高中數(shù)學(xué)人教A版第一章集合與函數(shù)概念函數(shù)及其表示（全國(guó)一等獎(jiǎng)）

5．函數(shù)的表示方法曾勁松學(xué)習(xí)目標(biāo)1．會(huì)用解析法、圖象法、列表法表示函數(shù)，了解這三種表示方法的特點(diǎn)．2．了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用．3．了解映射的概念，理解函數(shù)是一類(lèi)特殊的映射．一、夯實(shí)基礎(chǔ)基礎(chǔ)梳理1．函數(shù)的表示方法解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．圖象法：用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．列表法：通過(guò)列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．2．分段函數(shù)如果函數(shù)，，根據(jù)自變量在中不同的取值范圍，有著__________，則稱(chēng)這樣的函數(shù)為分段函數(shù)．3．映射設(shè)是兩個(gè)__________集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)和紗，使對(duì)于集合中的任意一個(gè)元素，在集合中都有__________的元素與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng)：為從集合到集合的一個(gè)映射．4．題型分析（1）函數(shù)圖象的作法及應(yīng)用；（2）求函數(shù)的解析式；（3）函數(shù)的三種表示；（4）分段函數(shù)的求值、圖象；（5）映射的概念．基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．等腰三角形的周長(zhǎng)是20，底邊長(zhǎng)是一腰長(zhǎng)的函數(shù)，則（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)，分別由下表給出：則滿(mǎn)足的的值__________．1231311231313．如圖所示，液體從一圓錐形漏斗一圓柱形桶中，開(kāi)始時(shí)，漏斗盛滿(mǎn)液體，經(jīng)過(guò)3分鐘漏完，已知圓柱中液面上升的速度是一個(gè)常量，是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則與下落時(shí)間（分）的函數(shù)關(guān)系表示的圖象只可能是（）4．右圖中的圖象所表示的函數(shù)的解析式為（）．A．，B．，C．，D．，5．車(chē)管站在某個(gè)星期日保管的自行車(chē)和電動(dòng)車(chē)共500輛次，其中電動(dòng)車(chē)保管費(fèi)是每輛一次元，自行車(chē)保管費(fèi)是每次一輛元．（1）若設(shè)自行車(chē)停放的輛次數(shù)為，總的保管費(fèi)收入為元，試寫(xiě)出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）若估計(jì)前來(lái)停放的3500輛次自行車(chē)中，電動(dòng)車(chē)的輛次不小于，但不大于，試求該保管站這個(gè)星期日收入保管費(fèi)總數(shù)的范圍．二、學(xué)習(xí)指引自主探究1．根據(jù)函數(shù)定義，下列給出的從到的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系？（1）（2）五個(gè)學(xué)生的身高與其體重之間的關(guān)系如下表：1501501601651705055565560（3）某單位五位職工（用編號(hào)表示）與他們?cè)鹿べY收入（元）之間的關(guān)系如下表：1234535004550560056006000（4）某水文觀(guān)測(cè)站測(cè)得某河流在某天24小時(shí)中，水深與時(shí)間（小時(shí)）之間的關(guān)系如下圖所示：2．函數(shù)的三種基本表示方法，它們各自有什么特點(diǎn)？表示法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)解析法列表法圖象法3．（1）“每個(gè)函數(shù)都有解析式，研究函數(shù)就是研究函數(shù)解析法”這種說(shuō)法對(duì)嗎？試舉例說(shuō)明．（2）每個(gè)能用解析法表示的函數(shù)都可以只用一個(gè)數(shù)學(xué)式子來(lái)表示嗎？4．（1）集合，，從到的映射滿(mǎn)足，那么這樣的映射有多少個(gè)？（2）下列對(duì)應(yīng)關(guān)系，是否為從到的映射？如果是從到的映射，那么能否建立從到的函數(shù)？①，，；②，，，其中是的小數(shù)部分．回答上題，并體會(huì)映射與函數(shù)的關(guān)系．5．動(dòng)手實(shí)驗(yàn)：研究函數(shù)與（其中是不為0的常數(shù)）．（1）請(qǐng)你取一個(gè)的值，將對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象畫(huà)出來(lái)（如下圖）．你也可以利用軟件《幾何畫(huà)板》畫(huà)圖．（2）研究取不同的值時(shí)，函數(shù)與圖象的特點(diǎn)，將函數(shù)表示為分段函數(shù)的形式，并寫(xiě)出其值域．（3）猜想圖象會(huì)有什么特點(diǎn)？（4）觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)：函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)．（5）的圖象是一條折線(xiàn)，共有個(gè)折點(diǎn)，讓每一個(gè)絕對(duì)值等于零，我們就可以得到這引起折點(diǎn)的橫坐標(biāo)．案例分析1．某種筆記本的單價(jià)是5元，買(mǎi)個(gè)筆記本需要元，試用三種表示法表示函數(shù)．【解析】這個(gè)函數(shù)的定義域是，用解析法可將函數(shù)表示為：．用列表法可將函數(shù)表示為：筆記本數(shù)12345錢(qián)數(shù)510152025用圖象可將函數(shù)表示為（如右圖）：注：本例的設(shè)問(wèn)，此處“”有三種含義，它可以是解析表達(dá)示，可以是圖象，也可以是對(duì)應(yīng)值表，本題的定義域是有限集，且僅有5個(gè)元素．2．下表是某高校高一（1）班三位同學(xué)在高一學(xué)年度幾次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)及班級(jí)平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班平均分請(qǐng)你對(duì)這三位同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個(gè)分析．【解析】把“成績(jī)”看成“測(cè)試序號(hào)”的函數(shù)，用圖象法表示函數(shù)，如圖所示．由圖可看到：王偉同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)始終高于班級(jí)平均分，學(xué)習(xí)情況比較穩(wěn)定而且成績(jī)優(yōu)秀；張城同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)不穩(wěn)定，總是在班級(jí)平均分水平上下波動(dòng)，而且波動(dòng)幅度較大：趙磊同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)呈上升趨勢(shì)，表明他的數(shù)學(xué)成績(jī)和穩(wěn)步提高．說(shuō)明：本題主要考查根據(jù)實(shí)際情境需要選擇恰當(dāng)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．為了研究學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，將離散的點(diǎn)用虛線(xiàn)連接，這樣便于研究成績(jī)的變化特點(diǎn)．通過(guò)本題可見(jiàn)，圖象法比列表法和解析法更能直觀(guān)反映函數(shù)值的變化趨勢(shì)．3．水池有2個(gè)進(jìn)水口，1個(gè)出水口，每個(gè)水口進(jìn)出水的速度如圖甲、乙所示．某天0點(diǎn)到6點(diǎn)，該水池的蓄水量如圖丙所示．給出以下三個(gè)論斷：①0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水；②3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水；③4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水．其中一定正確的論斷是（）．A．① B．①② C．①③ D．①②③【答案】A．【解析】由圖甲可看出：如果進(jìn)水口與出水口同時(shí)打開(kāi)，每個(gè)進(jìn)水口的速度為出水口速度的一半，即；由圖丙可看出在0點(diǎn)到3點(diǎn)之間蓄水量以速度2勻速增加，所以在此時(shí)間段內(nèi)一定是兩個(gè)進(jìn)水口均可打開(kāi)，出水口關(guān)閉，故①正確．由圖丙可看出：在3點(diǎn)到4點(diǎn)之間蓄水量以速度1勻速減少，所以在此時(shí)間段內(nèi)一定是一個(gè)進(jìn)水口打開(kāi)，出水口打開(kāi)，故②正確．由圖丙可看出：在4點(diǎn)到6點(diǎn)之間蓄水量不變，所以在此時(shí)間段內(nèi)一定是兩個(gè)進(jìn)水口打開(kāi)，出水口打開(kāi)，或者兩個(gè)進(jìn)水口關(guān)閉，出水口關(guān)閉，故③不正確．綜上所述論斷僅有①正確．4．如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正方形的邊上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)沿折線(xiàn)移動(dòng)一周后，回到點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)移動(dòng)的路程為，的面積為（可取0）．（1）求函數(shù)的解析式；（2）畫(huà)出函數(shù)的圖象；（3）求函數(shù)的值域．【解析】（1）當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，即，則；當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，即，則；當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，即，則；當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，即，則．綜上所述：函數(shù)的解析式為（2）函數(shù)的圖象如圖所示：（3）由函數(shù)圖象可知，函數(shù)的值域是．三、能力提升1．（1）畫(huà)出=的圖象，①若，試比較與的大?。谑欠翊嬖冢沟?？（2）畫(huà)出的圖象，①若，試比較與的大小；②利用圖象解不等式；③若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．2．如圖，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，記位于直線(xiàn)左側(cè)的圖形的面積為．（1）試求函數(shù)的解析式；（2）畫(huà)出函數(shù)的圖象．3．已知函數(shù)且，，試研究關(guān)于的方程實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)．拓展遷移4．若函數(shù)則方程的解為_(kāi)_________．5．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，其值為正，時(shí)，其值為負(fù)，求的值及的表達(dá)式；（2）設(shè)，為何值時(shí)，函數(shù)的值恒為負(fù)值？挑戰(zhàn)極限6．對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，規(guī)定取，，三個(gè)值中的最小值．（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并畫(huà)出此函數(shù)的圖象；（2）為何值時(shí)，最大？最大值是多少？（3）由圖象可知：當(dāng)時(shí)，最大，其最大值為．課程小結(jié)1．函數(shù)有三種基本表示方法：解析法、列表法、圖象法．2．描點(diǎn)法畫(huà)函數(shù)圖象應(yīng)注意：（1）先確定函數(shù)的定義域與值域（甚至可以初步考慮函數(shù)圖象所在的象限）；（2）列表時(shí)，注意函數(shù)值隨自變量的變化規(guī)律；（3）連線(xiàn)要用光滑的曲線(xiàn)（離散的點(diǎn)則不要連）．3．要能利用函數(shù)圖象，直觀(guān)地了解函數(shù)的某些性質(zhì)，如值域，函數(shù)值大小關(guān)系，方程的解，不等式的解集等．4．對(duì)于分段函數(shù)，要會(huì)分析它的定義域、值域、最值等，能根據(jù)函數(shù)值求相應(yīng)的自變量，并會(huì)畫(huà)出它的圖象，帶有絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)一般采用零點(diǎn)分段法（讓每一個(gè)絕對(duì)值等于零，解出相應(yīng)的）去絕對(duì)值符號(hào)，把函數(shù)變?yōu)榉侄魏瘮?shù)，再來(lái)分段畫(huà)出．5．會(huì)根據(jù)實(shí)際情境建立函數(shù)模型．想一想1．映射是函數(shù)嗎？2．分段函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，那么分段函數(shù)是由幾個(gè)函數(shù)構(gòu)成的嗎？3．是否所有函數(shù)都可以用解析法、列表法、圖象法三種形式表示？

5．函數(shù)的表示方法基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)2．分段函數(shù)：不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系3．映射：非空，唯一確定．基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．．【解析】∵，∴，則，∴．由構(gòu)成三角形的條件（兩邊之和大于第三邊）可知，得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋裕?．．3．．4．．5．【解析】（1）由題意得．（2）若電動(dòng)車(chē)的輛次不小于，但不大于，則，即，畫(huà)出函數(shù)的圖象，可得函數(shù)，的值域是，即收入在元至元之間．說(shuō)明：本題主要考查函數(shù)的解析式和值域，以及應(yīng)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．解函數(shù)應(yīng)用題的步驟是：①審清題意讀懂題；②恰當(dāng)設(shè)未知數(shù)；③列出函數(shù)解析式，并指明定義域；④轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，并解決函數(shù)問(wèn)題；⑤將數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案還原為實(shí)際答案．自主探究1．【解析】（1）（3）（4）是函數(shù)，（2）不是函數(shù)．2．【解析】這三種表示方法的特點(diǎn)如下：表示法優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)解析法簡(jiǎn)明、全面概括了變量間的關(guān)系；容易求出任意一個(gè)自變量的值所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．不夠形象、直觀(guān)、具體，而且并不是所有的函數(shù)都能用解析式表示出來(lái)．列表法簡(jiǎn)潔明了，函數(shù)的“輸入值”與“輸出值”一目了然．只能表示自變量取較少的有限值的對(duì)應(yīng)關(guān)系．圖象法直觀(guān)地反映函數(shù)值隨自變量的變化的趨勢(shì)．只能近似地求出自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值．3．【解析】（1）并不是每個(gè)函數(shù)都可以用解析法來(lái)表示，有的函數(shù)用解析法表示將會(huì)很煩瑣且沒(méi)有必要．如：任一自然數(shù)與其各位上的數(shù)字之和之間的關(guān)系，是一個(gè)函數(shù)關(guān)系，這個(gè)函數(shù)的作用就是計(jì)算任一自然數(shù)的各位上的數(shù)字之和，這個(gè)函數(shù)用解析法來(lái)表示就很不方便．又如把某單位全體職工編號(hào)，分別為，則職工的月工資與其編號(hào)之間能形成函數(shù)關(guān)系，這個(gè)函數(shù)關(guān)系用解析式表示也很不方便，而用列表法表示則非常好；又如把質(zhì)數(shù)按從小到大的方式排列，并依次編號(hào)為則質(zhì)數(shù)與其編號(hào)之間形成了一個(gè)函數(shù)關(guān)系，此函數(shù)關(guān)系到目前為止，還沒(méi)有人能找到解析表達(dá)式；又如某天某股票成交價(jià)格與時(shí)間之間也形成一個(gè)函數(shù)關(guān)系，我們可以用函數(shù)圖象來(lái)表示這種變化關(guān)系，但無(wú)法用解析式表示．綜上所述：我們可以通過(guò)解析式研究函數(shù)，也可以通過(guò)表格或圖象研究函數(shù)關(guān)系，研究函數(shù)就是研究函數(shù)解析法這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的．（2）并不是每個(gè)能用解析法表示的函數(shù)都可以只用一個(gè)數(shù)學(xué)式子來(lái)表示．如圖所表示的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)如果要用解析法來(lái)表示，就必須分成兩段，該函數(shù)為：通常，我們稱(chēng)這種函數(shù)為分段函數(shù)，其特征是，在定義域的不同部分上，函數(shù)的解析式不同．但我們必須明確，分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而不是多個(gè)函數(shù)．4．【解析】（1）個(gè)．（2）①是，不能．②是，能．說(shuō)明：認(rèn)真理解映射的概念，知道什么是一個(gè)映射．5．動(dòng)手實(shí)驗(yàn)：【解析】（1）取，得或的圖象如下：（2）觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)；函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)．（3）的圖象是一條折線(xiàn)，共有個(gè)折點(diǎn)，讓每一個(gè)絕對(duì)值等于零，我們就可以得到這些折點(diǎn)的橫坐標(biāo)．能力闖關(guān)1．【解析】（1）①．②．（2）．②或．兩函數(shù)圖象如下．③不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立等價(jià)于函數(shù)所有函數(shù)值都大于，這又等價(jià)于函數(shù)最小函數(shù)值都大于．由函數(shù)圖象可知最小函數(shù)值為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．說(shuō)明：本題解法中應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，這些數(shù)學(xué)思想對(duì)于解決函數(shù)問(wèn)題極為重要．2．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．綜上，（2）畫(huà)出函數(shù)的圖象如右：3．【解析】有得①，由得②，由①②解之，則或解得或或，綜上知方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根．注：本題也可以畫(huà)出函數(shù)圖象進(jìn)行判斷，關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根就是函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)．因此本問(wèn)題等價(jià)于觀(guān)察函數(shù)與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)．拓展遷移4．或．【解析】或或