高中數(shù)學(xué)蘇教版第二章平面向量單元測試（省一等獎）

2．2向量的線性運算2．向量的加法情景：請看如下問題：(1)如圖(1)，某人從A到B，再從B按原來的方向到C，則兩次位移的和eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))應(yīng)該是________．(2)如圖(2)，飛機從A到B，再改變方向從B到C，則兩次位移的和eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))應(yīng)該是________．(3)如圖(3)，船的速度是eq\o(AB,\s\up6(→))，水流速度是eq\o(BC,\s\up6(→))，則兩個速度的和eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))應(yīng)該是________．思考：從(1)(2)(3)的解答，你發(fā)現(xiàn)了一個什么規(guī)律？1．已知向量a、b在平面內(nèi)________，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up6(→))叫做a與b的和，記作________，即______________，求兩個向量和的運算，叫做____________，上述方法稱為向量加法的________．答案：是非零向量a＋ba＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))向量的加法三角形法則2．以同一點A為起點的兩個已知向量a、b為________作?ABCD，則以________________就是a與b的和，這種方法叫做向量加法的________．答案：鄰邊A為起點的對角線eq\o(AC,\s\up6(→))平行四邊形法則3．a(chǎn)＋b＝__________；(a＋b)＋c＝__________；a＋0eq\a\vs4\al(＝)________＝________．答案：b＋aa＋(b＋c)0eq\a\vs4\al(＋)aa4．向量的加法的幾何意義是______________________________．答案：滿足平行四邊形法則和三角形法則向量的加法1．向量加法的定義．已知向量a和b(如上圖)，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則eq\o(OB,\s\up6(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)).求兩個向量和的運算叫做向量的加法．對于零向量和任一向量a，有a＋0eq\a\vs4\al(＝)0eq\a\vs4\al(＋)a＝a.對于相反向量，有a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.2．向量加法運算律．向量的加法滿足交換律和結(jié)合律，即a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．3．向量加法運算的幾何意義．(1)向量加法的三角形法則．根據(jù)向量加法的定義得出的求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則．對三角形法則的理解：我們知道，向量加法的三角形法則是：若a＝eq\o(AB,\s\up6(→))，b＝eq\o(BC,\s\up6(→))，則a＋b＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))(如右圖所示)．向量加法的三角形法則的式子內(nèi)容是：兩個向量(均指用兩個字母表示的向量)相加，則表示第一個向量終點的字母與表示第二個向量起點的字母必須相同(否則無法相加)，這樣兩個向量的和向量是以第一個向量的起點的字母為起點，以第二個向量的終點的字母為終點的向量．位移的合成可以看做是向量加法三角形法則的物理模型(力的合成可以看做向量加法平行四邊形的物理模型)．(2)向量加法的平行四邊形法則．如右圖，以同一點O為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形，則以O(shè)為起點的對角線eq\o(OC,\s\up6(→))就是a與b的和．我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則．eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(鞏)eq\x(固)1．在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，則()A．ABCD一定為矩形B．ABCD一定為菱形C．ABCD一定為正方形D．ABCD一定為平行四邊形答案：D2．下列結(jié)論中，不正確的是()A．0＋a＝a\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))C．對于任意向量a，b，|a＋b|≥0D．對于任意向量a，b，||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|答案：B3．在矩形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))等于_____________________________．答案：eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))4．如右圖，已知四邊形ABCD是梯形，AB∥CD，E、F、G、H分別是AD、BC、AB、CD的中點，則eq\o(EF,\s\up6(→))等于________．答案：eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(DH,\s\up6(→))5．(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(OM,\s\up6(→))化簡后等于________．答案：eq\o(AC,\s\up6(→))\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝________．答案：0eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(級)7．已知△ABC是正三角形，則在下列各等式中不成立的是()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))|B．|eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|C．|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|D．|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))|解析：作出正三角形ABC，AD、CE分別是三角形的中線，利用平行四邊形法則：|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AD,\s\up6(→))|，|eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(CE,\s\up6(→))|.又∵△ABC為正三角形，∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(CE,\s\up6(→))|.故C項正確．A、D兩項直接利用三角形法則判斷也是正確的，只有B項不正確．答案：B8．如圖，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°.則在下列各結(jié)論中，正確的結(jié)論個數(shù)為________．①|(zhì)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|②|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|③|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|④|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|2解析：以eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AC,\s\up6(→))為鄰邊作平行四邊形ABDC，則ABDC為矩形，而矩形的對角線相等，故①③均正確，另外兩個可直接求解也是正確的．答案：4個9．向量a、b滿足|a|＝6，|b|＝10，則|a＋b|的最大值是________，最小值是________．(1)解析：當(dāng)a、b不共線時，如圖(1)，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b.由向量加法的幾何意義知|a＋b|＜|a|＋|b|＝16.當(dāng)a、b共線同向時，如圖(2)，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，由向量加法的幾何意義可知|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|a＋b|＝|a|＋|b|＝16.(2)當(dāng)a、b共線反向時：如圖(3)所示，作eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋b，由向量加法的幾何意義可知|a＋b|＝|b|－|a|＝10－6＝4，∴|a＋b|的最大值為16，最小值為4.(3)本題也可以直接利用||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|求解．答案：16410．如圖所示，用兩根繩子把重為10N的物體W吊在水平桿AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B處所受力的大小(繩子的重量忽略不計)．解析：設(shè)eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))分別表示A，B處所受的力，10N的重力用eq\o(CG,\s\up6(→))表示，則eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CG,\s\up6(→)).因為∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°，所以|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝|eq\o(CG,\s\up6(→))|cos30°＝10×eq\f(\r(3),2)＝5eq\r(3)(N)，|eq\o(CF,\s\up6(→))|＝|eq\o(CG,\s\up6(→))|cos60°＝10×eq\f(1,2)＝5(N)．故A和B處所受力的大小分別為5eq\r(3)N，5N.11．如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，求證：|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2.解析：如圖，由于∠BAC＝90°，AD⊥BC，因此，若以DB，DA為鄰邊作矩形ADBE，則|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DE,\s\up6(→))|，且eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→)).所以|eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(DE,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2.同理|eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，所以|eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|2，即|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝|eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))|2.12．如下圖：平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，P為平面內(nèi)任意一點，求證：eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\o(PD,\s\up6(→))＝4eq\o(PO,\s\up6(→)).證明：eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))，①eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→))，②eq\o(PO,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\