Ch4.3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)

第三節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差相關(guān)系數(shù)課堂練習(xí)

前面我們介紹了隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對于二維隨機變量（X，Y），我們除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差以外，還要討論描述X和Y之間關(guān)系的數(shù)字特征，這就是本講要討論的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}稱為隨機變量X和Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y)，即

一、協(xié)方差2.簡單性質(zhì)Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定義(1)Cov(X,C)=0,C為常數(shù)；(2)Cov(X,X)=D(X)(3)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(6)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(5)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常數(shù)(7)D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)(4)Cov(aX+b,Y)=aCov(X,Y)a,b是常數(shù)

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可見，若X與Y獨立，則Cov(X,Y)=0.3.計算協(xié)方差的一個簡單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即

協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)

為了克服這一缺點，對協(xié)方差進行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù)

.二、相關(guān)系數(shù)為隨機變量X和Y的相關(guān)系數(shù)

.定義:

設(shè)D(X)>0,D(Y)>0,稱在不致引起混淆時，記

為

.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：證:由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對任意實數(shù)b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b

Cov(X,Y)令，則上式為

D(Y-bX)=

由于方差D(Y)是正的,故必有1-≥0,所以||≤1。存在常數(shù)a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1線性相關(guān).3.X和Y獨立時，

=0，但其逆不真.由于當(dāng)X和Y獨立時，Cov(X,Y)=0.故=0但由并不一定能推出X和Y獨立.例1

設(shè)X~N(0,1),Y=X2,求X和Y的相關(guān)系數(shù)。4.若，稱X和Y不相關(guān)。定理：若隨機變量X與Y的方差都存在，且均不為零；則下列四個命題等價。（1）；（2）cov(X,Y)=0；（3）E(XY)=E(X)E(Y)；（4）D(X±Y)=D(X)+D(Y)。但可以證明對下述情形，獨立與不相關(guān)等價若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨立X與Y不相關(guān)前面，我們已經(jīng)看到：若X與Y獨立，則X與Y不相關(guān)，但由X與Y不相關(guān)，不一定能推出X與Y獨立.三、例題講解1、2、1、解2、解解3備用例題四、小結(jié)

這一節(jié)我們介紹了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)