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文檔簡介
平均指標幾何平均眾數(shù)中位數(shù)第一頁,共七十一頁,2022年,8月28日A.簡單幾何平均數(shù)適用于總體資料未經(jīng)分組整理尚為原始資料的情況式中:為幾何平均數(shù);為變量值的個數(shù);為第個變量值。幾何平均數(shù)第二節(jié)平均指標第二頁,共七十一頁,2022年,8月28日四、幾何平均數(shù)一)、幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)一般用于計算動態(tài)相對指標的平均值例:2000-2005年我國工業(yè)品的產(chǎn)量分別是上年的107.6%、102.5%、100.6%、102.7%、102.2%,計算這5年的平均發(fā)展速度。第二節(jié)平均指標第三頁,共七十一頁,2022年,8月28日【例】某流水生產(chǎn)線有前后銜接的五道工序。某日各工序產(chǎn)品的合格率分別為95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪,求整個流水生產(chǎn)線產(chǎn)品的平均合格率。設最初投產(chǎn)100個單位,則第一道工序的合格品為100×0.95;第二道工序的合格品為(100×0.95)×0.92;
……第五道工序的合格品為100×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80;A.簡單幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)第二節(jié)平均指標第四頁,共七十一頁,2022年,8月28日因該流水線的最終合格品即為第五道工序的合格品,故該流水線總的合格品應為:100×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80;則該流水線產(chǎn)品總的合格率為:即該流水線總的合格率等于各工序合格率的連乘積,符合幾何平均數(shù)的適用條件,故需采用幾何平均法計算。A.簡單幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)第二節(jié)平均指標第五頁,共七十一頁,2022年,8月28日思考:若上題中不是由五道連續(xù)作業(yè)的工序組成的流水生產(chǎn)線,而是五個獨立作業(yè)的車間,且各車間的合格率同前,又假定各車間的產(chǎn)量相等均為100件,求該企業(yè)的平均合格率。A.簡單幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)第二節(jié)平均指標第六頁,共七十一頁,2022年,8月28日
因各車間彼此獨立作業(yè),所以有第一車間的合格品為:100×0.95;第二車間的合格品為:100×0.92;
……
第五車間的合格品為:100×0.80。則該企業(yè)全部合格品應為各車間合格品的總和,即總合格品=100×0.95+……+100×0.80A.簡單幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)不再符合幾何平均數(shù)的適用條件,需按照求解比值的平均數(shù)的方法計算。第二節(jié)平均指標第七頁,共七十一頁,2022年,8月28日又因為應采用加權算術平均數(shù)公式計算,即A.簡單幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)第二節(jié)平均指標第八頁,共七十一頁,2022年,8月28日B.加權幾何平均數(shù)適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列的情況當各個變量值的次數(shù)(權數(shù))不相同時,應采用加權幾何平均數(shù),其計算公式為:幾何平均數(shù)第二節(jié)平均指標將公式兩邊取對數(shù),則為式中:為幾何平均數(shù);為第組的次數(shù);為組數(shù);為第組的標志值或組中值。第九頁,共七十一頁,2022年,8月28日【例】某金融機構以復利計息。近12年來的年利率有4年為3﹪,2年為5﹪,2年為8﹪,3年為10﹪,1年為15﹪。求平均年利率。設本金為V,則至各年末的本利和應為:第1年末的本利和為:第12年的計息基礎第2年的計息基礎第2年末的本利和為:………………第12年末的本利和為:B.加權幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)第二節(jié)平均指標第十頁,共七十一頁,2022年,8月28日則該筆本金12年總的本利率為:即12年總本利率等于各年本利率的連乘積,符合幾何平均數(shù)的適用條件,故計算平均年本利率應采用幾何平均法。B.加權幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)第二節(jié)平均指標第十一頁,共七十一頁,2022年,8月28日若上題中不是按復利而是按單利計息,且各年的利率與上相同,求平均年利率。第1年末的應得利息為:第2年末的應得利息為:第12年末的應得利息為:…………設本金為V,則各年末應得利息為:B.加權幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)第二節(jié)平均指標第十二頁,共七十一頁,2022年,8月28日則該筆本金12年應得的利息總和為:=V(0.03×4+0.05×2+……+0.15×1)這里的利息率或本利率不再符合幾何平均數(shù)的適用條件,需按照求解比值的平均數(shù)的方法計算。因為假定本金為VB.加權幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)所以,應采用加權算術平均數(shù)公式計算平均年利息率,即:第二節(jié)平均指標第十三頁,共七十一頁,2022年,8月28日四、幾何平均數(shù)一)、幾何平均數(shù)(二)加權幾何平均數(shù)例:某投資銀行25年的年利率分別是:有1年3%,4年5%,8年8%,10年10%,2年15%,求平均年利率。(先學生練習--復利計息)第二節(jié)平均指標第十四頁,共七十一頁,2022年,8月28日四、幾何平均數(shù)一)、幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)的特點: 1、如果數(shù)列中有一個標志值等于零或負值,就無法計算;幾何平均數(shù) 2、受極端值影響較算術平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)小,故較穩(wěn)健。第二節(jié)平均指標第十五頁,共七十一頁,2022年,8月28日設x取值為:4、4、5、5、5、10
算術平均與幾何平均更為常用一些,其中幾何平均數(shù)對小的極端值敏感,算術平均數(shù)對大的極端值敏感。第二節(jié)平均指標第十六頁,共七十一頁,2022年,8月28日四、幾何平均數(shù)二)、數(shù)值平均數(shù)的推廣——冪平均數(shù)(選)k=1時,是算術平均Ak趨于0時,趨于幾何平均G;k=-1時,是調(diào)和平均H。M(k)是k的遞增函數(shù),因此 ,第二節(jié)平均指標第十七頁,共七十一頁,2022年,8月28日四、幾何平均數(shù)二)、數(shù)值平均數(shù)的推廣——冪平均數(shù):正確選用數(shù)值平均數(shù):幾何平均數(shù)適合動態(tài)指標:平均發(fā)展速度、平均增長率等;其他情況一般用算術平均數(shù)或調(diào)和平均數(shù):分母資料已知用算術平均數(shù);分子資料已知用調(diào)和平均數(shù);用錯平均數(shù)會產(chǎn)生誤差:第二節(jié)平均指標第十八頁,共七十一頁,2022年,8月28日 某水果店的蘋果有三種等級,價格不同(見下表),要求分別計算各買一元和各買一斤的平均價格;假設某人共買12斤,其中二、三等級各占30%,試求蘋果的平均價格又為多少?第二節(jié)平均指標課堂練習第十九頁,共七十一頁,2022年,8月28日(1)各買1元: H=3/(1/1+1/0.8+1/0.6)=0.77元/斤(2)各買1斤: 均價=(1*1+1*0.8+1*0.6)/3=0.80元/斤(3)共買12斤,其中二、三等級各占30% 均價=1*0.4+0.8*0.3+0.6*0.3=0.82元/斤第二節(jié)平均指標課堂練習第二十頁,共七十一頁,2022年,8月28日某地甲乙兩個蔬菜市場某月份白菜的銷售價格及其銷售額資料如下:試分別計算這兩個市場某月白菜的平均銷售價格,哪一個市場白菜的平均價格較高?為什么?第二節(jié)平均指標課堂練習第二十一頁,共七十一頁,2022年,8月28日甲市場平均銷售價格 =(130000+60000+55000)/ (130000/0.65+60000/0.6+55000/0.55) =245000/400000=0.6125=0.61(元/斤)乙市場平均銷售價格 =(65000+60000+11000)/ (65000/0.65+60000/0.6+11000/0.55) =136000/220000=0.6182=0.62(元/斤)乙市場均價高于甲市場,因為一等品的比例更高第二節(jié)平均指標課堂練習第二十二頁,共七十一頁,2022年,8月28日某商店某商品銷售情況如下表,試用簡單算術平均數(shù)、加權算術平均數(shù)、加權調(diào)和平均數(shù)等不同方法來計算該商品的平均價格,說明三種計算結果一致的原因。第二節(jié)平均指標課堂練習第二十三頁,共七十一頁,2022年,8月28日簡單算術平均值=(1.1+0.9+0.7)/3=0.9元/斤加權算術平均值 =(1000×1.1+500×0.9+1000×0.7)/ (1000+500+1000)=0.9元/斤加權調(diào)和平均值 =(1100+450+700)/(1100/1.1+450/0.9+700/0.7)=0.9元/斤算術與調(diào)和平均本應相等;加權與簡單算術平均相等:正常價與處理價銷售量相同,且二者簡單平均與優(yōu)待價相等。第二節(jié)平均指標課堂練習第二十四頁,共七十一頁,2022年,8月28日加權與簡單算術平均相等:正常價與處理價銷售量相同,且二者簡單平均與優(yōu)待價相等。第二節(jié)平均指標課堂練習第二十五頁,共七十一頁,2022年,8月28日五、位置平均數(shù):中位數(shù)和眾數(shù)一)中位數(shù)(一)中位數(shù):現(xiàn)象總體中各單位標志值按大小順序排列,居于中間位置的那個標志值就是中位數(shù)。記為(二)中位數(shù)的計算方法1、由未分組資料確定中位數(shù)。若總體單位數(shù)是奇數(shù),則居于中間位置的那個單位的標志值就是中位數(shù)。若總體單位數(shù)是偶數(shù),則居于中間位置的兩項數(shù)值的算術平均數(shù)是中位數(shù)。第二節(jié)平均指標第二十六頁,共七十一頁,2022年,8月28日不受極端數(shù)值的影響,在總體標志值差異很大時,具有較強的代表性。中位數(shù)的作用:
如果統(tǒng)計資料中含有異常的或極端的數(shù)據(jù),就有可能得到非典型的甚至可能產(chǎn)生誤導的平均數(shù),這時使用中位數(shù)來度量集中趨勢比較合適。中位數(shù)第二節(jié)平均指標第二十七頁,共七十一頁,2022年,8月28日五、中位數(shù)和眾數(shù)1、由未分組資料確定中位數(shù)。【例】:9個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):15007507801080850960200012501630排序:75078085096010801250150016302000位置:1234567
89第二節(jié)平均指標中位數(shù)1080第二十八頁,共七十一頁,2022年,8月28日五、中位數(shù)和眾數(shù)1、由未分組資料確定中位數(shù)?!纠浚?0個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排序:66075078085096010801250150016302000位置:12345678910第二節(jié)平均指標第二十九頁,共七十一頁,2022年,8月28日中位數(shù)的位次為:即第3個單位的標志值就是中位數(shù)【例A】某售貨小組5個人,某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元,則中位數(shù)確定—未分組資料第二節(jié)平均指標第三十頁,共七十一頁,2022年,8月28日中位數(shù)的位次為:中位數(shù)應為第3和第4個單位標志值的算術平均數(shù),即【例B】若上述售貨小組為6個人,某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元、760元,則中位數(shù)確定—未分組資料第二節(jié)平均指標第三十一頁,共七十一頁,2022年,8月28日五、中位數(shù)和眾數(shù)(二)中位數(shù)的計算方法2、由單項數(shù)列確定中位數(shù)。求中位數(shù)位置=計算各組的累計次數(shù)(向上累計次數(shù)或向下累計次數(shù))根據(jù)中位數(shù)位置找出中位數(shù)。第二節(jié)平均指標第三十二頁,共七十一頁,2022年,8月28日
【例】某廠工人日產(chǎn)零件中位數(shù)計算表
按日產(chǎn)零件分組工人數(shù)向上累計次數(shù)向下累計次數(shù)(件)(人)2633803110137732142767
3427545336187226418808合計80----第二節(jié)平均指標五、中位數(shù)和眾數(shù)(二)中位數(shù)的計算方法2、由單項數(shù)列確定中位數(shù)。見教材P105表3-17第三十三頁,共七十一頁,2022年,8月28日【例C】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下(選)日產(chǎn)量(件)工人人數(shù)(人)向上累計次數(shù)(人)10111213147010038015010070170550700800合計800—計算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的中位數(shù)。中位數(shù)的位次中位數(shù)確定—單項數(shù)列第二節(jié)平均指標第三十四頁,共七十一頁,2022年,8月28日3、由組距數(shù)列確定中位數(shù)。先按的公式求出中位數(shù)所在組的位置,然后再用比例插值法確定中位數(shù)的值。下限公式(向上累計時用):上限公式(向下累計時用):第二節(jié)平均指標五、中位數(shù)和眾數(shù)(二)中位數(shù)的計算方法見教材P106第三十五頁,共七十一頁,2022年,8月28日第二節(jié)平均指標下限公式(向上累計時用)上限公式(向下累計時用)第三十六頁,共七十一頁,2022年,8月28日共個單位共個單位共個單位共個單位LU中位數(shù)組組距為d共個單位假定該組內(nèi)的單位呈均勻分布共有單位數(shù)
中位數(shù)下限公式為
該段長度應為第二節(jié)平均指標公式的理解第三十七頁,共七十一頁,2022年,8月28日3、由組距數(shù)列確定中位數(shù)。下限公式(向上累計時用):上限公式(向上累計時用):第二節(jié)平均指標五、中位數(shù)和眾數(shù)(二)中位數(shù)的計算方法公式的理解第三十八頁,共七十一頁,2022年,8月28日3、由組距數(shù)列確定中位數(shù)。上限公式(向下累計時用):下限公式(向下累計時用):第二節(jié)平均指標五、中位數(shù)和眾數(shù)(二)中位數(shù)的計算方法公式的理解第三十九頁,共七十一頁,2022年,8月28日3、由組距數(shù)列確定中位數(shù)。向上累計上、下限公式等價性:向上、下累計上限公式等價性:第二節(jié)平均指標五、中位數(shù)和眾數(shù)(二)中位數(shù)的計算方法公式的理解第四十頁,共七十一頁,2022年,8月28日【例】某企業(yè)工人日產(chǎn)量的中位數(shù)計算表按日產(chǎn)量分組工人數(shù)向上累計次數(shù)向下累計次數(shù)(千克)(人)60以下101016460-70192915470-80507913580-90361158590-1002714249100-1101415622110以上81648合計164----第二節(jié)平均指標164/2=82中位數(shù)所在組164/2=82中位數(shù)所在組五、中位數(shù)和眾數(shù)(二)中位數(shù)的計算方法3、由組距數(shù)列確定中位數(shù)。見教材P106表3-178第四十一頁,共七十一頁,2022年,8月28日第二節(jié)平均指標解:中位數(shù)位置=,在80—90這一組內(nèi),根據(jù)向上累計下限公式計算中位數(shù):根據(jù)向下累計上限公式計算中位數(shù):五、中位數(shù)和眾數(shù)(二)中位數(shù)的計算方法3、由組距數(shù)列確定中位數(shù)。第四十二頁,共七十一頁,2022年,8月28日中位數(shù)的特點:1、是一種位置平均數(shù),不受極端值及開口組的影響,具有穩(wěn)健性。2、各單位標志值與中位數(shù)離差的絕對值之和為最小值。3、對某些不具有數(shù)學特點或不能用數(shù)字測定的現(xiàn)象(定序尺度),可用中位數(shù)求其一般水平。第二節(jié)平均指標五、中位數(shù)和眾數(shù)第四十三頁,共七十一頁,2022年,8月28日分位數(shù):(補充(選))N分位數(shù):現(xiàn)象總體中各單位標志值按大小順序排列,將數(shù)據(jù)分成N等分的N-1個標志值就是N分位數(shù)。中位數(shù)是二分位數(shù);常見的分位數(shù)還有四分位數(shù)、八分位數(shù);另外還有十分位數(shù)、百分位數(shù)等;N>2時,需注明是第幾個N分位數(shù);第二節(jié)平均指標五、中位數(shù)和眾數(shù)第四十四頁,共七十一頁,2022年,8月28日第二節(jié)平均指標課堂練習( )中位數(shù)A、是總體中最常見的標志值B、是處于一個序列中間位置的標志值C、是一個位置平均數(shù)D、是一般水平的代表值E、易受變量極端值的影響B(tài),C,D第四十五頁,共七十一頁,2022年,8月28日五、中位數(shù)和眾數(shù)二)眾數(shù):眾數(shù)是分配數(shù)列中出現(xiàn)次數(shù)最多的標志值,它表示社會經(jīng)濟現(xiàn)象中最經(jīng)常最普遍出現(xiàn)的標志值,能直觀地說明客觀現(xiàn)象分配中的集中趨勢。如果總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標志值不是一個,而是兩個,那么,合起來就是復眾數(shù)。注:眾數(shù)存在的條件是總體的單位數(shù)較多,各標志值的次數(shù)分配又有明顯的集中趨勢時才存在眾數(shù)。第二節(jié)平均指標第四十六頁,共七十一頁,2022年,8月28日指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值,用表示,它不受極端數(shù)值的影響,用來說明總體中大多數(shù)單位所達到的一般水平。眾數(shù)比如在服裝行業(yè)中,生產(chǎn)商、批發(fā)商和零售商在做有關生產(chǎn)或存貨的決策時,更感興趣的是最普遍的尺寸而不是平均尺寸。此時眾數(shù)合適的代表值。(如皮鞋銷售中40碼出現(xiàn)的次數(shù)最多,則40就是眾數(shù))第二節(jié)平均指標第四十七頁,共七十一頁,2022年,8月28日眾數(shù)的計算方法1、單項數(shù)列:出現(xiàn)次數(shù)最多的標志值就是眾數(shù)。第二節(jié)平均指標五、中位數(shù)和眾數(shù)二)眾數(shù):【例】女式棉毛衫銷售情況
尺碼(厘米)銷售量(件)比重(%)806585815
904840953025100121010565
合計110
100眾數(shù)第四十八頁,共七十一頁,2022年,8月28日日產(chǎn)量(件)工人人數(shù)(人)101112131470100380150100合計800【例A】已知某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下:計算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的眾數(shù)。眾數(shù)確定—單項數(shù)列第二節(jié)平均指標眾數(shù)為12第四十九頁,共七十一頁,2022年,8月28日眾數(shù)的計算方法2、組距數(shù)列確定眾數(shù)的方法——觀察次數(shù)+插值法。首先由最多次數(shù)來確定眾數(shù)所在組,然后再用比例插值法推算眾數(shù)的近似值。其上、下限計算公式依次為第二節(jié)平均指標五、中位數(shù)和眾數(shù)二)眾數(shù):第五十頁,共七十一頁,2022年,8月28日第二節(jié)平均指標下限公式:上限公式:第五十一頁,共七十一頁,2022年,8月28日眾數(shù)的計算方法:下限公式:上限公式:第二節(jié)平均指標五、中位數(shù)和眾數(shù)二)眾數(shù):第五十二頁,共七十一頁,2022年,8月28日【例】某企業(yè)工人日產(chǎn)量次數(shù)分布按日產(chǎn)量分組(千克)工人數(shù)(人)60以下1060-701970-805080-903690-10027100-11014110以上8第二節(jié)平均指標五、中位數(shù)和眾數(shù)二)眾數(shù):眾數(shù)組(最多次數(shù)組)第五十三頁,共七十一頁,2022年,8月28日【例B】某車間50名工人月產(chǎn)量的資料如下:月產(chǎn)量(件)工人人數(shù)(人)向上累計次數(shù)(人)200以下200~400400~600600以上373283104250合計50—計算該車間工人月產(chǎn)量的眾數(shù)。眾數(shù)確定—組距數(shù)列第二節(jié)平均指標第五十四頁,共七十一頁,2022年,8月28日組距數(shù)列的眾數(shù)M0,一定位于次數(shù)分配直方圖中最高一組的組距內(nèi)的某個值,該值就是分布曲線最高峰的橫坐標值,又稱峰值。眾數(shù)的特點:1、眾數(shù)是一個位置平均數(shù),它只考慮總體分布中最頻繁出現(xiàn)的變量值,而不受極端值和開口數(shù)組列的影響,從而增強了對變量數(shù)列一般水平的代表性;2、眾數(shù)是一個不容易確定的平均指標,當分布數(shù)列沒有明顯的集中趨勢而趨均勻分布時,則無眾數(shù)可言;當變量數(shù)列是不等距分組時,眾數(shù)的位置也不好確定。第二節(jié)平均指標五、中位數(shù)和眾數(shù)二)眾數(shù):第五十五頁,共七十一頁,2022年,8月28日當數(shù)據(jù)分布存在明顯的集中趨勢,且有顯著的極端值時,適合使用眾數(shù);當數(shù)據(jù)分布的集中趨勢不明顯或存在兩個以上分布中心時,不適合使用眾數(shù)(前者無眾數(shù),后者為雙眾數(shù)或多眾數(shù),也等于沒有眾數(shù))。眾數(shù)的原理及應用第二節(jié)平均指標第五十六頁,共七十一頁,2022年,8月28日出生1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.0160140120100806040200413名學生出生時間分布直方圖沒有突出地集中在某個年份眾數(shù)的原理及應用第二節(jié)平均指標第五十七頁,共七十一頁,2022年,8月28日192.5190.5188.5186.5184.5182.5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100413名學生的身高分布直方圖出現(xiàn)了兩個明顯的分布中心眾數(shù)的原理及應用第二節(jié)平均指標第五十八頁,共七十一頁,2022年,8月28日應用平均指標應注意的問題注意現(xiàn)象總體的同質(zhì)性總平均數(shù)與組平均數(shù)結合使用注意極端值的影響用分配數(shù)列補充說明平均數(shù)第五十九頁,共七十一頁,2022年,8月28日第二節(jié)平均指標課堂練習( )眾數(shù)是 A、總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標志值 B、處于一個序列中間位置的標志值 C、當各個標志值的次數(shù)相等時不存在 D、當各個標志的次數(shù)相等時為零 E、不易受變量極端值的影響A,C,E第六十頁,共七十一頁,2022年,8月28日課堂練習某地區(qū)水稻播種面積按畝產(chǎn)量分組如下,計算畝產(chǎn)量的中位數(shù)和眾數(shù)。第二節(jié)平均指標眾數(shù)組(最多次數(shù)組)第六十一頁,共七十一頁,2022年,8月28日第二節(jié)平均指標課堂練習答案(1)眾數(shù)第六十二頁,共七十一頁,2022年,8月28日第二節(jié)平均指標課堂練習答案(2)中位數(shù)第六十三頁,共七十
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