王靜龍《非參數(shù)統(tǒng)計(jì)分析》(18章)教案

.引言一般統(tǒng)計(jì)分析分為參數(shù)分析與非參數(shù)分析，參數(shù)分析是指，知道總體分布，但其中幾個(gè)參數(shù)的值未知，用統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)參數(shù)值，但大部分情況，總體是未知的，這時(shí)候就不能用參數(shù)分析，如果強(qiáng)行用可能會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的結(jié)果。例如：分析下面的供應(yīng)商的產(chǎn)品是否合格？合格產(chǎn)品的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度為（8.50.1），隨即抽取n=100件零件，數(shù)據(jù)如下：1.18.5038.5088.4988.3478.4948.5008.4988.5008.5028.5018.4918.5048.5028.5038.5018.5058.4928.4978.1508.4968.5018.4898.5068.4978.5058.5018.5008.4998.4908.4938.5018.4978.5018.4988.5038.5058.5108.4998.4898.4968.5008.5038.4978.5048.5038.5068.4978.5078.3468.3108.4898.4998.4928.4978.5068.5028.5058.4898.5038.4928.5018.4998.8048.5058.5048.4998.5068.4998.4938.4948.4908.5058.5118.5028.5058.5038.7828.5028.5098.4998.4988.4938.8978.5048.4938.4947.7808.5098.4998.5038.4948.5118.5018.4978.4938.5018.4958.4618.5048.691x8.4958cm，非常接近中心位置8.5cm，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s

0.1047cm.X~N(,2。ni1xx2 n1iP(8.4X8.6)(8.6ni1xx2 n1i(8.68.49580.1047)(8.48.49580.1047)66%這說明產(chǎn)品有接近三分之一不合格，三分之二合格，所以需要更換供應(yīng)廠商，而用非參數(shù)分析卻是另外一個(gè)結(jié)果。100個(gè)零件長(zhǎng)度的分布表：（cm）頻率（%）~8.4058.40~8.4608.46~8.4818.48~8.50458.50~8.52458.52~8.6008.60~4合計(jì)1000.2cm9%的零件不合格，所以工廠不需要換供應(yīng)商。2哪一個(gè)企業(yè)職工的工資高？1.3兩個(gè)企業(yè)職工的工資11112131415161718 19 20 406023456789103050112的職工工資分別服從正態(tài)分布N(a,2N(b,2數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問題，原假設(shè)為H :ab，備擇假設(shè)為H :ab0 0則xy~N(ab,(1m

)2)1n1若H0為真，則xyS1wm n1t ~t(mnS1wm n1其中S2w

1mn2

[m

(xx)2i

(yy)2]ii1 i1拒絕域?yàn)椋簍t (20)}t1.32}0.90t1.282故不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為兩企業(yè)的工資水平無差異。也可以用P值檢驗(yàn)P(t(20)1.282)0.1073故不能拒絕原假設(shè)，認(rèn)為兩企業(yè)的工資水平無差異。0.1.但這個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論與實(shí)際數(shù)據(jù)不相符合。主要是因?yàn)榧僭O(shè)工資服從正態(tài)分布，這個(gè)假設(shè)是錯(cuò)誤的，用錯(cuò)誤的假設(shè)結(jié)合參數(shù)分析自然得出的結(jié)論不可靠。這時(shí)候有兩種方法處理，一種更換其他分布的假設(shè)，二是用非參數(shù)數(shù)據(jù)的方法的分析。非參數(shù)統(tǒng)計(jì)如同光譜抗生素，應(yīng)用范圍十分廣泛。參數(shù)統(tǒng)計(jì)與非參數(shù)統(tǒng)計(jì)針對(duì)不同的情況提出的統(tǒng)計(jì)方法，它們各有優(yōu)缺點(diǎn)，互為補(bǔ)充。第二章描述性統(tǒng)計(jì)§2.1表格法和圖形法表格法主要有列頻數(shù)分布表和頻率分布表2.1某公司測(cè)試新燈絲的壽命，列表如下：1071077368977679945998577381546571808479986365667986687461826598637162116647978797786897674857380687889725892788877103886368888164737590628971747085616561756294718584836392688143116;5~20組，組距

（最大值最小值）1652.2燈絲壽命的頻率分布表燈絲壽命（小時(shí)）個(gè)數(shù)頻率（%）40--4410.545--4910.550--5421.055--5984.060--642412.065--692814.070--743015.075--793417.080--842311.585--892211.090--94147.095--9984.0100--10431.5105--10910.5110--11400.0115--11910.5總和200100對(duì)應(yīng)的直方圖為：§2.2表格法和圖形法（或者平均大小和離散程度等。1 3 5 3 3 1 3 2 3 2 4 41平均2.833333標(biāo)準(zhǔn)誤差0.34451中位數(shù)3眾數(shù)3標(biāo)準(zhǔn)差1.193416方差1.424242峰度-0.20317偏度-0.00713區(qū)域4最小值1最大值5求和34觀測(cè)數(shù)12它的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)差不多大。但大部分情況不是這樣的，例如：§2.3賠款數(shù)某保險(xiǎn)公司賠款樣本數(shù)據(jù)頻率分布表賠款次數(shù)0--4002400--80032800--1200241200--1600191600--2000102000--240062400--280032800--320023200--360013600--40001合計(jì)1001224,1000,600，這三者相差較大。左峰的時(shí)候：眾數(shù)中位數(shù)平均數(shù)，右峰的時(shí)候：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)。平均數(shù)容易受到異常值的影響，故不能很好地代表中心位。2.9%，但減收的農(nóng)戶卻是60%，為了更好地反映中心位，所以很多情況采用%的切尾平均數(shù)。人們熟知的去掉最大值與最小值的平均數(shù)也是切尾平均數(shù)。§2.4經(jīng)濟(jì)專業(yè)畢業(yè)生的月收入數(shù)據(jù)畢業(yè)生月收入畢業(yè)生月收入1185071890219508213032050919404188010234051750111920617001218801924，而總體平均數(shù)1940.1905，中位數(shù)表現(xiàn)了穩(wěn)定性。因此我們不僅用平均數(shù)表示中心位置，有時(shí)候也用中位數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置。另外，眾數(shù)也能用來描述數(shù)據(jù)的中心位置，尤其是定性數(shù)據(jù)的中心位置，例如：§2.5有缺陷的小巧克力不合格品問題的頻數(shù)頻率分布表代碼問題頻數(shù)頻率（%）1外層不夠48652.832兩個(gè)粘在一起434.673被壓扁29532.074外層太多849.135破裂121.30這種情況下計(jì)算平均數(shù)和中位數(shù)沒有多大意義，相反眾數(shù)為1，眾數(shù)值得關(guān)注。一般情況，平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)應(yīng)該綜合考量，這三個(gè)數(shù)目，使得我們可以從不同角度表達(dá)數(shù)據(jù)的中心位置，給評(píng)估對(duì)象一個(gè)全面的評(píng)價(jià)，例如：某企業(yè)5700,30002000元，這說明收200030003000元，平均5700大于中位數(shù)，說明有些員工工資特別高。平均數(shù)與中位數(shù)為何可以表示數(shù)據(jù)的中心位置呢？主要是因?yàn)椋?n (xx)2ii1

minna i1

2(xa)i

（2.1）ni1

xmeminni ai1

xai

（2.2）這說明用不同的距離標(biāo)準(zhǔn)衡量，平均數(shù)與中位數(shù)到各點(diǎn)的距離最近。另外平均數(shù)的物理意義還有重心的意義，在重心位置，系統(tǒng)可以平衡，在433這點(diǎn)，所走的路最短。***********123456789中位數(shù)平均數(shù)§2.2.2表示離散程度的數(shù)值表示離散程度的數(shù)值一般有方差，四分位數(shù)，而四分位數(shù)又分上四分位數(shù)與下四分位數(shù)。為表示數(shù)據(jù)的離散程度，我們一般用五個(gè)數(shù)概括，即最小值，下四分位數(shù)，中位數(shù)，上四分位數(shù)，最大值，分別記為Q

,Q,Q

,Q,Q.0 1 2 3 412名經(jīng)濟(jì)專業(yè)畢業(yè)生月收入數(shù)據(jù)處理結(jié)果如下：（用Minitab）N12Mean1940Median1905TrMean1924StDev170.6SEMean49.3Minimum1700Maximum2340下四分位數(shù)Q11857.5上四分位數(shù)Q32025Minitab（2.9）2.9四分位數(shù)的計(jì)算分位數(shù)是將總體的全部數(shù)據(jù)按大小順序排列后,處于各等分位置的變量值.如果將全部數(shù)據(jù)分成相等的兩部分,它就是中位數(shù)；如果分成四等分,就是四分位數(shù)；八等分就是八分位數(shù)等.四分位數(shù)也稱為四分位點(diǎn),它是將全部數(shù)據(jù)分成相等的四部分,其中每部分包括25%的數(shù)據(jù),處在各分位點(diǎn)的數(shù)值就是四分位數(shù).四分位數(shù)有三個(gè),第一個(gè)四分位數(shù)就是通常所說的四分位數(shù),稱為下四分位數(shù),第二個(gè)四分位數(shù)就是中位數(shù),第三個(gè)四分位數(shù)稱為上四分位數(shù),分別用Q1、Q2、Q3表示.四分位數(shù)作為分位數(shù)的一種形式,在統(tǒng)計(jì)中有著十分重要的作用和意義,現(xiàn)就四分位數(shù)的計(jì)算做一詳細(xì)闡述.一、資料未分組四分位數(shù)計(jì)算第一步：確定四分位數(shù)的位置.Qi所在的位置=i（n+1）/4,其中i=1,2,3.n表示資料項(xiàng) 數(shù) .第二步：根據(jù)第一步四分位數(shù)的位置,計(jì)算相應(yīng)四分位數(shù).例1：某數(shù)學(xué)補(bǔ)習(xí)小組11人年齡（歲）為：17,19,22,24,25,28,34,35,36,37,38.則三個(gè)四分位數(shù)的位置分別為：/4=9.變量中的第三個(gè)第六個(gè)和第九個(gè)人的歲數(shù)分別為下四分位數(shù)中位數(shù)和上四分位數(shù),即 Q1=22（歲）、Q2=28（歲）、Q3=36（歲）數(shù)倍.這樣四分位數(shù)的位置就帶有小數(shù),需要進(jìn)一步研究.帶有小數(shù)的位置與位置前后標(biāo)志值有一定的關(guān)系四分位數(shù)是與該小數(shù)相鄰的兩個(gè)整數(shù)位置上的標(biāo)志值的平均數(shù),權(quán)數(shù)的大小取決于兩個(gè)整數(shù)位置的遠(yuǎn)近,距離越近,權(quán)數(shù)越大,距離越遠(yuǎn),權(quán)數(shù)越小,權(quán)數(shù)之和應(yīng)等于 1.例2：設(shè)有一組經(jīng)過排序的數(shù)據(jù)為12,15,17,19,20,23,25,28,30,33,34,35,36,37,則三個(gè)四分位數(shù)的位置分別為：=（14+1）/4=3.75,Q2=2（14+1）/4=7.5,Q33（ 14+1 ） /4=11.25.項(xiàng)和第11.25項(xiàng)分別為下四分位數(shù)中位數(shù)和上四分位數(shù),即 Q1=0.25×第三項(xiàng)+0.75×第四項(xiàng)=0.25×17+0.75×19=18.5；Q2=0.5×第七項(xiàng)+0.5×第八項(xiàng)=0.5×25+0.5×28=26.5；Q3=0.75×第十一項(xiàng)+0.25×第十二項(xiàng)=0.75×34+0.25×35=34.25.二、資料已整理分組的組距式數(shù)列四分位數(shù)計(jì)算第一步：向上或向下累計(jì)次數(shù)（因篇幅限制,以下均采取向上累計(jì)次數(shù)方式計(jì)算）；第二步：根據(jù)累計(jì)次數(shù)確定四分位數(shù)的位置：Q1的位置=（∑f+1）/4,Q2的位置=2（∑f+1）/4,Q3的位置=3（∑f+1）/4式中：∑f表示資料的總次數(shù)；第三步根據(jù)四分位數(shù)的位置計(jì)算各四分位（向上累計(jì)次數(shù),按照下限公式計(jì)算四分位 數(shù) ） ：Qi=Li+fi × ,fi——Qi,di——Qi——Qi所在組以前一組的累積次數(shù),∑f——總次數(shù).例3：某企業(yè)工人日產(chǎn)量的分組資料如下：根 據(jù) 上 述 資 料 確 定 四 分 位 數(shù) 步 驟 如 下 ：（1）向上累計(jì)方式獲得四分位數(shù)位置：Q1的位置=（∑f+1）/4=（164+1）/4=41.25Q2的位置=2（∑f+1）/4=2（164+1）/4=82.5Q3的位置=3（∑f+1）/4=3（164+1）/4=123.75（2）可知Q1,Q2,Q3分別位于向上累計(jì)工人數(shù)的第三組、第四組和第五組,日產(chǎn)量四分位數(shù)具體為：Q1=L1+×d1=70+10=72.49（千克）Q2=L2+×d2=80+10=80.83（千克）Q3=L3+■×d3=90+■×10=90.96（千克）shitouwa43202014-10-23§2.2.3標(biāo)準(zhǔn)誤假設(shè)產(chǎn)生數(shù)據(jù)的總體的均值為 方差為2它們的估計(jì)分別為樣本平均值x，樣本方差S2和樣本標(biāo)準(zhǔn)差S ，由于平均數(shù)x的標(biāo)準(zhǔn)差為

n，所以它的估計(jì)取nnn為S ，S 稱為標(biāo)準(zhǔn)誤。nn

~t(n1)nSnnSn0.95的條件下，得置信區(qū)間的端點(diǎn)Snx tSn

0.975

(n1).S.即得 x

t (n1)n0.975nt (11)2.20100.975Mintab計(jì)算得到:VariableMaximumNN*MeanSEMeanStDevMinimumQ1MedianQ3C11201940.049.3170.61700.01857.51905.02025.02340.0算得到所求置信區(qū)間為： 194049.32.209862731940108.5086233Excel計(jì)算得到：平均1940標(biāo)準(zhǔn)誤差49.25198中位數(shù)1905眾數(shù)1880標(biāo)準(zhǔn)差170.6139方差29109.09峰度1.874516偏度1.102987區(qū)域640最小值1700最大值2340求和23280觀測(cè)數(shù)12置信度(95.0%)108.4029所求置信區(qū)間為： 194049.251980422.209862731940108.4029328兩款軟件計(jì)算結(jié)果相差不大?！?.2.4偏度s偏度（Skewness）反應(yīng)單峰分布的對(duì)誠(chéng)性，總體偏度用 表示s X3 3E[ ]s 3s樣本偏見度用b 表示，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算公式為：smsmb 3sm其中mj

i1

xxji ,n

2 2j2,3.Excel中的計(jì)算公式為：n mb s (n1)(n2) S3s一般bs

0b

0b0ss我們傾向于認(rèn)為總體的分布是對(duì)稱的。ss§2.2.4峰度k峰度（Kurtosis）反映峰的尖峭程度，總體峰度用 表示，總體的峰度的定義為（國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)）k 4 E[X4] 4k 4k樣本峰度用b ，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)的計(jì)算公式為kmk2bm4k2kk2kk由于正態(tài)分布的峰度系數(shù)為3，當(dāng)平分布。

b3時(shí)為尖峰分布，當(dāng)b

3時(shí)為扁符號(hào)檢驗(yàn)是一種較為簡(jiǎn)單的非參數(shù)檢驗(yàn)，中位數(shù)檢驗(yàn)是符號(hào)檢驗(yàn)的一個(gè)重要應(yīng)用。3.1某市勞動(dòng)和社會(huì)保障部門的資料說明，1998年高級(jí)技師的年收入的中位2170050名高級(jí)技師組成的樣本，數(shù)據(jù)如下：230722437020327242962225619140256692240426744267442340620439248902481524556184722451422516251122348026552240741806422590原假設(shè)與備擇假設(shè)為：H0:me21700 H1:me21700選擇統(tǒng)計(jì)量S

#{x:xme i i 0

即為大于中位數(shù)me 的0"#ix 的個(gè)數(shù)， 表示計(jì)數(shù)，S"#in 1 xme 0S u,u i 0i ii1

0 其他1若Hme21700為真，則S0

250

50150PPX32)

0.0324540.05i32 i2Si2Hme21701在excel中如何使用BINOMDIST函數(shù)返回一元二項(xiàng)式分布的概率值BINOMDIST函數(shù)用于返回一元二項(xiàng)式分布的概率值。函數(shù)語法BINOMDIST(number_s,trials,probability_s,cumulative)number_s:trials:表示獨(dú)立實(shí)驗(yàn)的次數(shù)。probability_s:表示一次實(shí)驗(yàn)中成功的概率。cumulativeTRUE,BINOMDIST返number_s次成功的概率;FALSE，返回概率密度函數(shù)，即number_s次成功的概率。106次是正面的概率?？梢允褂肂INOMDIST函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。Step01C4單元格，在公式編輯欄中輸入公式:=BINOMDIST(A2,B2.C2,TRUE)Enter68-73所示。Step02C5單元格，在公式編輯欄中輸入公式:=BINOMDIST(A2,B2.C2.FALSE)Enter68-74所示?！?.2符號(hào)檢驗(yàn)在定性數(shù)據(jù)分析中的應(yīng)用有的時(shí)候，觀察值是一些定性數(shù)據(jù)，如果定性數(shù)據(jù)僅取兩個(gè)值，就可以使用符號(hào)檢驗(yàn)對(duì)它進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。3.22000800人覺得”越來越好”720人感覺一天不如一天，有400人表示沒有變化，還有80人說不知道，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，你是否相信，在總體認(rèn)為我們的生活比過去更好的人，比認(rèn)為我們的生活比過去差的人多？解：原假設(shè)與備擇假設(shè)為H :p10 2

H:p11 2選擇統(tǒng)計(jì)量S

#S

也可表示為：

1 認(rèn)為生活變好u,ui i 其他i11

)2由于n很大，所以可以近似認(rèn)為

npq其中 np760,npq

380 PS800 利用正態(tài)分布的計(jì)算結(jié)果

760799PS800PS

799 0.022714571380 380修正后

760799.5

800 0.021366586380 380P值較小，所以我們認(rèn)為我們的生活環(huán)境變好了?！?.3成對(duì)數(shù)據(jù)的比較問題由于同一塊田的生長(zhǎng)環(huán)境相同，不同的地生長(zhǎng)環(huán)境各不相同，所以將這批數(shù)據(jù)寫成成對(duì)的形式。x x x xx

12,

1n. 21

2ndx xi 1i 2i

i

,i1,2,n,1

,2

1i 2i

，i為隨機(jī)差。i關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的分布。由于和 都服從關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的分布， （同分布）1i 2i 1i 2i 2i 1i則Pi

cP( 1i 2i

c)P( 2i

c)P( 1i 2i所以i關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

c)P(i

c)其它分位點(diǎn)的檢驗(yàn)茆詩松老師教材P4147.6.3以往的資料表明，某種圓鋼的90%103（kg/mm2）,為了檢驗(yàn)這個(gè)結(jié)論是否屬實(shí)，現(xiàn)在隨機(jī)挑選20根圓鋼進(jìn)行硬度實(shí)驗(yàn)，測(cè)得其硬度分別是：14213411998131102154122931378611916114415816581117128113問這批鋼材是否達(dá)標(biāo)？解：原假設(shè)與備擇假設(shè)為：H :x 103 H:x 1030 0.10 1 0.101 x103u ii 0 其他選取統(tǒng)計(jì)量S

n uii1

,若原假設(shè)成立，則S

15P值為1520pP(S

15) i

09i0.120i

0.0430.05i01即檢測(cè)值落入拒絕域，故拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)H1即產(chǎn)品不達(dá)標(biāo)。

:x

103例7.6.4工廠有兩個(gè)化驗(yàn)室，每天同時(shí)從工廠的冷卻水中取樣，測(cè)量水中的含氯量（10

6）一次，記錄如下：iii11.0310.0321.851.89-0.0430.740.9-0.1641.821.810.0151.141.2-0.0661.651.7-0.0571.921.94-0.0281.011.11-0.191.121.23-0.11100.90.97-0.07111.41.52-0.12ixix(實(shí)驗(yàn)室A)y(實(shí)驗(yàn)室B)xyi解：設(shè)A,B 實(shí)驗(yàn)室的測(cè)量誤差分別為：,.并設(shè),.的分布函數(shù)分別為F(x),G(x)。由于xi

,i i

i

.i

xyi i

i i原假設(shè)與備擇假設(shè)為：H :F(x)G(x)0

H:F(x)G(x).10若H 為真，則在Z的分布關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱01 z0 i0 其他選取統(tǒng)計(jì)量S

11 uii1即S

zz1

, ,z11

中正數(shù)的個(gè)數(shù)。檢驗(yàn)值S 2，檢驗(yàn)的P值為：p2min{P(S2),P(S2)}222i0

11i i

0.06540.05在顯著性水平為 0.05檢測(cè)值未落入拒絕域，故接受原假設(shè)認(rèn)為兩個(gè)化驗(yàn)室的檢測(cè)結(jié)果之間無顯著性差異。7.6.52008（按照升序排列）：4632472850525064548469727596948014760150121872021240228365278867200已知20075063元，問2008年索賠的中位數(shù)較上一年是否有所變化？解：這是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)問題：原假設(shè)與備擇假設(shè)為：H :x 50630 0.5

H:x 50631 0.510

x5063i其他選取統(tǒng)計(jì)量

n uii1顯著性水平計(jì)算得：

0.05n15。k15 Ck153

0.5k0.515k

0.01760.025 Ck15154

0.5k0.515k

0.0592k0

Ck0.5k0.515k15

0.01760.025

k0

Ck0.5k0.515k 0.059215所以雙側(cè)拒絕域?yàn)椋篧{S3或S12}

12，落入拒絕域W .2008年索賠的中位數(shù)較上一年有所變化。P值檢驗(yàn)

p2P(S

12)0.0352 0.052008年索賠的中位數(shù)較上一年有所變化。7.6.6.1984年一些國(guó)家每平方公里可開發(fā)的水資源數(shù)據(jù)如下表所（萬度/年）國(guó)家每平方可開發(fā)水資源國(guó)家每平方可開發(fā)水資源蘇聯(lián)4.9印度8.5巴西4.1哥倫比亞26.3美國(guó)7.5日本34.9加拿大5.4阿根廷6.9扎伊爾28.1印度尼西亞7.9墨西哥4.9瑞士78.0瑞典22.3羅馬利亞10.1意大利16.8西德8.8奧地利58.6英國(guó)1.7南斯拉夫24.8法國(guó)11.5挪威37.4西班牙13.420萬度/年。請(qǐng)用符號(hào)檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)：這22個(gè)國(guó)家每平方公里可開發(fā)的水資源的中位數(shù)不高于中國(guó)，求檢驗(yàn)的P值，并寫出結(jié)論。解：原假設(shè)與備擇假設(shè)為：H :x 200 0.5

H:x 201 0.5u1 x20u ii 0 其他選取統(tǒng)計(jì)量S

22uii1ui

,若原假設(shè)成立，則S

~b(22,0.5)顯著性水平

0.05n22，查表得：22Ck22

0.5k0.522k

0.02620.05

22Ck22

0.5k0.522k

0.0669,右側(cè)拒絕域?yàn)?W{S

S

8WPpP(S

8)0.9331 0.05H0

H。122個(gè)國(guó)家可開發(fā)的水資源的中位數(shù)不高于中國(guó)。例7.6.7.下面是亞洲十個(gè)國(guó)家1996年的每1000個(gè)新生兒中的死亡數(shù)（按從小到大的次序排列）4 6 9 15 23 31 36 65 77 88M19961000個(gè)新生兒中死亡數(shù)的中位數(shù)，試檢驗(yàn)：H :M340

HM34P值，并寫完出結(jié)論。1解：原假設(shè)與備擇假設(shè)為：1H :M340

H:M3411 x34u ii 0 其他選取統(tǒng)計(jì)量S

10 uii1

,若原假設(shè)成立，則S

顯著性水平2

0.05n10，查表得：3Ck0.5k0.510k10

0.01070.05 Ck10

0.5k0.510k

0.0547,k0 k0左側(cè)拒絕域?yàn)?W{S

S

4WPpP(S

4)0.3770 0.05H0

H。11996100034。7.6.8.12mg12支香煙的尼古丁含量（單位:mg）分別為:16.717.714.111.413.410.513.611.612.012.611.713.7問是否該廠所說的尼古丁含量比實(shí)際要少？求檢驗(yàn)的P值，并寫出結(jié)論。由于對(duì)于非正態(tài)總體，小樣本場(chǎng)合不能用樣本均值檢驗(yàn)，所以下面采用中位數(shù)檢驗(yàn)。解：原假設(shè)與備擇假設(shè)為：H :x 120 0.5

H:x 121 0.5u1 x12u ii 0 其他選取統(tǒng)計(jì)量S

12uuii1

,若原假設(shè)成立，則S

顯著性水平

0.05n12，查表得：12 Ck12

0.5k0.512k

0.01930.05

12k9

Ck0.5k0.512k12

0.0730,右側(cè)拒絕域?yàn)?W{S又檢測(cè)值S 8W

或者檢測(cè)的P值為pP(S 8)0.19380.05H0H1。即可認(rèn)為該廠的尼古丁含量比實(shí)際含量要少?！?.1對(duì)稱中心為原點(diǎn)的檢驗(yàn)問題設(shè)對(duì)稱中心為 ，則原假設(shè)與備擇假設(shè)分別為：H :00H :00

H:01H:01H :00引入符號(hào)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：n

H:011 x0S

u ii,i1

i 0 其它x,x1

,xn

x Riii

,i1,2,n.引入符號(hào)秩和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為：W

uRni ini1表4.1 10個(gè)觀察值和它們的符號(hào)，絕對(duì)值和絕對(duì)值的秩-7.6-5.54.32.7-4.82.1-1.2-6.6-3.3-8.57.65.54.32.74.82.11.26.63.38.597536218410觀察值符號(hào)絕對(duì)值的秩S 3 ,W 53觀察值符號(hào)絕對(duì)值的秩下面討論符號(hào)秩和檢驗(yàn)的檢驗(yàn)方法，原假設(shè)與備擇假設(shè)為：H :00

H:01如果

0PX0)PX)

1,P(X0)P(X)12 2對(duì)于任意的正數(shù)a，P(Xa)P(X(a))P(X(a))P(Xa2)P(Xa)PXa)PXa),a0aaa此時(shí)WC為檢驗(yàn)的臨界值為cinf{c*:P(Wc*)}.原假設(shè)與備擇假設(shè)為：H :0 H:00 1PXaPXaa0此時(shí)Wd為檢驗(yàn)的臨界值為dsup{d*P(Wd*)}.原假設(shè)與備擇假設(shè)為：H:0H:00 1我們?cè)赪較大或者較小的時(shí)候拒絕原假設(shè)，檢驗(yàn)的臨界值cd為)}.2dsup{d*:P(Wd*) }.2§4.2符號(hào)秩和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量W

的性質(zhì)ni性質(zhì)4.1令S iunii1

0對(duì)稱時(shí)，W

與S 同分布：WdS表4.1 10個(gè)觀察值和它們的符號(hào)，絕對(duì)值和絕對(duì)值的秩觀察值觀察值符號(hào)絕對(duì)值的秩-7.6-5.54.32.7-4.82.1-1.2-6.6-3.3-8.5-7.6-5.54.32.7-4.82.1-1.2-6.6-3.3-8.57.65.54.32.74.82.11.26.63.38.597536218410ni ii1

53210表4.3 10個(gè)觀察值和它們的符號(hào)，絕對(duì)值和絕對(duì)值的秩-1.22.12.7-3.34.3-4.8-5.5-6.6-7.6-8.51.22.12.73.34.34.85.56.67.68.597536218410觀察值符號(hào)絕對(duì)值的秩nS觀察值符號(hào)絕對(duì)值的秩ni

23510,W

uRni ini1 i14.1W 的概率分布，在總體X 關(guān)于原點(diǎn)0分布時(shí)，u,u1 2

,,un

相互獨(dú)立，同分布，1 nP(ui

0)P(ui

,i1,2,,n.所以S iu2 i1

是離散的分布，它的取值范圍是0,1,2,n(n1)2，且P(Sd)P(ni1

iud)t(d)2n,d0,1,2,,n(n1)2, 4.1（ i n（ n其中t(d表示從1,2,n中取若干個(gè)，其和恰好為d的取法數(shù)，nt(0)t(1)t(2)1。t(3)t(4)2t(5)3t(6)4.n n n n n n n4.20對(duì)稱時(shí)，W

與S 同分布：所以W

的分布

d)P(ni1

uRd)t(d)2n,d0,1,2,,n(n1)2,i i n

（4.2）P(W

d)P(W

n(n1)2d),d1,2,,n(n1)2.于是 P(W

d)P(W

n(n1)2d),

(4.3)這說明W

的密度是以中心對(duì)稱的。4.30對(duì)稱時(shí)，W

n(n1)44.112比如下表所示：4.4用兩種方式完成一項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的完工時(shí)間及其差值工人12差值工人12差值xiyidxyi i ixiyidxyi i i120.318.02.3716.117.2-1.1223.521.71.8818.514.93.6322.022.5-0.5921.920.01.9419.117.02.11024.221.13.1521.021.2-0.21123.422.70.7624.724.8-0.11225.023.71.3表4.5 差值的符號(hào)，絕對(duì)值及絕對(duì)值的秩工人差值符號(hào)差的絕對(duì)值絕對(duì)值的秩工人差值符號(hào)差的絕對(duì)值絕對(duì)值的秩12.32.3107-1.11.1521.81.8783.63.6123-0.50.5391.91.9842.12.19103.13.1115-0.20.22110.70.746-0.10.11121.31.36符號(hào)秩和統(tǒng)計(jì)量W 1079128114667原假設(shè)與備擇假設(shè)為H:00

H:01我們?cè)赪 較大或者較小的時(shí)候拒絕原假設(shè)由于2P(W650.05而檢測(cè)值W

67既有2P(W672P(W65)0.05故檢測(cè)值落入拒絕域所以拒絕原假設(shè)H ，接受備擇假設(shè)H0 1i入學(xué)前成xiyizxi入學(xué)前成xiyizxyi i i123456789767170574969652659818570525263833362-5-1405-36-18-7-3假設(shè)測(cè)驗(yàn)成績(jī)服從正態(tài)分布，問學(xué)生的培訓(xùn)效果是否顯著？不假定總體分布，采用符號(hào)檢驗(yàn)的方法檢驗(yàn)學(xué)生的培訓(xùn)效果是否顯著?采用符號(hào)秩和檢驗(yàn)方法檢驗(yàn)學(xué)生的培訓(xùn)效果是否顯著,三種檢驗(yàn)方法結(jié)論是否相同？解：（1）由于測(cè)驗(yàn)成績(jī)符合正態(tài)分布，而

2未知，所以我們采用T檢驗(yàn)原假設(shè)與備擇假設(shè)為：H 0 z

H:01 z由于

2未知，所以我們選取統(tǒng)計(jì)量zSznT Szn

~t(n1)顯著性水平 0.05,

n9, t (8)1.8595,0.95左側(cè)拒絕域?yàn)閃t1.859}.Szn而檢測(cè)值TSzn

z 4.3333 1.6378W7.93739另一方面也可以用P-值也可判斷檢測(cè)值不在拒絕域。檢驗(yàn)的P值pP{T1.6378}0.07 0.057.93739故檢測(cè)值T1.6378W.故接受H ，拒絕H ，即認(rèn)為培訓(xùn)效果不明顯。0 1原假設(shè)與備擇假設(shè)為：H :z 0 H:z 00 0.5 1 0.5選取符號(hào)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：n 1 z0S u u i則

i,i1~b(n,0.5)

i 0 其它這里顯著性水平 0.05,

n9,11Ck0.5k0.59k9

0.01950.05 Ck0.5k0.59k22

0.0898k0 k0所以左側(cè)拒絕域?yàn)閃{S

S

2W.另一方面也可以用P-值也可判斷檢測(cè)值不在拒絕域。檢驗(yàn)的P值pP{S2}0.0898 0.05.S

2W.故接受H ，拒絕H ，即認(rèn)為培訓(xùn)效果不明顯。0 1原假設(shè)與備擇假設(shè)為：H :00

H:01n 1 z0選取統(tǒng)計(jì)量W

uR,其中u i .i ii1

i 0 其他這里顯著性水平 0.05, n9,查表計(jì)算得：滿足P(W

C )0.0537，由于W0.05

密度的對(duì)稱中心為

n(n1)，所以左側(cè)臨界點(diǎn)為

3784

2 2而檢測(cè)值W

n uRi ii1

4.5610.5W故接受H ，拒絕H ，即認(rèn)為培訓(xùn)效果不明顯.0 1序號(hào)123456789101112131415材料序號(hào)123456789101112131415材料A材料B6.67.0 8.3 8.2 5.2 9.3 7.9 8.5 7.8 7.5 6.1 8.9 6.1 9.4 9.17.45.48.88.06.89.16.37.57.06.54.47.74.29.49.1問是否可以認(rèn)為材料A制成的鞋子比材料B耐穿？設(shè)di

xyi

(i1,2, ,15來自正態(tài)總體，結(jié)論是什么？采用符號(hào)秩和檢驗(yàn)，結(jié)論是什么？解：（1）由于d 符合正態(tài)分布，而i原假設(shè)與備擇假設(shè)為：H : 0 H: 00 d 1 d

2未知，所以我們采用T檢驗(yàn)由于

2未知，所以我們選取統(tǒng)計(jì)量zSdnT Sdn

~t(n1)顯著性水平 0.05,

n15, t (14)1.7613,0.95右側(cè)拒絕域?yàn)閃t1.761}.Sdn而檢測(cè)值TSdn

D 0.5533 2.0959W1.022515另一方面也可以用P-值也可判斷檢測(cè)值在拒絕域。檢驗(yàn)的P值pP{T2.0959}0.02740.05.故檢測(cè)值T2.0959W1.022515故拒絕H ，接受H ，即認(rèn)為材料A制成的鞋后跟比材料B耐穿。0 1（2）原假設(shè)與備擇假設(shè)為：H :00

H:01n 1 d 0選取統(tǒng)計(jì)量W

uR,其中u i .i ii1

i 0 其他這里顯著性水平 0.05, n15,查表計(jì)算得：滿足P(W

C )0.0590。0.05右側(cè)拒絕域?yàn)閃{W90}.而檢測(cè)值uRi ii1

RR2

RR6

RR8

R R R R10 11 12 13123.53.5128.56.58.514101593.5W故拒絕H ，接受H ，即認(rèn)為材料A制成的鞋后跟比材料B耐穿。0 1品嘗者A飲料B飲料品嘗者A飲料B飲料12345678910108687513976522464598問兩種飲料評(píng)分是否有顯著性差異？采用符號(hào)檢驗(yàn)法作檢驗(yàn);采用符號(hào)秩和檢驗(yàn)法作檢驗(yàn).解:(1)解：原假設(shè)與備擇假設(shè)為：H :d 0 H:d 00 0.5 1 0.51 xy0u i ii 0 其他

n uii1

S即為更喜歡A 飲料的人數(shù)，若原假設(shè)成立，則S~b(10,0.5)計(jì)算得：10

Ck0.5k0.510k10

0.01070.025 Ck1010

0.5k0.510k

0.0547k9 k81Ck0.5k0.510k110

0.01070.025 Ck22

0.5k0.510k

0.0547k0 k0所以雙側(cè)拒絕域?yàn)椋篧{S

5P值為

5 10p2min{P(S

5),P(S

5)}2 i

0.5i0.510i

1.2460 0.05i0即檢測(cè)值未落入拒絕域，故接受HH。0 1即認(rèn)為兩種飲料的評(píng)分沒有顯著性差異。（2）原假設(shè)與備擇假設(shè)為：H :00

H:01n 1 xy0選取統(tǒng)計(jì)量W

uR,其中u i i .i ii1

i 0 其他這里顯著性水平 n10,查表計(jì)算得：滿足

C )0.02547，則左側(cè)臨界點(diǎn)為0.025n(n1)

4710114782 2雙側(cè)拒絕域?yàn)閃W

8或W

47}.而檢測(cè)值W10uRi ii1

RR1

RRR3 4 58.568.510639WHH，即認(rèn)為兩種飲料的評(píng)分沒有顯著性差異。0 1測(cè)試精神壓力和沒有精神壓力的血壓差別，10個(gè)志愿者進(jìn)行了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)，數(shù)據(jù)如下（單位：毫米汞柱收縮壓）：107108122119116118121111114108127119123113125132121131116124無精神壓力時(shí)有精神壓力時(shí)該數(shù)據(jù)是否表明有精神壓力的情況下的血壓是否有所增加？解:無精神壓力時(shí)有精神壓力時(shí)原假設(shè)與備擇假設(shè)為：H :00

H:0 其中為d1

xyi

總體密度函數(shù)的對(duì)稱中心,n 1 xy0選取統(tǒng)計(jì)量W

uR,其中u i i .i ii1

i 0 其他這里顯著性水平 0.05,n10,查表計(jì)算得：滿足P(W

C )0.0545，則左側(cè)臨界點(diǎn)為0.051)

45101145102 2W{W

10}.而檢測(cè)值W10uRi ii1

R 4W4故拒絕H ，接受H ，即認(rèn)為有精神壓力導(dǎo)致血壓增加。0 1§4.3符號(hào)秩和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量W期望與方差

的漸近正態(tài)性在總體X 的分布關(guān)于原點(diǎn)o對(duì)稱時(shí)，u,u1 2

,un

相互獨(dú)立，每一個(gè)ui

的分布都是P(ui

0)P(ui

1,i1,2,n.。而Sn iu2 i1

，則它的期望與方差分別為：E(S)

i1n21ni1

n(n1)4D(S)

n 21 i14i1

n(n1)(2n1).24由于W與S 有相同的分布，所以n(n1)E(W)(2)漸近正態(tài)性

4n(n1)(2n1).244.5如果總體關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則在樣本容量n趨于無窮大時(shí)，W

有漸近正態(tài)性：WE(W)

D(W)Wn(nD(W)Wn(n1)4n(n1)(2n1)24W

~Nn(n1)4,n(n1)(2n1)24.§4.4 平均秩法平均秩的基本定義：即對(duì)于相同的樣本取平均秩。每個(gè)元素賦予平均秩為：(r1)(r2)(r)

r(r1)2平均時(shí)的秩和與平方和為[r(1)2][r(1)2][r(1)2][r(1)2],(4.8)[r(1)2]2[r(1)2]2[r(1)2]2[r(1)2]2,(4.9)非平均的時(shí)候秩和與平方和為(r1)(r2)(r)[r(1)2],(4.10)(r1)2(r2)2(r)2r2r(1)(1)(21)6,(4.11)(4.8)與（4.10）結(jié)果一樣。由（4.11）減去（4.9）得到[r(1)2]2(r1)2(r2)2(r)2(3)12,(4.12)于是由（4.11）與（4.12）得：n a(i)12nn(n1),(4.13)2i1n

a2i)222n2g

j

)ji1

n(n1)(2n1)

j

12)j ,(4.14)6 124.6在總體的分布關(guān)于原點(diǎn)o對(duì)稱，有結(jié)秩取平均時(shí)，n(n1)E(W)

, (4.15)4

n(n1)(2n1)g24

(3j48

)j ,(4.16)在有結(jié)的情況下，如果總體關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則在樣本容量n趨于無窮大時(shí)，W有漸近正態(tài)性： g W~Nn(n1)4,n(n1)(2n1)24 (3)48j j嚴(yán)格上以上期望與方差是在有結(jié)的情況下的計(jì)算結(jié)果，所以嚴(yán)格書寫應(yīng)該按照以下方式：E(W

,1

,,)g

n(n1),4

(4.15)n(n1)(2n1)

g (3)D(W

,,,

) j j ,(4.16)1 2 g

24 48§4.5對(duì)稱中心的檢驗(yàn)問題有以下幾種情形：原假設(shè)與備擇假設(shè)為H :0 H :0 H :0

H:1 0H:1 0H:1 04.5：通常認(rèn)為人在放松條件下入睡的時(shí)間比緊張狀態(tài)下的入睡時(shí)間要少兩分鐘，現(xiàn)在有十名男性，他們?cè)诜潘上屡c緊張狀態(tài)下的入睡時(shí)間分別為x與y，i idxi

y，表4.10108個(gè)小與-2，只有2個(gè)不小于-2，所以我們i2分鐘，這個(gè)猜測(cè)是否正確？研究對(duì)象iiiii研究對(duì)象iiiiiiiiii放松條件非放松條件差值差值+2絕對(duì)值秩xydxycd2cR11015-5-3372912-3-11331222-10-88104815-7-5595910-111367702267816-6-4488710-3-11391114-3-1131069-3-11310 1 c0符號(hào)秩和檢測(cè)值為W

uR369, u i原假設(shè)與備擇假設(shè)為

i ii1

i 0 其他H :2 H:20 1左側(cè)拒絕域?yàn)閃{W10}.而檢測(cè)值W10uRi ii1

369W故拒絕H 接受H 即認(rèn)為成年男性在放松條件下入睡的時(shí)間比緊張狀態(tài)下入0 12分鐘。由于樣本容量n足夠大的時(shí)候，W

測(cè)。原假設(shè)與備擇假設(shè)為H :2 H:20 1 g 在H 為真的時(shí)，W

~Nn(n1)4,n(n1)(2n1)24

)48即W

0

j j檢測(cè)值為：W

10uRi ii1

369pP(W

9)(9.527.5 93.75)0.0315110.05下，檢測(cè)值落入拒絕域故拒絕H 接受H 即認(rèn)為成年男性在放松條件下入睡的時(shí)間比緊張狀態(tài)下入0 12分鐘。§5.1Mood中位數(shù)檢驗(yàn)法2哪一個(gè)企業(yè)職工的工資高？1.3兩個(gè)企業(yè)職工的工資11112131415161718 19 20 406023456789103050他們的合樣本為3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18.19,2030,40,50,60,其中帶[]21的工資，合樣本的中位數(shù)13.5，將以上數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為四表格5.1四格表工資工資<13.5千元工資>13.5千元合計(jì)1N 311N 912N1122N8N21222N 102合計(jì)N11N1211N 3111111N N P 11

11 2212 12

，這說明N11服從超幾何分布MNMknk P(Xk) Nn n

,n}E(X)nMNX和Y的中位數(shù)分別為mex

和mey原假設(shè)與備擇假設(shè)為H :me me0 x

H:me me1 x y在H 成立的情況下，N 服從超幾何分布h(N ,12,11,22)0 11 11這是一個(gè)單側(cè)檢驗(yàn)問題，拒絕域在左邊.N11

3P值為P(N11

3)P(N11

1)P(N11

2)P(N11

1.71050.0009360.0140340.014987 0.05所以檢測(cè)值N 3落入拒絕域，11故拒絕H ，接受H ，即認(rèn)為企業(yè)1的職工比企業(yè)2的職工的工資要高。0 1§5.2 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)法xx1 2

,,xN

，不妨設(shè)總體是連續(xù)的隨機(jī)變量，從而可1以以概率為保證樣本單元xx11 2

,,xN

互不相等，則單個(gè)的秩N服從均勻分布：iP(Ri

r)1,r1,2,,N,N由以上結(jié)論，我們可以得出5.1對(duì)任意的i1,2,N都有E(RiD(Ri

)(N1),2)(N21).12證明：對(duì)于任意的i1,2, ,N,，都有E(Ri

)N

rP(Ri

r)

1N rN

(N1),2E(R2)

r2P(Rr)

1

(N1)(2N1).i i N

6 D(R)E(R2)(E(R

))2

(N1)(2N1)N12i i N21.12

6 2 5.2對(duì)于任意的1ijN，都有(N1)Cov(R,Ri j

) .12證明：對(duì)于任意的1ijN，都有 rrE(RR) rrP(R

r,R r)

12 .i j 12rr

i 1 j 2

rr

N(N1)1 2 2

1 2N(N1)2

N(N1)(2N1)rr r

121 rr r 1

2 6N(N1)(3N2)(N1),12 rr (N1)(3N2)E(RR)

12 .i jrr

N(N1) 121 2所以Cov(R,Ri j

)E(RRi j

)E(Ri

)E(R)j(N1)(3N2)

12 12(N1).12

2 5.22 Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)的求解過程例1.222名職工合在一起，從小到大排序得到下表：[3][4][5][6][7][8][9][10]111213123456789101114151617181920[30]40[50]601213141516171819202122工資秩工資秩帶[]2的工資，不帶[]1工資秩工資秩考慮到人數(shù)多的檢驗(yàn)效果一樣，所以一般我們選擇人數(shù)少的企業(yè)的秩和作檢驗(yàn)。12的中位數(shù)分別為mex

和mey原假設(shè)與備擇假設(shè)為H:me0

mey

H:me1

mey選取統(tǒng)計(jì)量W2

，這里W2

2的員工工資的秩和。W 123456781921662這是一個(gè)單側(cè)檢驗(yàn)問題，拒絕域在左邊.查表得：P(W 76)0.0052p值P(W2

66)P(W2

76)0.005 0.05故檢測(cè)值在拒絕域，所以拒絕原假設(shè)H0，接受備擇假設(shè)H1，21要低.§5.3Wilcoxon秩和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)xx1 2

,,xm

yy1

,,yn

分別來自相互獨(dú)立的連續(xù)隨機(jī)變量總體X和Yxx1 2

,,xm

,y,y1

,,yn各元素互不相同，樣本容量為mn，原假設(shè)H :X和Y同分布.0記y(j1,2,,n)在合樣本中的秩為R(R 1,2,,N)在原假設(shè)H 為真j j j 0(RR1 2

,Rn

服從均勻分布：所以P(R1

r,R1

r,R2

r)n

1 ,N(N1)(Nn1)記Y 的樣本y,y1 2

,,yn

的秩和為nW Rny j下面討論Wilcoxon秩和統(tǒng)計(jì)量的分布性質(zhì)n(n1),

n(n1)

n(n1)

2,n(n1)

mn它依次取 2 2 2 2由于(RR1

,Rn

服從均勻分布：所以Wy

具有以下性質(zhì)性質(zhì)5.1設(shè)原假設(shè)H :X和Y同分布成立，W的概率分布和累積概率分別為0 yP(W

d)P(

d)

tm,n

(d)ny i Nni1 nP(W

d)P(

Rd)

tid

m,n

(i)y i Nni1 n dn(n1),n(n1)1,n(n1)2,n(n1)mn,2 2 2 2tm,n(d為從1,2,mn取n數(shù)，其和恰好為d的取法數(shù)。從1,2,,2210個(gè)數(shù)，其和恰好為d的取法121055故t故

1291156故t故

1281011571291257故t故12,10

(57)212791011581281012581291358故t故12,10

126891011591267910125912678111259126781013591267891459故t故12,10

假設(shè)從1,2,Nnaa1 2

,,an

n(N1dd的取法數(shù)與和為n(N1d的取法數(shù)一樣多。從而P(W d)P(W n(N1)d)y yP(Wy

d)P(Wy

n(N1)d)故Wy

n(n1) n(n1) n(n1)d , 1, 2 2 2n(N1)概率密度的對(duì)稱軸為 2 .從而有

n(N1) n(N1)P(W y

d)P(W2

d)2n(N1) n(N1)P(W y

d)P(W2

d)22

n(N1)5.2H5.15.2知

為真的條件下，W0

概率密度的對(duì)稱軸為 2 .E(W

R)nE(R

)n

N1

n(N1)yD(Wy

i1)D(n

iR)i

iD(Ri

2 2Cov(R,R)i ji1 i1 1ijnnD(Ri

)n(n1)Cov(R,R)1 2nN21n(n1)(N1)12 12n(N1)(Nn)nm(N1).12 12H0為真的條件下，當(dāng)nm時(shí)，Wy有漸進(jìn)正態(tài)性.由以上分析，有以下結(jié)論.性質(zhì)5.4在原假設(shè)H 為真的條件下，當(dāng)n,m時(shí)，有0W D(WD(W)ymn(N1)2

Wy

n(N1)2

§5.2.4Wilcoxon秩和檢驗(yàn)的備擇假設(shè)原假設(shè)與備擇假設(shè)為H :X和Y同分布 H0

:P(XY)121H :X和Y同分布 H0

:P(XY)21H :X和Y同分布 H0 1

:P(XY)2yH1:PXY)2成立的條件下，Wy1

的值較小.H:P(XY)在1

2成立的條件下，Wy1

的值較大.H1PXY)

2成立的條件下，Wy

的值可能較小也可能較大.§5.2.5 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)的平均秩法對(duì)于任意的記分函數(shù)，我們有定理5.6xx

, ,x

xa(R

，則1 2 N i i對(duì)于任意的1ijN，都有E(a(Ri

))aD(a(Ri

))

Ni1

2(a(i)a)Cov(a(Ri

),a(aj

1N(N1)

i1

2(a(i)a)證明：Cov(a(R),a(R))E(a(R)a(R))E(a(R))E(a(R))i j j i j 1N(N1)

ij

a(i)a(j)a22aa N aN a22i jij又

i1

i ii1N(Na)2故

a2ii1Cov(a(Ri

),a(Rj

))E(a(Ri

)a(Rj

))E(a(Ri

))E(a(R))j( 1

1)a2

1

a2(i)N1 N(N1)

i1 1N(N1)

Ni1

2(a(i)a)定理5.7xx1 2

,,xm

y,y1

,,yn

分別來自相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量總體X 和Y .令Nmn，記y(j1,2,,n)在合樣本中的秩為jR(Rj

1,2,,N)設(shè)有計(jì)分函數(shù)a(r)(r1,2,,N)則在X 和Y 同分布時(shí)有E(ni1

a(R))naiD(ni1

a(Ri

nmN(N1)

Ni1

2(a(i)a)D(n a(R))n D(a(R))n(nCov(a(R),a(R))利用 i i 1 2i1 i1

證明。D(n

a(Ri

))

D(a(Ri

))n(n1)Cov(a(R1

),a(R))2i1 i1nN

(a(i)a)2

n(n)N(N1)

(a(i)a)2i1 i1nmN

(a(i)a)2i1針對(duì)有結(jié)的情況下，在a(Ri

)Ri

下，由（4.13）（4.14）1a N1Ni1

a(i)

N122N (ai)a)2

a2(i)Na2i1 i1N(N)(2N)g 3)

N126N(N1)(N1)

jg j

j12)j

N 2 12 12ii于是 E(a(R

))a

N12

（5.4）D(a(Ri

))NNi1

(a(i)a)2N2

1

j

)j

（5.5）12 12Nj1Cov(a(Ri

),a(Rj

))

1N(N1)

Ni1

(a(i)a)2jN1g j

)j

（5.6）12

12N(N1)在有結(jié)的情況下，wilcoxon秩和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量W 的期望與方差分別為y由以上結(jié)論，有nW a(R)ny ii1

N1 n(N1)E(Wy

)nan 2 2y

nmN(N1)

Ni1

(a(i)a)2nm(N) nm

(3)12 12N(N1)

j jj1W ~N(E(Wy

), D(W))y5.2.5為了比較兩種型號(hào)的汽車每加侖汽油的行駛里程，合樣本中的秩見表如下：汽車行駛里程（英里）秩序汽車行駛里程（英里）秩序120.621121.324219.916217.64318.68317.43418.911418.57518.89.5519.713620.218621.123721.022717.32820.519.5818.89.5919.814.5917.851019.814.51016.911119.2121118.061220.519.51220.117第一種型號(hào)汽油第二種型號(hào)汽油解;第一種型號(hào)汽油第二種型號(hào)汽油H :X和Y同分布0

H:P(XY)11 21選取統(tǒng)計(jì)量W1

12i1

a(R)12 Ri ii1則W~N(E(W1

), D(W1

))N(150,299.61)1檢測(cè)值W1

12 Rii1

185.5這是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)問題，拒絕域在兩側(cè)P值2P(W1

185.5)0.04 0.05故檢測(cè)值落入拒絕域，所以拒絕原假設(shè)H ，接受備擇假設(shè)H ，0 1即對(duì)于每加侖汽油汽車行駛的里程數(shù)不相同，而且認(rèn)為對(duì)于每加侖汽油，第一種汽油行駛的里程數(shù)大?！?.2.5 Wilcoxon秩和處理位置參數(shù)差的檢驗(yàn)問題原假設(shè)與備擇假設(shè)為H :a0H :a0H :a0

H :a1H :a1H :a1原假設(shè)與備擇假設(shè)為H :me0 H :me0 H :me0

me yme yme y

H :me1 H :me1 H :me1

me yme yme y以上檢測(cè)均可用Wilcoxon秩和處理.74-77的Mann-WhitneyU統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)法與Wilcoxon檢驗(yàn)法類似，因?yàn)閮煞N檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量只相差一個(gè)常數(shù)，故檢測(cè)模式類似，這里就不做詳細(xì)介紹.§5.4 兩樣本尺度參數(shù)的秩檢驗(yàn)法X和Y的分布函數(shù)分別為F(x)和Gy)Gy)Fyb),成立的充分必要條件由bXdY知，對(duì)于任意的y都有G(y)P(Yy)P(bXy)P(Xyb)F(yb)必要性的證明.若對(duì)任意y都有G(y)F(yb)，則由于bX 的分布函數(shù)P(bXx)P(Xxb)F(xb)G(x)P(Yx)所以bXdY.當(dāng)b1時(shí)GG(x)F(x)P(Yc)P(bXc)P(XP(Yc)P(bXc)P(X

c)P(Xc),c0bc)P(Xc),c0bP(Yc)PXcc0P(Yc)PXcc0P(Yc)PXcc0由以上式子知：YX要大.y,y1 2

,,yn

xx1 2

,,xm

傾向于排中間。類似的當(dāng)0b1時(shí)，P(Yc)P(bXc)P(XP(Yc)P(bXc)P(X既有

c)P(Xc),c0bc)P(Xc),c0bP(Yc)P(Xc),c0P(Yc)P(Xc),c0由以上式子知：YX要小.y,y1 2

,,yn

xx1 2

,,xm

傾向于排兩邊?！?.4.2尺度參數(shù)檢驗(yàn)問題（1）Mood檢驗(yàn)a(r)

a(r)r

N12,r,,,N2 （2）Ansari-Bradley檢驗(yàn)

N12N12取計(jì)分函數(shù)a(r)為單峰函數(shù)，a(r) 2 r

r ,r1,2,3,,Nr1,2,k,即在N2k時(shí)，a(r)N1r rk1,k2,,N; r r1,2,k1,即在N2k1時(shí)，a(r)N1r rk2,k3,,N;例如N8時(shí)1234567812344321ra(r)rara(r)ra(r)123456789123454321記Anri1

a(R)i（3）siegel-Turkey檢驗(yàn)a(r為單谷函數(shù)，被減序列為0，3,4 7,8 11,12 10,9 6.5，2,1例如N9123456789965213478ra(r)記S ra(r)yi1

a(R)i (4)Klotz 取a(r)為單谷函數(shù)a(r)1(rN1)2,r1,2, ,N.記K yi1

a(R)i5.14尺度參數(shù)檢驗(yàn)問題的解H0被擇假設(shè)H何種情況拒絕原假設(shè)1b1M A比較小y yX和Y同分布S 比較大，M 比較大y yb1MyA比較大yS比較小，M 比較小y yb1M A比較大或比較小y yS 比較大或比較小，M 比較大或比較小y y尺度檢驗(yàn)的引例：尺度檢驗(yàn).ppt尺度檢驗(yàn).ppt第六章多樣本問題§6.1Kruskal-Waillis檢驗(yàn)6.1某公司的管理人員來自三所大學(xué)，年度評(píng)分如下：A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)84755872657875808095556272956590697275426.3各組秩的均值的計(jì)算AA大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)1712395.5141215.515.519.524919.55.51879121R 96.51R13.791R 61.5R 96.51R13.791R 61.52R 10.252R 523R7.433ii原假設(shè)與備擇假設(shè)分別為H :0 1

,k

H:,1 1

,,k

不全相等總的秩的均值為R組間平方和為

96.561.55210.520n 2SSB n(Ri i

R)i17(13.7910.5)26(10.2510.5)27(7.4310.5)2142.118引入統(tǒng)計(jì)量H 12

SSB

12 142.1184.06N(N1) 20211由于(n1

,n,n2

)(7,6,7Kruskal-Waillis檢驗(yàn)臨界值表中查不到，考慮到當(dāng)nH~2(k1)2(2)，所以用2檢驗(yàn)PP(

2(2)4.06)0.1313360.05P員的管理水平無顯著性差異。§6.1.2 Kruskal-Wallis檢驗(yàn)設(shè)樣本各不相同。原假設(shè)與備擇假設(shè)分別為H :0 1

,k

H :,1 1

,,k

不全相等，我們用ANOVA方法處理總均值為總偏差為SST

i

(R R)2ij

i

R2 NR2iji1 i1

N12

N(N21)

22

N2

N 2 12組間平方和SSB與組內(nèi)平方和SSW分別為SSBk n(RR)2i i

n(Ri i

N1)22

（6.1）i1 i12

(R R)2ij ii1 由于

N(N21)SSWSSTSSB SSB12所以只需計(jì)算組間差SSB。選取統(tǒng)計(jì)量H 12

SSB

12

n(R

N1)2N(N1) N(N1)

i i 2i1 12 N(N1)

R2i

N(N1)2]4

6.2 12N(N1)

ni1 k R2in

（ ）3(N1),i1,2,k.i1 i§6.1.3 Kruskal-wallis檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的漸進(jìn)分布5.3知E(R

n) i

(N1)

與D(R

n) i

(Nni

)(N1)i 2 i 12(N1) (Nn)(N1)E(Ri)

與D(R2 i

i12niN1 (Nn)(N1)E(Ri所以

)2D(R)2 i

i12niE(SSB)

ki12

nE(Ri i

N1)22k

(Nnnin

)(N)N1

(Nn)ii1

12ni

12 ii1N(N1)(k1).12E(H) 12N(N1)

E(SSB) 12 N(N1)(k1)N(N1) 12時(shí)n時(shí)

k1.當(dāng)min{nn1 2

,,nk

,且iN

(0,1).iKruskal-WaillisH漸進(jìn)服從2(k1。即HL2(k)

（6.3）§6.1.4有相等觀察值時(shí)Kruskal-wallis檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的修正E(R )iD(R

n(N1)i2n(Nngi g

)(N1)n

(Nn

)

)/(12N(N1))iE(R)i

(N1)2(Nn

12)(N1)

i i i i1gD(R)i

i12n

(Nni

) (3i

i

N(N1))D(Ri

)E(Ri