氣體動(dòng)理論(大學(xué)物理)

（Thetheoryofmolecularmotionofgas)

氣體動(dòng)理論熱學(xué):研究熱現(xiàn)象及其規(guī)律的學(xué)科熱力學(xué)系統(tǒng)以外的物體稱(chēng)為外界。例：若汽缸內(nèi)氣體為系統(tǒng)，其它為外界1.熱學(xué)的研究對(duì)象及內(nèi)容對(duì)象：宏觀物體（大量分子原子的系統(tǒng)）或物體系

—稱(chēng)為熱力學(xué)系統(tǒng)。

8.1

熱學(xué)的基本概念宏觀：熱現(xiàn)象是與溫度有關(guān)的現(xiàn)象微觀：熱現(xiàn)象是與分子熱運(yùn)動(dòng)有關(guān)的現(xiàn)象

8.1.1熱力學(xué)系統(tǒng)平衡態(tài)孤立系統(tǒng)——和外界無(wú)質(zhì)量、能量交換封閉系統(tǒng)——和外界無(wú)質(zhì)量交換、有能量交換開(kāi)放系統(tǒng)——和外界既有質(zhì)量交換、也有能量交換2.熱學(xué)的研究方法▲

熱力學(xué)（thermodynamics）宏觀基本實(shí)驗(yàn)規(guī)律熱現(xiàn)象規(guī)律邏輯推理▲

統(tǒng)計(jì)力學(xué)（statisticalmechanics）對(duì)微觀結(jié)構(gòu)提出模型、假設(shè)統(tǒng)計(jì)方法熱現(xiàn)象規(guī)律熱力學(xué)系統(tǒng)的分類(lèi):

系統(tǒng)狀態(tài)的描述：（1）宏觀描述法用一些可以直接測(cè)量的物理量（稱(chēng)為宏觀量）來(lái)描述系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)例如：p,V,T,Ｍ等（2）微觀描述法

給出系統(tǒng)中每個(gè)微觀粒子的力學(xué)參量（稱(chēng)為宏觀量）來(lái)描述系統(tǒng)例如：分子的質(zhì)量、速度、直徑、動(dòng)量微觀量與宏觀量有一定的內(nèi)在聯(lián)系。在不受外界影響的條件下,熱力學(xué)系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間改變的狀態(tài),稱(chēng)為平衡態(tài)。平衡態(tài)：體系的溫度、壓強(qiáng)、密度等宏觀量處處相同，在p-V圖上可用一點(diǎn)表示

3.平衡態(tài)（equilibriumstate）處在平衡態(tài)的大量分子仍在作熱運(yùn)動(dòng),而且因?yàn)榕鲎?每個(gè)分子的速度經(jīng)常在變--------動(dòng)態(tài)平衡平衡態(tài)是熱學(xué)中的一個(gè)理想化狀態(tài)。一組狀態(tài)參量一個(gè)平衡態(tài)描述對(duì)應(yīng)狀態(tài)參量之間的函數(shù)關(guān)系稱(chēng)為狀態(tài)方程,記作:描寫(xiě)平衡態(tài)下系統(tǒng)宏觀屬性的一組獨(dú)立宏觀量，稱(chēng)為狀態(tài)參量（stateparameter）例如：氣體系統(tǒng)的p、V、T

8.1.2熱力學(xué)第零定律

如果兩個(gè)物體各自與第三個(gè)物體達(dá)到熱平衡，它們彼此也必處在熱平衡cabcab處在同一熱平衡狀態(tài)下的熱力學(xué)系統(tǒng)，具有一個(gè)共同的宏觀性質(zhì)，定義它為系統(tǒng)的溫度。溫度的測(cè)量：溫度計(jì)溫度的標(biāo)度（溫標(biāo)）1）經(jīng)驗(yàn)溫標(biāo)：以某物質(zhì)的某一屬性隨冷熱程度的變化為依據(jù)而確定的溫標(biāo)稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)溫標(biāo)。經(jīng)驗(yàn)溫標(biāo)除標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)外，其他溫度并不完全一致。如：水冰點(diǎn)沸點(diǎn)攝氏溫標(biāo)：00C1000C華氏溫標(biāo)：32F212F2）理想氣體溫標(biāo)：以理想氣體作測(cè)溫物質(zhì)3）熱力學(xué)溫標(biāo)：不依賴(lài)任何具體物質(zhì)特性的溫標(biāo)規(guī)定：水的三相點(diǎn)

T0=273.16K8.1.3理想氣體及其狀態(tài)方程理想氣體：嚴(yán)格遵守四條定律(玻馬定律、蓋-呂薩克定律、查理定律和阿伏伽德羅定律)的氣體其狀態(tài)方程為：理想氣體的狀態(tài)方程：R=8.31J/mol·KT----KV----m3p----Pa設(shè)：m--單個(gè)分子質(zhì)量;μ--摩爾質(zhì)量；分子數(shù)為Ｎ，Ｍ為體系內(nèi)氣體的總質(zhì)量單位：

n----分子數(shù)密度(單位體積中的分子數(shù))

k=R/NA

=1.3810–23J/K----玻耳茲曼常數(shù)因?yàn)?---理想氣體狀態(tài)方程的另一形式8.2

理想氣體的壓強(qiáng)和溫度

8.2.1理想氣體的壓強(qiáng)

1.理想氣體的微觀模型和統(tǒng)計(jì)假設(shè)a.氣體分子當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)，不占體積；(1)

對(duì)單個(gè)分子個(gè)體力學(xué)性質(zhì)的微觀假設(shè)b.分子之間只在碰撞時(shí)有力作用(忽略重力)c.

分子之間是完全彈性碰撞d.

分子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律遵從牛頓力學(xué)(2)統(tǒng)計(jì)規(guī)律大量偶然事件從整體上反映出來(lái)的一種必然的規(guī)律性。定義:某一事件i發(fā)生的概率為Pi

Ni……事件

i發(fā)生的次數(shù)；

N……各種事件發(fā)生的總次數(shù)

統(tǒng)計(jì)平均值的計(jì)算：統(tǒng)計(jì)規(guī)律有以下幾個(gè)特點(diǎn):a.只對(duì)大量偶然的事件才有意義b.它是不同于個(gè)體規(guī)律的整體規(guī)律

(量變到質(zhì)變)c.總是伴隨著漲落伽耳頓板表演實(shí)驗(yàn)個(gè)體事件有偶然性，大量偶然事件整體遵守統(tǒng)計(jì)規(guī)律單個(gè)粒子行為---偶然大量粒子行為---必然

dV----體積元

(宏觀小,微觀大)即：氣體分子在空間的分布是均勻的，分子數(shù)密度處處相同b.平衡態(tài)時(shí)分子的速度按方向的分布是各向等概率的。a.平衡態(tài)時(shí)，在無(wú)外場(chǎng)的情況下，分子在各處出現(xiàn)的概率相同，(3)對(duì)分子集體的統(tǒng)計(jì)規(guī)律假設(shè)由矢量合成法則，分子速度的方均值為：則注意：統(tǒng)計(jì)假設(shè)是對(duì)系統(tǒng)中大量分子平均而言的，若系統(tǒng)包含的分子數(shù)越多，假設(shè)就愈接近實(shí)際情況。即前提：平衡態(tài)，忽略重力，分子看成質(zhì)點(diǎn)（即只考慮分子的平動(dòng)）；討論對(duì)象：同一種氣體，每個(gè)分子質(zhì)量為m，

N……總分子數(shù)，V……體積，2.理想氣體壓強(qiáng)公式的推導(dǎo)

一個(gè)分子一次碰撞對(duì)器壁的沖量利用壓強(qiáng)的定義得到氣體對(duì)器壁的壓強(qiáng)

全部分子一次碰撞對(duì)器壁的沖量推導(dǎo)思路：(1)如圖考慮速度為的第i個(gè)分子對(duì)A面的一次碰撞AA′x0y0z0xyz因?yàn)槭菑椥耘鲎?，分子碰到A面后速度分量由vix變?yōu)楱Cvix(-mvix)-mvix=-2mvix分子受的沖量為-2mvix

A面受到的沖量為2mvix分子的動(dòng)量增量為(2)第i個(gè)分子與A面碰撞一次所需時(shí)間為:

AA′x0y0z0xyz(3)時(shí)間內(nèi)第i個(gè)分子與A面碰撞的次數(shù):(4)時(shí)間內(nèi)A面受到第i個(gè)分子的沖量為

(5)時(shí)間內(nèi)A面受到所有分子的沖量為

由壓強(qiáng)的定義:

AA′x0y0z0xyz----理想氣體壓強(qiáng)公式定義分子平均平動(dòng)動(dòng)能：壓強(qiáng)公式又可表示為：1.壓強(qiáng)公式是一個(gè)統(tǒng)計(jì)規(guī)律；2.壓強(qiáng)是由于大量氣體分子碰撞器壁產(chǎn)生的，它是對(duì)大量分子統(tǒng)計(jì)平均的結(jié)果。對(duì)單個(gè)分子無(wú)壓強(qiáng)的概念。說(shuō)明：宏觀量p微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值壓強(qiáng)公式∴壓強(qiáng)只有統(tǒng)計(jì)意義3.上述壓強(qiáng)公式適用于任意形狀的容器4.無(wú)法用實(shí)驗(yàn)直接驗(yàn)證將p=nkT

代入壓強(qiáng)公式得1.表示宏觀量溫度T與微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值之間的關(guān)系----溫度的統(tǒng)計(jì)意義。2.溫度是大量氣體分子熱運(yùn)動(dòng)劇烈程度的量度與氣體種類(lèi)無(wú)關(guān)----溫度的微觀實(shí)質(zhì)。8.2.2理想氣體的溫度3.分子的平均平動(dòng)動(dòng)能只與T有關(guān)，與氣體性質(zhì)無(wú)關(guān),與整體定向運(yùn)動(dòng)速度無(wú)關(guān)。稱(chēng)為方均根速率5.成立條件：理想氣體平衡態(tài)。4.運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的,因而絕對(duì)零度不可能達(dá)到例.在273K時(shí)：H2分子O2分子例題

一容器體積V=1m3,有N1=1×1025個(gè)氧分子，N2=4×1025氮分子，混合氣體的壓強(qiáng)p=2.76×105pa,求分子的平均平動(dòng)動(dòng)能及混合氣體的的溫度。解:由壓強(qiáng)公式所以=8.26×10-21J又混合氣體的的溫度：=400K例題

兩瓶不同種類(lèi)的氣體，溫度、壓強(qiáng)相同，但體積不同，則相同。(2)它們單位體積中的氣體質(zhì)量不相同。(3)它們單位體積中的分子平均平動(dòng)動(dòng)能的總和(p=nkT)(=mn)相同。(1)它們單位體積中的分子數(shù)自由度－確定一個(gè)物體的空間位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)，用i表示

。i

=t=3t……平動(dòng)自由度8.3能量均分原理1.單原子分子（如He,Ne,Ar等

）

可視為質(zhì)點(diǎn),確定它在空間的位置需3個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，故有3個(gè)自由度，稱(chēng)為平動(dòng)自由度。8.3.1自由度r=2（，

）r……

轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，總自由度：i=t+r=52.剛性雙原子分子（如O2，H2

，CO）兩原子之間成細(xì)桿啞鈴似的結(jié)構(gòu),C確定質(zhì)心C,

需知要3個(gè)平動(dòng)自由度，t=3（x，y，z）確定軸的取向，需要2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度（

，

）；0zxy軸C(x,y,z)γlr=3（

，

，）t=3（質(zhì)心坐標(biāo)x，y，z）i=t+r＝６總自由度：3.剛性多原子分子(可看作剛體)質(zhì)心,要3個(gè)平動(dòng)自由度；確定過(guò)質(zhì)心的軸的方位需２個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度（

，

）；確定分子繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)需要１個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度

；xzy一個(gè)平動(dòng)自由度對(duì)應(yīng)的平均動(dòng)能為即：——能量按自由度均分原理由于分子碰撞頻繁，平均地說(shuō)，能量分配沒(méi)有任何自由度占優(yōu)勢(shì)。即：在溫度為T(mén)的平衡態(tài)下，分子熱運(yùn)動(dòng)的每一個(gè)自由度所對(duì)應(yīng)的平均動(dòng)能都等于由及我們可以得知：8.3.2能量按自由度均分原理由此可知，如果一個(gè)分子有i個(gè)自由度，其平均動(dòng)能所以，根據(jù)能量均分原理，

每個(gè)剛性分子熱運(yùn)動(dòng)的平均動(dòng)能為內(nèi)能：系統(tǒng)內(nèi)所有分子的動(dòng)能和勢(shì)能的總和。8.3.3.

理想氣體內(nèi)能對(duì)理想氣體：分子有動(dòng)能，它與氣體溫度有關(guān)。分子間無(wú)相互作用，則無(wú)相互作用勢(shì)能所以：內(nèi)能=所有分子動(dòng)能之和設(shè)理想氣體有N個(gè)分子，則內(nèi)能公式：說(shuō)明：(1)理想氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)(3)利用理想氣體的狀態(tài)方程可得(1)kT/2----分子的一個(gè)自由度平均分配的動(dòng)能(2)3kT/2----分子的平均平動(dòng)動(dòng)能(3)ikT/2----分子的平均動(dòng)能(4)3RT/2----1摩爾分子的平均平動(dòng)動(dòng)能的總和(5)MiRT/2μ----質(zhì)量為M，摩爾質(zhì)量為μ

的分子的平均動(dòng)能的總和1mol單原子理想氣體的內(nèi)能Emolνmol理想氣體的內(nèi)能E例：說(shuō)明下列各式的物理意義例:一容器內(nèi)裝有某一理想氣體，其溫度為00C，壓力為1.0×10-2大氣壓，密度為1.24×10-2Kg/m3。求：（1）氣體的摩爾質(zhì)量，（2）氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能，（3）容器單位體積內(nèi)分子的總平動(dòng)動(dòng)能，（4）若該氣體有0.3mol，求其內(nèi)能。)(/1028)1(:23CONmolkgpRTμRTμMpV或解-×==\=r

8.4麥克斯韋速率分布律8.4.1

速率分布函數(shù)麥克斯韋（Maxwellslawofdistributionofspeeds）

氣體中個(gè)別分子的速度具有怎樣的數(shù)值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整體來(lái)看，在一定的條件下，氣體分子的速率分布也遵從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。這個(gè)規(guī)律也叫麥克斯韋速率分布律。設(shè)：一定量理想氣體，dNv

為速率vv+dv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)，N為總分子數(shù),則易知即由于dNv

/N

是速率v附近dv區(qū)間的分子數(shù)與總分子數(shù)之比，所以它應(yīng)與v

的大小有關(guān)，可以寫(xiě)成：即f(v)稱(chēng)為速率分布函數(shù)（functionofdistributionofSpeeds）f(v)的物理意義：速率在v附近、單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，或單位速率區(qū)間內(nèi)分子出現(xiàn)的概率，即概率密度因?yàn)樗赃@稱(chēng)為速率分布函數(shù)的歸一化條件。即應(yīng)用速率分布函數(shù)，可以求出一些統(tǒng)計(jì)平均值，如：平均速率，速率平方的平均值等。分立：連續(xù)：平均速率:所有分子速率的平均值。同理，可得速率平方的平均值：8.4.2

麥克斯韋速率分布函數(shù)

1859年麥克斯韋（Maxwell）導(dǎo)出了理想氣體在無(wú)外場(chǎng)的平衡態(tài)（T）下，分子速率分布函數(shù)為：

f(v)0vv+dvT，m一定v圖中曲線下的面積為該速率區(qū)間內(nèi)分子出現(xiàn)的概率。

f(v)0vv+dvT，m一定v曲線包圍的面積總各為1?？芍河蓺w一化條件應(yīng)用麥克斯韋速率分布函數(shù)，可以求得理想氣體分子的一些統(tǒng)計(jì)平均值。如：平均速率，方均根速率和最概然速率。

1.理想氣體分子的最概然速率

f(v)0vpT，m一定v由圖可知，vp的物理意義是vp附近單位速率區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比最大。如圖示，相應(yīng)于速率分布函數(shù)f(v)的極大值的速率稱(chēng)為最概然速率，記作v

p

。由有：當(dāng)分子質(zhì)量m一定時(shí)，速率大的分子數(shù)比例越大，

f(v)0vp1m

一定vvp2T1T2>T1思考:

T一定，m2>

m1，速率分布曲線如何？氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)越激烈。左圖表明：溫度越高，代入麥?zhǔn)纤俾史植己瘮?shù)，經(jīng)計(jì)算可得：理想氣體分子的平均速率利用理想氣體分子的方均根速率—主要在討論分子平均平動(dòng)動(dòng)能時(shí)用—主要在討論分子碰撞問(wèn)題時(shí)用—主要在討論分子的速率分布時(shí)用比較可得：例：試說(shuō)明下列各式的物理意義。表示在速率v附近，dv速率區(qū)間內(nèi)分子的個(gè)數(shù)。表示在速率v1~v2速率區(qū)間內(nèi)，分子出現(xiàn)的概率。表示在速率v1~v2速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。分子速率的總和補(bǔ)充：一個(gè)與速率有關(guān)的物理量g(v)的統(tǒng)計(jì)平均值的公式——物理量g(v)在速率區(qū)間[v1,v2]之間的平均值——物理量g(v)在全部速率區(qū)間的平均值例:

如圖表示氫氣和氧氣在同一溫度下的速率分布,求氫分子和氧分子的方均根速率例：設(shè)某氣體的速率分布函數(shù)求：（3）速率在之間分子的平均速率解：（1）常量a和v0的關(guān)系（2）平均速率（1）歸一化條件vv00為（2）設(shè)總分子數(shù)為N，則（3）對(duì)否？—不對(duì)！上式分母上的N應(yīng)為

1920.Stern實(shí)驗(yàn)

1934.葛正權(quán)實(shí)驗(yàn)

1955.Milletandkusch

實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)O---鉍蒸氣源,

溫度為T(mén)

S1,S2,S3---狹縫Q---圓筒,轉(zhuǎn)速可達(dá)

500轉(zhuǎn)/秒G---玻璃薄板

8.4.3麥克斯韋速率分布律的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證設(shè)速率為v

的分子沉積在P’處飛行時(shí)間一定的S

值相應(yīng)于一定的分子速率

v?；￠L(zhǎng)PP’

=S分子的v小，沉積處S大。實(shí)驗(yàn)的物理思想:用測(cè)微光度計(jì)測(cè)定薄玻璃板上各處分子的沉積厚度。分子的沉積厚度隨S的變化關(guān)系實(shí)驗(yàn)結(jié)果：符合麥克斯韋速率分布率。分子數(shù)與速率的關(guān)系實(shí)驗(yàn)中,圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)約十幾小時(shí);8.6碰撞及輸運(yùn)過(guò)程8.6.1氣體分子的碰撞與平均自由程1.有關(guān)分子碰撞的幾個(gè)統(tǒng)計(jì)量(1)自由程—