正態(tài)總體的區(qū)間估計(二)-概率論與數(shù)理統(tǒng)計-王松桂、程維虎等-科學(xué)出版社

第七章第五節(jié)正態(tài)總體的區(qū)間估計（二）

本節(jié)討論兩個正態(tài)總體的區(qū)間估計.

在實際應(yīng)用中經(jīng)常會遇到兩個正態(tài)總體的區(qū)間估計問題.例如:

考察一項新技術(shù)對提高產(chǎn)品的某項質(zhì)量指標(biāo)的作用──把實施新技術(shù)前產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)看成一個正態(tài)總體N(1,12),而把實施新技術(shù)后產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)看成另一個正態(tài)總體N(2,22).

于是,評價此新技術(shù)的效果問題,就歸結(jié)為研究兩個正態(tài)總體均值之差1-2的問題.

比較甲乙兩廠生產(chǎn)某種藥物的治療效果──把兩個廠的藥效分別看成服從正態(tài)分布的兩個總體N(1,12)和N(2,22).

于是,評價兩廠生產(chǎn)的藥物的差異,就歸結(jié)為研究對應(yīng)的兩個正態(tài)總體的均值之差1-2的問題.

下面討論如何構(gòu)造兩個正態(tài)總體均值之差1-2的區(qū)間估計.

設(shè)X1,X2,

,Xm是抽自正態(tài)總體X～N(1,12)的樣本.

它的樣本均值,樣本方差為:定理

Y1,Y2,

,Yn是抽自正態(tài)總體Y～N(2,22)的樣本.

它的樣本均值,樣本方差為:

則有以下結(jié)論:

(是S12與S22的加權(quán)平均.)證明:(1).根據(jù)定理6.4.1,有:∵X1,X2,

,Xm與Y1,Y2,

,Yn抽自兩個不同總體.∴X1,X2,

,Xm與Y1,Y2,

,Yn是獨立的.

(2).根據(jù)定理6.4.1和12=22=2,∴有:

∵12=22=2,∴前面(1)中的:于是由t分布的定義,就得到:

欲比較甲乙兩種棉花品種的優(yōu)劣.

現(xiàn)假設(shè)用它們紡出的棉紗強(qiáng)度分別服從X～N(1,2.182)和Y～N(2,1.762).

試驗者從這兩種棉紗中分別抽取樣本X1,X2,,X200和Y1,Y2,,Y100.其樣本均值分別為:例1求:1-2的置信系數(shù)為0.95的區(qū)間估計.

解:∴1-2的置信系數(shù)為1-的區(qū)間估計是:

代入1=2.18,2=1.76,m=200,n=100,=0.05查得Z0.025=1.96∴1-2的置信系數(shù)為0.95的區(qū)間估計是:[-0.899,0.019].

某公司利用兩條自動化流水線灌裝礦泉水.

設(shè)這兩條流水線所裝礦泉水的體積

(毫升)分別服從X～N(1,2)和

Y～N(2,2).

現(xiàn)從生產(chǎn)線上分別抽取樣本

X1,X2,,X12和Y1,Y2,,Y17.

其樣本均值樣本方差分別為:例2求:1-2的置信系數(shù)為0.95的區(qū)間估計.解:∴1-2的置信系數(shù)為1-的區(qū)間估計是:m=12,n=17,=0.05查得t27(0.025)=2.05∴1-2的置信系數(shù)為0.95的區(qū)間估計是:[-0.101,2.901].

說明

基于上述認(rèn)識,我們考慮這樣一個問題應(yīng)該如何處理.

有時我們面臨判定這樣一個問題:未知參數(shù)是否等于某個值0.

我們該怎么辦呢?其實不妨這樣來思考.

如果果真等于0的話,在這種情況下:

通常認(rèn)為小概率事件在一次試驗中幾乎是不會發(fā)生的.這時如果

那就讓我們來做一次抽樣,然后把樣本值代入,算出剛才分析了,果真=0的話,以上小概率事件幾乎是不會發(fā)生的.但現(xiàn)實是在這次抽樣試驗中居然發(fā)生了.那我們可以認(rèn)為這是由于≠0導(dǎo)致的.在這種情況下我們判決≠0.

而如果現(xiàn)實是在這種情況下我們則判決=0.

比較甲乙兩種棉紗的強(qiáng)度是否有差異.

問題可以歸結(jié)為判決假設(shè):

1=2,即1-2=0是否成立的問題.∵0[-0.899,0.019].∴我們判決如下: