2021高考數(shù)學復習專題 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系(文 精講)

ππ專題8.3

空間點、線、平面之的位置關(guān)系【情析1.理解空間直線、平面位置關(guān)系定義；2.了解可以作為推理依據(jù)的公理定理；3.能運用公理、定理和已獲得的論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命.【點識理知點平面基性(1)公理：果一條直線上的點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．(2)公理：不在一條直線上三點，有且只有一個平注：三點不一定能確定一個平．推論：經(jīng)過一條直線和直線外點，有且只有一個平面．推論：經(jīng)過兩條相交直線，有只有一個平面．推論：經(jīng)過兩條平行直線，有只有一個平面．(3)公理：果兩個不重合的面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．知點空間兩線位關(guān)(1)空間中兩直線的位置關(guān)系共面直異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)(1)兩條異面直線不能確定一個面．(2)不能把異面直線誤解為分別不同平面內(nèi)的兩條直.(2)異面直線所成的角①定義：設，是條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作線a′①，′①，把與b所的銳角或角叫做異面直線a成的角或夾．①范圍：，.2(3)公理：行于同一條直線兩條直線互相平行．(4)定理：空間中如果兩個角的邊分別對應平行，那么

這兩個角相等或互補．(1)如果一個角的兩邊與另一個的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等．(2)如果一個角的兩邊與另一個的兩邊分別平行，并且其中一組方向相同，另一組方向相反，那么這

兩個角互補．(3)如果一個角的兩邊與另一個的兩邊分別平行，并且方向都相反，那么這兩個角相等．知點空間直與面平與面位關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相、平行、在平面內(nèi)三種情況．(2)平面與平面的位置關(guān)系有平、相交兩種情況．【識備1．唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條線與已知直線平行．(2)過直線外一點有且只有一個面與已知直線垂直．(3)過平面外一點有且只有一個面與已知平面平行．(4)過平面外一點有且只有一條線與已知平面垂直．2．異面直線的兩個結(jié)論(1)平面外一點A與面內(nèi)一點B的線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的線是異面直線．(2)分別在兩個平行平面內(nèi)的直平行或異面．【型分】高考一

平的本質(zhì)應【例】（2020·湖襄陽五中模擬）以下命題中，正確命題的個數(shù)(①不共面的四點中，其中任意點不共線；①若點A，，D共，A，共面，則A，C，共面；①若直線a，共面，直線a，共面，則直線，c面；①依次首尾相接的四條線段必面．A．B．．．【方法技巧】證明點線共面問題的兩種方法(1)先由所給條件中的部分或點)確定一個平面，然后再證其的線()在這個平面內(nèi)(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重.證明點線問題的兩種方法：先兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；(2)直接證

111111明這些點都在同一條特定直線如某兩個平面的交線上證明線點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該.【變式探究】（2020·江啟東中學模擬）如圖，正方體ACD中，，分是AB和AA的中點．求證：

1①，，，四點共面；1①，F(xiàn)DA三線共點．1高考二

判空直的置系【例2【全國Ⅲ卷】如圖，點N為方形ABCD的心eq\o\ac(△,，)為三角形，平面⊥面ABCD，M是段ED中點，()ABM，且直線BMEN是相交直線B．BM，直線BM，是相交直線C．BM=，且直線BM是異面直線D．EN且直線BM，是異面直線【方法技巧】異面直的判定方法：(1)反證法：先假設兩條直線不是面直線，即兩條直線平行或相交，由假設出發(fā)，經(jīng)過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設，肯定兩條直線異.(2)定理：平面外一點與平面內(nèi)一點的線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的線是異面直.點、線面位置關(guān)系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認識空間點、線、面的位置關(guān)系。

11111111111111111【變式探究】（2020·四綿陽中學模擬）如圖，在正方體BCD中點E，分在A，AC上且E＝ED＝，EF與BD的置關(guān)系()11A．交不垂直B相交且垂直C異面D．行高考三

異直所的【例浙卷圖棱臺ABC中①ACB①ACD=45°．（）明①DB（）DF與面DBC所角的正弦值．【變式探究全國Ⅱ卷在長方體－ABD中＝＝，AA＝3則異面直線AD與DB所角的余弦值)

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52C.D.52【方法技巧】用平移法求異面直線所成角的一般步驟：

11111111111(1)作角用移法找或作)出符合題意的角；(2)求角轉(zhuǎn)為求一個三角形內(nèi)角，通過解三角形，求出角的大.【舉一反三(2018·全卷Ⅱ)在正方體－D中，E為棱CC的點，則面直線與所成角的切值()C.

【變式探究寧大連模擬）如圖，在長方體ABCDBD中＝，＝，＝，是的點，則異面直線與PD所的角等()A．C60°

B．45°D．專題8.3

空間點、線、平面之的位置關(guān)系【情析1.理解空間直線、平面位置關(guān)系定義；2.了解可以作為推理依據(jù)的公理定理；3.能運用公理、定理和已獲得的論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命.【點識理知點平面基性(1)公理：果一條直線上的點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．(2)公理：不在一條直線上三點，有且只有一個平注：三點不一定能確定一個平．推論：經(jīng)過一條直線和直線外點，有且只有一個平面．推論：經(jīng)過兩條相交直線，有只有一個平面．推論：經(jīng)過兩條平行直線，有只有一個平面．

ππ(3)公理：果兩個不重合的面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線．知點空間兩線位關(guān)(1)空間中兩直線的位置關(guān)系共面直異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)(1)兩條異面直線不能確定一個面．(2)不能把異面直線誤解為分別不同平面內(nèi)的兩條直.(2)異面直線所成的角①定義：設，是條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作線a′①，′①，把與b所的銳角或角叫做異面直線a成的角或夾．①范圍：，.2(3)公理：行于同一條直線兩條直線互相平行．(4)定理：空間中如果兩個角的邊分別對應平行，那么

這兩個角相等或互補．(1)如果一個角的兩邊與另一個的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等．(2)如果一個角的兩邊與另一個的兩邊分別平行，并且其中一組方向相同，另一組方向相反，那么這兩個角互補．(3)如果一個角的兩邊與另一個的兩邊分別平行，并且方向都相反，那么這兩個角相等．知點空間直與面平與面位關(guān)系(1)直線與平面的位置關(guān)系有相、平行、在平面內(nèi)三種情況．(2)平面與平面的位置關(guān)系有平、相交兩種情況．【識備1．唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條線與已知直線平行．(2)過直線外一點有且只有一個面與已知直線垂直．(3)過平面外一點有且只有一個面與已知平面平行．(4)過平面外一點有且只有一條線與已知平面垂直．2．異面直線的兩個結(jié)論(1)平面外一點A與面內(nèi)一點B的線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的線是異面直線．(2)分別在兩個平行平面內(nèi)的直平行或異面．

11111【型分】高考一

平的本質(zhì)應【例】（2020·湖襄陽五中模擬）以下命題中，正確命題的個數(shù)(①不共面的四點中，其中任意點不共線；①若點A，，D共，A，共面，則A，C，共面；①若直線a，共面，直線a，共面，則直線，c面；①依次首尾相接的四條線段必面．A．．．．【答案B【解析①正，可以用反證法證明，假設任意三點共線，則四個點必共面，與共面的四點矛盾中若點A，在同一條直線上，則A，，，D不定共面，故錯誤；①，直線bc可是異面直線，故①錯；①，當四條線段構(gòu)成空間四邊形時，四條線段不面，①誤．【方法技巧】證明點線共面問題的兩種方法(1)先由所給條件中的部分或點)確定一個平面，然后再證其的線()在這個平面內(nèi)(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重.證明點線問題的兩種方法：先兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；(2)直接證明這些點都在同一條特定直線如某兩個平面的交線上證明線點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該.【變式探究】（2020·江啟東中學模擬）如圖，正方體ACD中，，分是AB和AA的中點．求證：

1①，，，四點共面；1

1111111111111①，F(xiàn)DA三線共點．1【證明】①如圖，連接，CD，B.①，分是AB，的點，1①①BA.1又AB①C①EF①，①，，，四點共面．1①①①，<CD，11①與DF必交，設交點為P，1則由①線CE，①面ABCD，得P平面.同理①面A.又平面∩平面ADDA＝，①①線，①，DFDA三共點．1高考二

判空直的置系【例2【全國Ⅲ卷】如圖，點N為方形ABCD的心eq\o\ac(△,，)為三角形，平面⊥面ABCD，M是段ED中點，()

1111111111ABM，且直線BMEN是相交直線B．BM，直線BM，

是相交直線C．BM=，且直線BM是異面直線D．EN且直線BM，是異面直線【答案B【解析】如圖所示，作

EOCD

于

O

，連接ON，，得直線，是角形EBD的線，是相交直線過作OD于F，接BF，平面

平面

平面

CDE

平面

ABCD

平面

ABCD

，MFB

△EON均為直角三角．設正方長為2易知EO3,EN2，5BF,BM，BM

，故選B．【方法技巧】異面直的判定方法：(1)反證法：先假設兩條直線不是面直線，即兩條直線平行或相交，由假設出發(fā)，經(jīng)過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設，肯定兩條直線異.(2)定理：平面外一點與平面內(nèi)一點的線和平面內(nèi)不經(jīng)過點B的線是異面直.點、線面位置關(guān)系的判定，要注意幾何模型的選取，常借助正方體為模型，以正方體為主線直觀感知并認識空間點、線、面的位置關(guān)系?！咀兪教骄俊浚?020·四綿陽中學模擬）如圖，在正方體BCD中點E，分在A，

11111111AC上且E＝ED＝，EF與BD的置關(guān)系()11A．交不垂直B相交且垂直C異面D．行【答案D【解析】連接E并長，與AD交點，由EED，可得為AD的點，連接BF并長，交AD于N因為CF＝，可得N為的點，所以，重合，所以EF和MEMF1MEMFBD共，且＝，＝，以＝，所以①，選D.ED2ED11高考三

異直所的【例浙卷圖棱臺ABC中①ACB①ACD=45°．

（）明①DB（）DF與面DBC所角的正弦值．【答案證明見解析）【解析】

（）作

AC

交

于H，接BH．①平面ADFC平面，而平面ADFC

平面ABCAC，平面ADFC，①DH面

，而

平面

，即有

．①

ACBACD45

，①

CD

22CHBC．在

CBH

中BH

2

CH

2

BC

2

cos45

2

有

2

BC

2

CH

2

BHBC

．由棱臺的定義可知，

EF/

，所以DHEF，BHEF，

H

，①EF面BHD，而平BHD，①EF（）因為//CH

，所以DF與面

DBC

所成角即為與

CH

平面

DBC

所成角．作HGBD于G，接CG，（）知，⊥平面，因為所以平面

平面而平面

平面BHD

，HG

平面，①HG面BCD．即

CH

在平面

DBC

內(nèi)的射影為，

即為所求角．在△HGC

中，設

BC

，則CH，HG

BH2aBD3a

，

111111→→1111ADDB1111111→→1111ADDB11①

HG13CH

．故與面所角的正弦值為

．【變式探究全國Ⅱ卷在長方體－ABD中＝＝，AA＝3則異面直線AD與DB所角的余弦值)

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52C.D.52【答案C【解析】以D為坐標原點，，DD所直線分別為x軸，軸，z軸建立空間直角坐標系，