cho1 第一節(jié) 環(huán)的定義和基本性質(zhì)

《應(yīng)用近世代數(shù)》

多媒體課件孔蔭瑩廣東財(cái)經(jīng)大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)可以把靈活引導(dǎo)到真理。―蘇格拉底（Socrate,前469年—前399年）數(shù)學(xué)是科學(xué)的大門(mén)和鑰匙。-R.培根(RogerBacon,1214-1294)Historiesmakemenwise;poets,witty;themathermatics,subtile;naturalphilosophy,deep;moral,grave;logicandrhetoric,abletocontend…----F.培根（FrancisBacon1561～1626）第三章二、環(huán)內(nèi)一些特殊元素和性質(zhì)四、小結(jié)與思考一、環(huán)的定義第一節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束環(huán)的定義和基本性質(zhì)三、環(huán)的分類(lèi)一、環(huán)的定義機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

1、定義1設(shè)是一個(gè)非空集合，在

中定義

兩種二元運(yùn)算，一種是加法，記為+

，另一種

稱(chēng)為乘法，記為.且滿足：是一個(gè)可換群；（1）

（2）

是一個(gè)半群；（3）

左、右分配律成立，即對(duì)任何

有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

則稱(chēng)代數(shù)系是一個(gè)環(huán)（ring）.即環(huán)是有兩種運(yùn)算，對(duì)加法是可換群，

對(duì)乘法

是半群，并適合分配律的代數(shù)系統(tǒng).2、定義2如果環(huán)對(duì)乘法也是可交換的,

則稱(chēng)是可換環(huán)(Commutativering).例1都是環(huán)，

而且是可換環(huán).

例2設(shè)對(duì)復(fù)數(shù)

加法和復(fù)數(shù)乘法構(gòu)成環(huán),稱(chēng)為Guass整數(shù)環(huán).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

例3設(shè)是整數(shù)模

的同余類(lèi)

集合，定義模的加法和乘法:則是環(huán)，稱(chēng)為整數(shù)模的同余類(lèi)環(huán).

例4設(shè)則對(duì)矩陣的加法和乘法構(gòu)成環(huán),稱(chēng)為數(shù)環(huán)

上的全矩陣環(huán).

例5

都是相應(yīng)數(shù)環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán).二、環(huán)內(nèi)的一些特殊元素和性質(zhì)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

1、設(shè)是一個(gè)環(huán)，加群

中的單位元,

記為，稱(chēng)為零元.

加群中的元素的逆元,

記為,稱(chēng)為的負(fù)元.

而環(huán)中的單位元是指乘法

半群中的單位元,記為環(huán)中元素的逆元

是指乘法半群中的逆元,記為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

2、環(huán)中可定義減法:環(huán)中的零元和負(fù)元有如下性質(zhì):此外,元素的倍數(shù)和冪可定義為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

3、定義3設(shè)是一個(gè)環(huán),若

且則稱(chēng)為左零因子(leftzerodivisor)，為右零因子(rightzerodivisor).

若一個(gè)元素既是左零因子又是右零因子,則稱(chēng)其為零因子(zerodivisor).例6在中，由于所以是左零因子，而是右零因子.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

又如在中,因?yàn)樗院投际橇阋蜃?4、定理1環(huán)中無(wú)(右)左零因子的充分必要條件

是乘法消去律成立.三、環(huán)的分類(lèi)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

1、定義4設(shè)是一個(gè)環(huán).若可交換,且無(wú)零因子,則稱(chēng)

是整環(huán)(domain).若滿足:(1)中至少有兩個(gè)元

（2）構(gòu)成乘法群,則稱(chēng)

是一個(gè)除環(huán)(divisionring).若是一個(gè)可換的除環(huán),則稱(chēng)是域(field).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

2、定理2是域的充要條件是為素?cái)?shù).3、具有有限個(gè)元素的域，稱(chēng)為有限域（finite

field）,是最簡(jiǎn)單的有限域.顯然,在一個(gè)除環(huán)中,由于非零元成群,乘法消去律

成立,因而除環(huán)中無(wú)零因子.域中也無(wú)零因子,且域

必須是整環(huán).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

例7設(shè)則是一個(gè)除環(huán),此環(huán)稱(chēng)為實(shí)四元數(shù)除環(huán)

(divisionringofrealquaternions).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束