ZDLX2 振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)更一般的說，從幾何方面研究而不涉及物理原因。

運(yùn)動(dòng)學(xué)—描述質(zhì)點(diǎn)或系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)（位移、速度、加速度、相位等）隨時(shí)間變化規(guī)律的學(xué)科，不涉及受力情況。前邊說的第二類分類方法就是從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度把系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分為簡(jiǎn)諧振動(dòng)、一般周期振動(dòng)等等。第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)§2—1簡(jiǎn)諧振動(dòng)參量

§2—2諧振動(dòng)的矢量表示法及復(fù)數(shù)表示法§2—3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成§2—4拍（beat）§2—5本章習(xí)題第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)§2—1簡(jiǎn)諧振動(dòng)參量

簡(jiǎn)諧振動(dòng)是最簡(jiǎn)單的周期振動(dòng)，其位移方程可以用正弦或余弦函數(shù)描述x=Asinωt

。TA0xt第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)其中振動(dòng)參量有：

x—任一瞬時(shí)的振動(dòng)位移（線位移或角位移），單位毫米或弧度。t—時(shí)間，單位秒（time）。A—振幅（最大振動(dòng)位移）amplitude。T—振動(dòng)周期，振動(dòng)一次（一周）所需的時(shí)間，單位：秒。ω—圓周率（又稱角頻率），表示振動(dòng)快慢，單位：弧度/秒（或1/秒）。另外，還有一種自然頻率（又稱頻率）。

f—每秒振動(dòng)的次數(shù)，單位周/秒（赫茲、次/秒）。TA0xt第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)由上式可以看到:速度：也是簡(jiǎn)諧函數(shù)

（其中Aω——速度幅）單位毫米/秒

加速度：（其中Aω2——加速度幅）單位毫米/秒2

第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)下面介紹兩個(gè)同頻率不同相位的簡(jiǎn)諧振動(dòng)

φ——初相位（t＝0時(shí)的相位）

x2比x1超前φ相位，即x2比x1提前φ/ω秒達(dá)到位移最大值。

注意：只有頻率相同，相位差φ才保持不變。

0A2A1xωtx2(t)x1(t)φíì?+=)sin(22jwtAx=sin11wtAx第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)§2—2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量表示法及復(fù)數(shù)表示法描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的數(shù)學(xué)表示方法有三種：用三角函數(shù)的代數(shù)表示法矢量表示方法復(fù)數(shù)表示第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)1、用三角函數(shù)的代數(shù)表示法如前所述，但研究?jī)蓚€(gè)同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成時(shí)，物理概念不清晰，不直觀。例如：

第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)2、矢量表示方法

用矢量的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)是很方便的。以矢量的水平位置為起點(diǎn)t＝0，矢量的模A——振幅，旋轉(zhuǎn)角速度ω——振動(dòng)的圓頻率到t瞬時(shí)，矢量與水平軸的夾角ωt即相位角，旋轉(zhuǎn)矢量在垂直軸的投影Asinωt或在水平軸的投影Acosωt都可以代表簡(jiǎn)諧振動(dòng)。自然頻率f就是每秒轉(zhuǎn)的周數(shù)，單位周/秒。顯然

用矢量表示方法可以很清楚地看出位移、速度、加速度旋轉(zhuǎn)矢量的相對(duì)位置關(guān)系（即相位關(guān)系）。

第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)設(shè)簡(jiǎn)諧位移方程（代數(shù)表示）

x＝Asinωt

用矢量表示方法可以很清楚地看出位移、速度、加速度旋轉(zhuǎn)矢量的相對(duì)位置關(guān)系（即相位關(guān)系），則：超前于位移

超前位移π矢量表示見圖ωtAωAωAω2t=0第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)3、復(fù)數(shù)表示我們知道，一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi可以表示復(fù)平面的一個(gè)矢量。矢量的長(zhǎng)度稱為z的模，即矢量與實(shí)軸的夾角θ稱為幅角，記為argz，即我們又知道，復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部分別是：

Re(z)＝a＝Acosθ；Im(z)＝b＝Asinθ〔注：arg—argument,Re—real,Im—imaginary〕θaAb實(shí)(Re)虛(Im)第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)了解上述概念之后，我們用旋轉(zhuǎn)的復(fù)數(shù)矢量可以表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)。用復(fù)數(shù)的模表示振幅，仍用A；幅角θ此時(shí)代之以相位角ωt，這時(shí)幅角將隨時(shí)間t變化。就是說，該復(fù)數(shù)矢量按逆時(shí)針方向以ω為角速度旋轉(zhuǎn)。該旋轉(zhuǎn)矢量在實(shí)軸及虛軸上的投影：

Re(z)＝Acosωt；

Im(z)=Asinωt都可以表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)。ωtA(Re)(Im)ω第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)復(fù)數(shù)可以合成指數(shù)形式:z＝Acosωt＋iAsinωt＝Aeiωt。我們約定，用復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)矢量在虛軸的投影表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)：x＝Asinωt＝Im(z)＝Im〔Aeiωt〕簡(jiǎn)單寫成x＝Aeiωt〔注意：不要理解成振動(dòng)是復(fù)數(shù)〕簡(jiǎn)諧振動(dòng)就是指他的虛部（虛部本身是個(gè)實(shí)數(shù)；例如:Im(z)=Asinωt）

注意：振動(dòng)現(xiàn)象本身是實(shí)際存在的，用復(fù)數(shù)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)指的是用其中的實(shí)部或虛部（我們這里用虛部）來表示振動(dòng)。

第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

用復(fù)數(shù)表示振動(dòng)時(shí)，其速度和加速度為：

可以看到，每求一次導(dǎo)數(shù)，就在前邊乘上一個(gè)iω，而每乘一個(gè)i（按復(fù)數(shù)乘法可知）就是把這復(fù)數(shù)矢量逆時(shí)針轉(zhuǎn)，這在求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算中帶來了方便。x＝Aeiωt第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)4、小結(jié)

簡(jiǎn)諧振動(dòng)有三種表示方法，其中代數(shù)方法x＝Asinωt比較符合我們的習(xí)慣。但在表示同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成時(shí)，矢量表示方法有著物理概念清晰、直觀的優(yōu)點(diǎn)。復(fù)數(shù)表示方法在求導(dǎo)運(yùn)算中帶來了方便。這里再重復(fù)一遍，用矢量表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)，說的是當(dāng)矢量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，它在垂直軸（或水平軸）上的投影的變化可以代表簡(jiǎn)諧振動(dòng)；用復(fù)數(shù)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)，說的是當(dāng)復(fù)數(shù)矢量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，它在虛軸（或?qū)嵼S）上投影，即虛部（或?qū)嵅浚┑淖兓梢源砗?jiǎn)諧振動(dòng)。振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)如果一質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)包含兩個(gè)頻率相同而有相位差φ的簡(jiǎn)諧振動(dòng)：§2—3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

我們來求它的合成運(yùn)動(dòng)，用代數(shù)方法雖然可求，但很煩瑣，用矢量相加方法求這個(gè)合成運(yùn)動(dòng)很方便。第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)合成后的位移矢量為：

矢量的模即合成后的振幅可由余弦定理求得：第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)論：兩個(gè)具有相同頻率但不同相位的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振幅及初相位公式如上。但是，兩個(gè)頻率不同的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。合成后振動(dòng)矢量比超前φ角顯然，合成后的振動(dòng)就是矢量在垂直軸上的投影x＝Asin（ωt＋φ）第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)〔特例〕，兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)具有相同頻率，但相位差90o，即兩旋轉(zhuǎn)矢量互相垂直。合成振動(dòng)仍寫成這里就是說—這種情況以后經(jīng)常用到。???íì=+==tbtbxtaxwpwwcos)2sin(sin21第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)兩個(gè)具有不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。我們研究下面兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成問題。

其中ω1≠ω2但相差很小，這時(shí)合成運(yùn)動(dòng)就是一種特殊的振動(dòng)—拍

?！?—4拍（beat）第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)令ω2＝ω1＋?ω則：x=x1+x2=asinω1t+bsin(ω1+Δω)t=asinω1+b(sinω1tcos?ωt+cosω1tsin?ωt)=(a+bcosΔωt)sinω1t+bsin?ωt·cosω1t=A1(t)sinω1t+A2(t)conω1t；

這里?íìD=D+=tbA(t)tbatAwwsincos)(21第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)合成運(yùn)動(dòng)可寫成x＝A（t）sin(ω1t+φ)其中:

用旋轉(zhuǎn)矢量加法，但要注意，這里矢量的模隨時(shí)間變化，于是合成矢量的模也隨時(shí)間變化。tabbawD++=cos222tbtbawwD+D+=)sin()cos(22A2A2t+=)(A21第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)這就是說，合成運(yùn)動(dòng)是這樣一種振動(dòng)：其振動(dòng)頻率是ω1但振幅本身又隨著時(shí)間變化。變化的頻率是?ω（＝ω1－ω2）。我們把這種振動(dòng)現(xiàn)象叫做拍。因?ω比ω1小得多，故振幅變化速度是緩慢的。我們研究一下運(yùn)動(dòng)規(guī)律：?ω=2a=6b=5ω=12第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)當(dāng)?ωt＝0時(shí)Amax＝a+b；當(dāng)?ωt＝π時(shí)，Amin＝a－b

赫茲，拍的園頻率，頻率及周期分別用ωb，fb，Tb表示，則：

ωb＝?ω＝ω1－ω2弧度/秒，秒第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

拍——兩個(gè)頻率有微小差別的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成時(shí)，其合成振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫做拍。

拍的周期——合成振動(dòng)的振幅由加強(qiáng)到減弱再到加強(qiáng)所經(jīng)過的時(shí)間叫拍的周期。

拍頻——合振動(dòng)在單位時(shí)間內(nèi)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)稱為拍頻（fb）。第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

例：一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)做兩個(gè)振動(dòng)x1=3sin40t，x2=4sin41t，求合成運(yùn)動(dòng)的最大、最小振幅及拍的頻率？x=A(t)sin(40+ψ)

弧度/秒，Amax=3+4=7cm，Amin=4-3=1cm，ωb=41-40=1弧度/秒,秒。

注：可以看到，合成最大本身的園頻率是40弧度/秒，而拍（即振幅變化）的園頻率是1弧度/秒，慢多了。解：第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)本章小結(jié)這一章題目是“振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)”，研究振動(dòng)的形態(tài)（位移、速度、加速度等）隨時(shí)間變化的規(guī)律，而不涉及產(chǎn)生振動(dòng)的物理原因。我們著重研究了簡(jiǎn)諧振動(dòng)x=Asin(ωt+φ)

。定義簡(jiǎn)諧振動(dòng)的參量〔位移x、時(shí)間t、振幅A、園頻率ω、頻率f=ω/(2π)、周期T=1/f等等〕。第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三種表示方法：代數(shù)表示法；矢量表示法；復(fù)數(shù)表示法。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，其中特別是x=asinωt+bcosωt

這種情況。值得注意的是：同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后仍是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，不同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成后不再是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。對(duì)于后一種情況，我們研究了一個(gè)特例——拍。第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

習(xí)題2-1有一作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體，它通過距離平衡位置為時(shí)的速度分別為

求其振動(dòng)周期、振幅和最大速度。解：設(shè)物體振動(dòng)規(guī)律為

§2—5本章習(xí)題.p)2sin()cos(jwwjww++=+=tAtAx&第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)（1）（2）第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)由（1），（2）解得最大速度振幅所以，振動(dòng)周期最大速度第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

習(xí)題2-2一個(gè)機(jī)器內(nèi)某零件的振動(dòng)規(guī)律為

，x的單位是cm。這個(gè)振動(dòng)是否簡(jiǎn)諧振動(dòng)？求出它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋轉(zhuǎn)矢量表示這三者見的關(guān)系。解：

同頻率振動(dòng)，合成為簡(jiǎn)諧振動(dòng)

第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)振幅：

最大速度：最大加速度：第二章振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

習(xí)題2-3已知