關(guān)系也不同，這樣的函數(shù)通常稱為分段函數(shù)。分段函數(shù)的表達式因其特點可以分成兩個或兩個以上的不同表達式，所以它的圖像也由幾部分構(gòu)成。但是分段函數(shù)雖然由幾部分構(gòu)成，但它代表的是一個函數(shù)。求分段函數(shù)的有關(guān)函數(shù)值的關(guān)鍵是“分段歸類”，即自變量的取值屬于哪一段，就用哪一段的解析式。作分段函數(shù)的圖像時，則應(yīng)分段分別作出其圖像，在作每一段圖像時，無不管定義域的限制，用虛線作出其圖像，再用實線保留定義域內(nèi)的一段圖像即可?！纠?0】某市郊空調(diào)公共汽車的票價按下列規(guī)則制定：⑴乘坐公共汽車5公里以內(nèi)，票價2元；⑵5公里以上，每增加5公里，票價增加1元（不足5公里按5公里計算）。 已知兩個相鄰的公共汽車站間相距為1公里，如果沿途（包括起點站和終點站）設(shè)20個汽車站，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖象。 設(shè)票價為y，里程為x，則根據(jù)題意，如果某空調(diào)汽車運行路線中設(shè)20個汽車站，那么汽車行駛的里程約為20公里，所以自變量x的取值范圍是。 由空調(diào)汽車票價制定的規(guī)定，可得到以下函數(shù)解析式： y=根據(jù)這個函數(shù)解析式，可畫出函數(shù)圖象（如圖）像上面那樣表示的函數(shù)稱為分段函數(shù)注意：１．表示函數(shù)的式式可以不止一個，對于分幾個式子表示的函數(shù)，不是幾個函數(shù)而是一個分段函數(shù)２．函數(shù)的圖象不一定是一條式幾條無限長的平滑曲線，也可以是一些孤立的點，一些線段，曲線。函數(shù)圖像的作法：①描點法；②變換作圖法（平移、對稱、其它）【例41】作出下列函數(shù)的圖像：①；②；③用代入法和待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式：①代入法：如已知，求時有：；②待定系數(shù)法：已知的函數(shù)類型，要示