高中數學人教A版1圓錐曲線性質的探討一平行射影

平行射影同步檢測一、選擇題1.△ABC在平面α上的正射影是（）A.三角形 B.直線C.線段 D.三角形或線段答案：D解析：解答：當△ABC所在平面垂直于α時,△ABC在α上的正射影是一條線段,否則是三角形.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影的性質分析即可2.兩條異面直線m和n在平面α上的平行射影是（）A.一條直線和直線外一個點B.兩條相交直線C.兩條平行直線D.以上都有可能答案：D解析：解答：當m和n中有一條直線與投影方向平行時,它們的平行射影是一個點和一條直線;否則是兩條平行直線或相交直線.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影的性質分析即可3.下列說法正確的是（）A.正射影和平行射影是兩種截然不同的射影B.投影線與投影平面有且只有一個交點C.投影方向可以平行于投影平面D.一個圖形在某個平面上的平行射影是唯一的答案：B解析：解答：正射影是平行射影的特例,本質是相同的,故選項A錯誤;投影線與投影平面只能相交,選項B是正確的,選項C是錯誤的;一個圖形在一個平面上的平行射影與投影方向有關,方向改變了,就可能得到不同的平行射影,故選項D錯誤分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影的性質結合所給選項分析即可4.如果一個三角形的平行射影仍是一個三角形,則下列結論正確的是（）A.內心的平行射影還是內心B.重心的平行射影還是重心C.垂心的平行射影還是垂心D.外心的平行射影還是外心答案：A解析：解答：三角形的平行射影仍是三角形,但三角形的形狀可能會發(fā)生變化,此時三角形的各頂點、各邊的位置也會發(fā)生變化,其中重心、垂心、外心這些由頂點和邊確定的點會隨著發(fā)生變化,而中位線上三等分點的等分比例性質不變,內心射影前后相對的位置關系不變.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影的性質結合三角形的性質分析即可5.線段AB,CD在同一平面內的正射影相等,則線段AB,CD的長度關系為（）>CD <CD=CD D.無法確定答案：D解析：解答：由于線段AB,CD與平面所成的角未定,雖然正射影相等,但線段AB,CD的長度無法確定,故它們的長度關系也無法確定.故選D.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影一個圖形在一個平面上的正射影與圖形和平面的位置有關6.一個圖形的正射影是一條線段,這個圖形不可能是（）A.線段 B.圓 C.梯形 D.長方體答案：D解析：解答：當線段、圓、梯形所在的平面與投影面垂直時,它們的正射影都是一條線段,很明顯長方體的正射影不可能是一條線段分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影的性質結合所給幾何圖形分析即可7.下列說法正確的是（）A.平行射影是正射影B.正射影是平行射影C.同一個圖形的平行射影和正射影相同D.圓的平行射影不可能是圓答案：B解析：解答：正射影是平行射影的特例,則選項A不正確,選項B正確;對同一個圖形,當投影線垂直于投影面時,其平行射影就是正射影,否則不相同,則選項C不正確;當投影線垂直于投影面,且圓面平行于投影面時,圓的平行射影是圓,則選項D不正確分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影的原理分析即可8.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是BB1,BC的中點,則圖中陰影部分在平面ADD1A1上的正射影為下列各圖中的（）A．B．C．D．答案：A解析：解答：點D在平面ADD1A1上的正射影是它本身;點M在平面ADD1A1上的正射影是AA1的中點;點N在平面ADD1A1上的正射影是AD的中點,則陰影部分在平面ADD1A1上的正射影為選項A中的圖形.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影的性質結合所給選項分析即可9.直線l在平面α上的正射影是（）A.點 B.線段 C.直線 D.點或直線答案：D解析：解答：當l⊥α時,正射影是一個點,否則是一條直線分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影結合所給直線分析即可10.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形A1ABB1在平面ABCD上的正射影是（）A.四邊形ABCD B.線段ABC.△ABC D.線段A1B1答案：B解析：解答：由于平面A1ABB1⊥平面ABCD,則四邊形A1ABB1在平面ABCD上的正射影是線段AB分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影的性質結合所給長方體的性質分析即可11.兩條相交直線的平行射影是（）A.兩條相交直線 B.一條直線C.一條折線 D.兩條相交直線或一條直線答案：D解析：解答：兩條相交直線確定一個平面,若這個平面與投影方向不平行,則兩條相交直線的平行射影為兩條相交直線.若這個平面與投影方向平行,則兩條相交直線的平行射影為一條直線.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影的性質結合直線相交的關系分析即可12.下列結論中正確的是（）①圓的平行射影可以是橢圓,但橢圓的平行射影不可能是圓;②平行四邊形的平行射影仍然是平行四邊形;③兩條平行線段之比等于它們的平行射影（不是點）之比;④圓柱與平面的截面可以看作是底面的平行射影,反之亦然.A.①② B.②③ C.③④ D.②③④答案：C解析：解答：由于平面圖形的平行射影具有可逆性,即當一平面圖形所在平面與投影平面不垂直時,該圖形與其平行射影可以相互看作為對方的平行射影,只是投影方向相反罷了,因而①是錯誤的,④是正確的.當平行四邊形所在平面平行于投影方向時,平行四邊形的平行射影是一條線段,故②錯誤.很明顯③正確.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影的性質結合所給幾何圖形分析即可13.Rt△ABC的斜邊BC在平面α內,則△ABC的兩條直角邊在平面α內的正射影與斜邊組成的圖形只能是（）A.一條線段B.一個銳角三角形或一條線段C.一個鈍角三角形或一條線段D.一條線段或一個鈍角三角形答案：D解析：解答：①當頂點A在平面α內的正射影A'在BC所在直線上時,兩條直角邊在平面α內的正射影是一條線段,與斜邊組成的圖形是線段,如圖①.②當頂點A在平面α內的正射影A'不在BC所在直線上時,如圖②.∵AA'⊥α,∴AA'⊥A'B,AA'⊥A'C.∴A'B<AB,A'C<AC.在Rt△ABC中,AB2+AC2=BC2,∴BC2>A'B2+A'C2.∴A'B2+A'C2-BC2<0.∴∠BA'C為鈍角,∴△A'BC為鈍角三角形.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影的性質結合所給幾何關系分析即可14.已知a,b為不垂直的異面直線,α是一個平面,則a,b在α上的射影有可能是:①兩條平行直線;②兩條互相垂直的直線;③同一條直線;④一條直線及其外一點.在上面的結論中,正確的個數是（） 答案：C解析：解答：如圖,不垂直的異面直線DC1,AB在平面A1B1C1D1上的射影是平行直線;DC1與BB1在平面A1B1C1D1上的射影是一條直線及其外一點;A1E與DC1在平面A1B1C1D1上的射影是兩條互相垂直的直線,故①②④正確.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影結合所給直線關系構造模型分析即可15.Rt△ABC的直角邊AB在平面α內，頂點C在平面α外，則直角邊BC、斜邊AC在平面α上的射影與直角邊AB組成的圖形是（）A.線段或銳角三角形B.線段與直角三角形C.線段或鈍角三角形D.線段、銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形答案：B解析：解答：若平面ABC與α垂直，則直角邊BC、斜邊AC在平面α上的射影即為線段AB，若平面ABC與α不垂直，令直角邊BC在平面α上的射影BC′，由三垂線定理可得BC′⊥AB；故直角邊BC、斜邊AC在平面α上的射影與直角邊AB組成的圖形為直角三角形故選B.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是由已知中Rt△ABC的直角邊AB在平面α內，頂點C在平面α外，我們分平面ABC與α垂直和平面ABC與α不垂直兩種情況，分別討論直角邊BC、斜邊AC在平面α上的射影與直角邊AB組成的圖形，即可得到答案二、填空題16.一個等腰直角三角形在平面內的正投影可能是．答案：線段或三角形解析：解答：當直角三角形和平面垂直的時候，其投影為一條線段，當直角三角形與平面的夾角不為90°時，其投影為三角形．故答案為：線段或三角形分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影性質結合三角形的位置分情況探討各線段的投影即可17.如圖所示，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，則線段DO的長等于．答案：3解析：解答：連接OC，∵圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，∴CD⊥BD，設圓半徑為r，在Rt△ODC中，CD=4，OD=8﹣r，OC=r，∴16+（8﹣r）2=r2，解得r=5．∴線段DO=8﹣5=3．故答案為：3．分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影連接OC，由圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，CD=4，BD=8，知CD⊥BD，設圓半徑為r，在Rt△ODC中，則16+（8﹣r）2=r2，解得r=5．由此能求出線段DO的長．18.如圖，一個廣告氣球被一束入射角為α的平行光線照射，其投影是一個長半軸為5m的橢圓，則制作這個廣告氣球至少需要的面料是．答案：100πcos2αm2解析：解答：∵長半軸為OA=5，∠AOB=α，設氣球半徑為r，則r=5cosα，∴S=4πr2=100πcos2αm2．故答案：100πcos2αm2．分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影根據平行投影的性質，我們可得氣球與投影所得橢圓之間的關系為：橢圓的短軸長等于球半徑，橢圓的長軸長等與球半徑除以cosα，根據橢圓的長半軸為5m，我們易求出廣告氣球的半徑，進而得到球的表面積，即制作這個廣告氣球需要的面料．19.如圖,點E,F分別為正方體的面ADD1A1,面BCC1B1的中心,則四邊形BFD1E在該正方體的面上的正射影可能是.（要求:把可能的圖的序號都填上）答案：②③解析：解答：對四邊形BFD1E在正方體的六個面上的正射影都要考慮到,并且對于圖形要考慮所有點的正射影,又知線段由兩個端點唯一確定,故考查四邊形BFD1E的射影,只需同時考查點B,F,D1,E在各個面上的正射影即可.四邊形BFD1E在平面ABB1A1,平面CDD1C1,平面ABCD和平面A1B1C1D1上的正射影均為圖②;四邊形BFD1E在平面ADD1A1和平面BCC1B1上的正射影均為圖③.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影結合所給選項分析即可20.梯形ABCD中,AB∥CD,若梯形不在平面α內,則它在平面α上的平行射影是.答案：一條線段或一個梯形解析：解答：如果梯形ABCD所在平面平行于投影方向,則梯形ABCD在平面α上的平行射影是一條線段.如果梯形ABCD所在平面不平行于投影方向,由于平行線的平行射影仍是平行線,不平行的直線的平行射影仍不平行,則梯形ABCD在平面α內的平行射影仍是梯形.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影結合所給線面關系分析即可21.關于直角∠AOB在平面α內的平行射影有如下判斷:①可能是0°的角;②可能是銳角;③可能是直角;④可能是鈍角;⑤可能是180°的角,其中正確判斷的序號是.答案：①②③④⑤解析：解答：設直角∠ABC所在平面為β,當β與投影方向平行時,直角∠AOB在平面α內的平行射影為一條射線或一條直線;當β與投影方向不平行時,直角∠AOB在平面α內的平行射影為一個角,并且該角可以是銳角、直角或鈍角.因而①②③④⑤都對.分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影的原理結合所給選項分析即可22.如圖,設C是線段AB上任意一點,點C',A',B'分別是點C,A,B沿直線l的方向在平面α上的平行射影.若AC=4,CB=6,則=.答案：解析：解答：∵AA'∥l,BB'∥l,CC'∥l,∴AA'∥BB'∥CC'.由平行線分線段成比例定理,得分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影的性質結合所給條件運用平行線分線段成比例定理分析即可三、解答題23.已知P為△ABC外一點,且PA=PB=PC.求證:點P在平面ABC內的射影為△ABC的外心.答案：解答：如圖,過點P作PO⊥平面ABC于點O,連接OA,OB,OC,則點O為點P在平面ABC內的射影.∵PA=PB,PO=PO,∴Rt△PAO≌Rt△PBO,∴AO=BO.同理可得BO=CO,∴AO=BO=CO,∴點O為△ABC的外心,即點P在平面ABC內的射影是△ABC的外心.解析：分析：本題主要考查了平行射影，解決問題的關鍵是根據平行射影的原理結合所給幾何關系，分析即可24.如圖,已知DA⊥平面ABC,△ABC是斜三角形,點A'是點A在平面BCD上的正射影,求證:點A'不可能是△BCD的垂心.答案：解：假設點A'是△BCD的垂心,則A'B⊥CD.∵AA'⊥平面BCD于點A',則AB⊥CD.又∵DA⊥平面ABC,則AB⊥AD,∴AB⊥平面ADC,∴AB⊥AC,這與條件△ABC是斜三角形矛盾,故點A'不可能是△BCD的垂心解析：分析：本