山西省臨汾市蒲縣第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析

山西省臨汾市蒲縣第二中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.（5分）已知sinα=，α∈（0，），則tan2α=（）A．﹣B．C．﹣D．2參考答案：A【考點(diǎn)】：二倍角的正切；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【專題】：計(jì)算題；三角函數(shù)的求值．【分析】：由同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系先求cosα，tanα的值，由二倍角的正切函數(shù)公式即可求值．解：∵sinα=，α∈（0，），∴cosα==，tanα==2，∴tan2α===﹣．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，二倍角的正切函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2.已知向量a，b滿足（a+2b）·（a-b）=－6，且1，，則a與b的夾角為（

）

參考答案：C3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（

）A．（-2，-1）

B．（-1，0）

C．（0，1）

D．（1，2）參考答案：B4.函數(shù)的圖象大致為（

）A. B. C. D.參考答案：B由得：，故其為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故排除D；，故排除A；當(dāng)時(shí)，，，可得時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故排除C，故選B.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的圖象的判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)以及特殊值的計(jì)算，是中檔題；已知函數(shù)解析式，選擇其正確圖象是高考中的高頻考點(diǎn)，主要采用的是排除法，最常見(jiàn)的排出方式有根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)，同時(shí)還有在特殊點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值或其符號(hào)，其中包括等.5.設(shè)α、β、γ為平面，m、n、l為直線，則m⊥β的一個(gè)充分條件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D．n⊥α，n⊥β，m⊥α參考答案：D考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定．

專題：證明題；轉(zhuǎn)化思想．分析：根據(jù)面面垂直的判定定理可知選項(xiàng)A是否正確，根據(jù)平面α與平面β的位置關(guān)系進(jìn)行判定可知選項(xiàng)B和C是否正確，根據(jù)垂直于同一直線的兩平面平行，以及與兩平行平面中一個(gè)垂直則垂直于另一個(gè)平面，可知選項(xiàng)D正確．解答：解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根據(jù)面面垂直的判定定理可知，缺少條件m?α，故不正確；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α與β可能平行，也可能相交，則m與β不一定垂直，故不正確；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α與β可能平行，也可能相交，則m與β不一定垂直，故不正確；n⊥α，n⊥β，?α∥β，而m⊥α，則m⊥β，故正確故選D點(diǎn)評(píng)： 本小題主要考查空間線面關(guān)系、面面關(guān)系以及充分條件的判定等知識(shí)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．6.已知函數(shù)的反函數(shù)滿足，則的最小值為

A．

B．

C．

D．1參考答案：A7.已知函數(shù)為奇函數(shù),則=

(A)2

(B)-2

(C)

(D)參考答案：D8.已知是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列命題：①若；②若；③如果相交；④若其中正確的命題是（

） A．①② B．②③ C．③④ D．①④參考答案：D略9.函數(shù)的圖象大致為參考答案：C略10.ABCD四點(diǎn)在球O的表面上，面BCD，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，AB=2，則球的面積是(

)A.15

B.13

C.14

D.16參考答案：D可放到特殊圖形中進(jìn)行計(jì)算解析:放在一個(gè)三棱柱中M為中心，O為球心，將拿出所以

所以

R=2

所以S球=二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知某幾何體的三視圖如圖所示，（圖中每一格為1個(gè)長(zhǎng)度單位）則該幾何體的全面積為．參考答案：4+4【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；立體幾何．【分析】由三視圖知該幾何體是高為2的正四棱錐，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的全面積．【解答】解：由三視圖可知，該幾何體是高為2的正四棱錐，且正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2；所以四棱錐側(cè)面三角形的高為=，側(cè)面三角形的面積為×2×=；又底面面積為22=4，所以該幾何體的全面積為S=4+4×=4+4．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何體三視圖的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了幾何體表面積的計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目．12.一空間幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為 .參考答案：13.（不等式選做題）若存在實(shí)數(shù)使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．參考答案：14.關(guān)于的方程(是虛數(shù)單位)的解是＝

．參考答案：15.（原創(chuàng)）小鐘和小薛相約周末去爬尖刀山，他們約定周日早上8點(diǎn)至9點(diǎn)之間（假定他們?cè)谶@一時(shí)間段內(nèi)任一時(shí)刻等可能的到達(dá)）在華巖寺正大門(mén)前集中前往，則他們中先到者等待的時(shí)間不超過(guò)15分鐘的概率是

（用數(shù)字作答）。特別提醒：（14）、（15）、（16）三題為選做題，請(qǐng)從中任選兩題作答，若三題全做，則按前兩題給分。參考答案：；16.已知曲線的參數(shù)方程是，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是，則與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_(kāi)_______.參考答案：17.設(shè)函數(shù)f（x）=，若函數(shù)g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3，則x1x2+x2x3+x1x3=．參考答案：3﹣a4【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【分析】設(shè)f（x）=t，根據(jù)f（x）的函數(shù)圖象得出方程f（x）=t的根的個(gè)數(shù)，從而得出f（x）=1，故而可求出f（x）=1的三個(gè)解，得出答案．【解答】解：不妨設(shè)a＞1（或0＜a＜1），作出f（x）的函數(shù)圖象如圖所示：設(shè)f（x）=t，由圖象可知：當(dāng)t=1時(shí)，方程f（x）=t有3解，當(dāng)t≠1時(shí)，方程f（x）=t有2解，∵函數(shù)g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三個(gè)零點(diǎn)，∴關(guān)于t的方程t2+bt+c=0有且只有一解t=1，∴f（x）=1，∴x1，x2，x3是f（x）=1的三個(gè)解，不妨設(shè)x1＜x2＜x3，則x2=1，令loga|x﹣1|﹣1=1得x=1±a2，∴x1=1﹣a2，x3=1+a2．∴x1x2+x2x3+x1x3=1+a2+1﹣a2+1﹣a4=3﹣a4．故答案為：3﹣a4．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（10分）（2015秋?拉薩校級(jí)期末）已知三角形△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)是A（4，0），B（6，7），C（0，8）．（1）求BC邊上的高所在直線的方程；（2）求BC邊上的中線所在直線的方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系；直線的一般式方程．【專題】直線與圓．【分析】（1）根據(jù)B與C的坐標(biāo)求出直線BC的斜率，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率乘積為﹣1，求出BC邊上的高所在直線的斜率，然后由A的坐標(biāo)和求出的斜率寫(xiě)出高所在直線的方程即可；（2）由B和C的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)和A的坐標(biāo)寫(xiě)出直線的兩點(diǎn)式方程即可．【解答】解：（1）BC邊所在直線的斜率為…（1分）則BC邊上的高所在直線的斜率為…（3分）由直線的點(diǎn)斜式方程可知直線AD的方程為：y﹣0=6（x﹣4）化簡(jiǎn)得：y=6x﹣24…（5分）

（2）設(shè)BC的中點(diǎn)E（x0，y0），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，即點(diǎn)…（7分）由直線的兩點(diǎn)式方程可知直線AE的方程為：…（9分）化簡(jiǎn)得：…（10分）【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生掌握兩直線垂直時(shí)斜率所滿足的條件，靈活運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式化簡(jiǎn)求值，是一道綜合題．19.（本小題滿分14分）已知為常數(shù)，且，函數(shù)的最小值和函數(shù)的最小值都是函數(shù)R的零點(diǎn).（1）用含的式子表示，并求出的取值范圍；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.參考答案：（1）解:由于，，則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，.

…1分

，當(dāng)時(shí)，.………2分

∵，

∴，.由于，結(jié)合題意，可知，

方程的兩根是，，

………3分

故，.

………4分

∴.

∴.

………5分

而方程的一個(gè)根在區(qū)間上，另一個(gè)根在區(qū)間上.

令，

則

………6分

即解得

………7分

∴.

………8分

∴，.求的取值范圍的其它解法：另法1：由，得，

………6分

∵，

∴．………７分∵，

∴．………8分另法2：設(shè)，，

則，………6分故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減．

∴．………７分

∴．………8分（2）解：由（1）得，

則.

………9分

∵，

∴二次函數(shù)的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸.

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減. ………10分

又，

………11分

∴當(dāng)時(shí)，.

∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.

………12分

∴函數(shù)的最大值為，最小值為.………14分20.某中學(xué)從甲乙兩個(gè)教師所教班級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，每人分別對(duì)兩個(gè)教師進(jìn)行評(píng)分，滿分均為100分，整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100].得到甲教師的頻率分布直方圖，和乙教師的頻數(shù)分布表：乙教師分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)[40,50)3[50,60)3[60,70)15[70,80)19[80,90)35[90,100]25

（1）在抽樣的100人中，求對(duì)甲教師的評(píng)分低于70分的人數(shù)；（2）從對(duì)乙教師的評(píng)分在[40,60)范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出2人，求2人評(píng)分均在[50,60)范圍內(nèi)的概率；（3）如果該校以學(xué)生對(duì)老師評(píng)分的平均數(shù)是否大于80分作為衡量一個(gè)教師是否可評(píng)為該年度該校優(yōu)秀教師的標(biāo)準(zhǔn)，則甲、乙兩個(gè)教師中哪一個(gè)可評(píng)為年度該校優(yōu)秀教師？（精確到0.1）參考答案：(1)32人；（2）；（3）乙可評(píng)為年度該校優(yōu)秀教師【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求出70分以上的頻率，總頻率之和為1可得70分以下的頻率，由頻率即可求解.（2）根據(jù)頻數(shù)分布表有3人，有3人，分別進(jìn)行標(biāo)記，利用列舉法求出隨機(jī)選出2人的基本事件個(gè)數(shù)，然后再求出評(píng)分均在范圍內(nèi)的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.（3）利用平均數(shù)=小矩形的面積×小矩形底邊中點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，求出甲的平均分，再利用平均數(shù)的公式求出乙的平均分即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，70分以上的頻率為，70分以下的頻率為，所以對(duì)甲教師的評(píng)分低于70分的人數(shù)：.（2）由頻數(shù)分布表有3人，有3人，記的3人為A、B、C，的3人為、、，隨機(jī)選出2人：，，，，，，，，，，，，，，，共種；評(píng)分均在的抽取方法：，，，共3種；所以2人評(píng)分均在范圍內(nèi)的概率.（3）由頻率分布直方圖可得的頻率為：甲教師的平均數(shù)為：，乙教師的平均數(shù)為：，由于乙教師的平均數(shù)大于80分，故乙可評(píng)為年度該校優(yōu)秀教師.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖求平均數(shù)、頻數(shù)分布表、古典概型的概率計(jì)算公式，考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分析處理能力，屬于基礎(chǔ)題.21.（本小題滿分12分）如圖5，已知三棱錐中，⊥，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且△為正三角形．（1）求證：⊥平面；（2）若，，求點(diǎn)到平面的距離．參考答案：（Ⅰ）證明：如圖4，∵△PMB為正三角形，且D為PB的中點(diǎn)，∴MD⊥PB．又∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，D為PB的中點(diǎn)，∴MD//AP，∴AP⊥PB．圖4

又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，，∴BC⊥平面APC，

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