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文檔簡介

佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院上機報告課程名稱 數(shù)學(xué)建模 上機項目 人口模型 專業(yè)班級 一、 問題提出人口問題是當(dāng)前世界上人們最關(guān)心的問題之一。認識人口數(shù)量的變化規(guī)律,作出較準確的預(yù)報,是有效控制人口增長的前提。要求:分別建立并求解兩個最基本的人口模型,即:指數(shù)增長模型和Logistic模型,并利用表1給出的近兩百年的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù),畫出圖形擬合數(shù)據(jù),對模型做出檢驗,最后用它預(yù)報2000年的人口。表1人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)年(公元)1790180018101820183018401850人口(百萬)3.95.37.29.612.917.123.2年(公元)1860187018801890190019101920人口(百萬)31.438.650.262.976.092.0106.5年(公元)1930194019501960197019801990人口(百萬)123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4二、問題分析人口的變化受到眾多方面因素的影響。人口數(shù)量對人類的發(fā)展影響也是與日俱增。所以對人口數(shù)量的控制和預(yù)測也顯得尤為重要。就此我們需要找到更好更精確的人口增長模型來預(yù)測人口數(shù)量。就此,根據(jù)題目所給的信息,就美國從1790年至2000年的人口增長入手,用指數(shù)增長模型的檢驗人口增長是否相符,預(yù)測人口增長。并改進成阻滯增長模型,并用它預(yù)測人口增長。1?先用指數(shù)增長模型檢驗人口增長是否相符。由于經(jīng)歷的時間比較長,所以我們分為長期和短期分別檢驗。就會發(fā)現(xiàn)規(guī)律,短期的符合該模型,而長期而言后半期明顯計算的增加的比較快。根據(jù)這個問題我們找原因。由于資源、環(huán)境問題使阻滯增長人口模型人口增加到一定數(shù)量時,增長率會減慢。據(jù)此改進我們就得到了第二個模型。2?得到第二個模型后先找規(guī)律,找關(guān)鍵點。及增長率隨時間的變化以及人口容量值。分析人口隨時間變化率與人口容量的關(guān)系。然后得出人口與時間的關(guān)系。最后檢驗計算值與實際值是否相符,很明顯相符的。所以我們就可以用之預(yù)測人口數(shù)量了。3?分析兩模型的優(yōu)缺點,適用范圍,以便我們更廣泛明了的使用。模型一:指數(shù)增長(Malthus)模型:三、 模型假設(shè):時刻t人口增長的速率與當(dāng)時人口數(shù)成正比,增長率為常數(shù)r。以x(t)表示時刻t某地區(qū)(或國家)的人口數(shù),設(shè)人口數(shù)x(t)足夠大,可以視做連續(xù)函數(shù)處理,且x(t)關(guān)于t連續(xù)可微。符號說明t表示某一時刻;x(t)表示時刻t某地區(qū)(或國家)的人口數(shù);r表示人口增長率為常數(shù)。四、 模型建立:今年人口x0,年增長率r,k年后人口 x€x(1+r)kk 0指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)基本假設(shè):人口(相對)增長率r是常數(shù)x(t)?時刻t的人口x(t+At)—x(t)€rAtx(t)dx€rx,x(0)€x (1)dt 0x(t)€x(er)t*'a2+b2,x(1+r)t00隨著時間增加,人口按指數(shù)規(guī)律無限增長五、模型求解(顯示模型的求解方法、步驟及運算程序、結(jié)果)解微分方程(1)得 x(t)€xert (2)表明:F?8時,丿(r>0)模型的參數(shù)估計:要用模型的結(jié)果(2)來預(yù)報人口,必須對其中的參數(shù)r進行估計,這可以用表1-1的數(shù)據(jù)通過擬合得到?擬合的具體方法見本書第16章或第18章.通過表中1790—1980的數(shù)據(jù)擬合得:r=0.307.模型檢驗:將x0=3.9,r=0.307代入公式(2),求出用指數(shù)增長模型預(yù)測的1810—1920的人口數(shù),見下圖:程序代碼:M文件:functionx=renkou1(beta,t)x=3.9*exp(beta.*t);t=0:1:20;x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4];beta0=0.1;[beta,r,J]=nlinfit(t',x','renkou1',beta0);betay=renkou1(beta,t)[YY,delta]=nlpredci('renkou1',t',beta,r,J);plot(t,x,'b*',t,YY,'r')error=abs(y-x)'EditorF:\matlsb\3AJntitlcdl.mFileEditTestGoCellToolsDebugDesktopWindciwHelp岀■冶呷e給旨”是?牛旳|歸”址抽強!匚ILBd5E-T|j花令:□-1.0 +|■!■1.1X|囁惦;flt- ];T0.- x=[3.95,57,P9.512.917-]P3.?31-43B,65CL262,F76,092.0LW,E]?3.?131-7LEO”;179,320^,0 251-41:brta0=:L]:-'helSjc,J] infit(1.zPnreckonL,betaO):- betai- y=re(nkcai](bet3,1^7- '.Ti.deLta]znlpredci J : enkc-ulJ,1njbeta;,r,J- ploi(t.Jb^J,1,¥¥/ t')a— ercorzabs(y-a)

(根據(jù)擬合出的數(shù)據(jù)和原來數(shù)據(jù)填寫表格)表2實際人口與按指數(shù)增長模型計算的人口比較年(公元)實際人口(百萬)指數(shù)增長模型計算出人口(百萬)誤差17903.93.9000018005.34.84440.455618107.26.01761.182418209.67.47482.1252183012.99.28493.6151184017.111.53345.5666185023.214.32648.8736186031.417.795713.6043187038.622.105116.4949188050.227.458222.7418189062.934.107528.7925190076.042.367133.6329191092.052.626839.37321920106.565.371141.12891930123.281.201641.99841940131.7100.865630.83441950150.7125.291525.40851960179.3155.632423.66761970204.0193.320810.67921980226.5240.135913.63591990251.4298.287946.8879(分析原因,該模型的結(jié)果說明人口將以指數(shù)規(guī)律無限增長。而事實上,隨著人口的增加,自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增長的限制作用越來越顯著。下需要對該模型進行改進,即阻滯增長模型。)模型二:Logistic模型(阻滯增長模型)模型假設(shè):(a)人口增長率r為人口上)的函數(shù)Q(減函數(shù)),最簡單假定r(x)==-SX,r,S>°(線性模型假設(shè):函數(shù)),r叫做固有增長率.(b)自然資源和環(huán)境條件年容納的最大人口容量Xm符號說明:r函數(shù)),r叫做固有增長率.(b)自然資源和環(huán)境條件年容納的最大人口容量Xm符號說明:r表示人口增長率,x(t)表示增長率為r時人口數(shù)量Xm表示自然資源和環(huán)境條件年容納的最大人口容量Xm模型建立:r當(dāng)x=x時,增長率應(yīng)為0,即r(x)=0,于是ym mm,代入r0=r-sx得將(3)式代入(1)得:r(x)(、1x

=r1-—Ix丿m1x

…r1—一<x1x

…r1—一<x丿m(4)0模型求解:x(t)=解方程組(4)1+m—解方程組(4)1+m—1e-rtx0丿(5)根據(jù)方程(4)dx

作出dt一X曲線圖,見圖1,由該圖可看出人口增長率隨人口數(shù)的變化規(guī)r=0.2072,r=0.2072,x=464.m利用表1中1790—1980的數(shù)據(jù)對r和x擬合得:m模型檢驗:將r=0.2072,x=464代入公式(5),求出用指數(shù)增長模型預(yù)測的1800—1990的人口數(shù),m也可將方程(4)離散化,得尸0,1,2,...,x(t+1)…x(t)+Ax…x(t)+r(1一 x(t)尸0,1,2,...,xm用公式(6)預(yù)測1800—1990的人口數(shù)程序代碼:

M文件:functionf=renkou2(beta,t)f=beta(1)./(1+((beta(1)/3.9)-1)*exp(-beta(2)*t))Editor?F:\matlaib\3^?6人匚頊型\「皂門1<0口2巾—口ileEditTextGoCellToolsDebugDesktopWindowHelpsn■I#*? ◎旨檔柑程]龍]郢屆相|t=0:1:20;x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.976.092.0106.5123.2131.7150.7179.3204.0226.5251.4];beta0=[10,0.1];beta=lsqcurvefit('renkou2',beta0,t,x);f=renkou2(beta,t)FileEdrtTevtGoCellToolsDtbugDesktopWindowHelp4事就□已■肅巧丨由FileEdrtTevtGoCellToolsDtbugDesktopWindowHelp4事就□已■肅巧丨由「”聲?嘩觀1初”屆??■欄1螢品氏 圧工匚曰旦error=abs(f-x)—L0*IIX1洱洱1=0:1;20;x=[3.95.37,29,51Z.917.L23,E3L43氐650.E62,976.092.0]朋?5123,2L31.7L5Q.7L7F.52D4rQ225.525].41:3-betaCt.[LQ?0.1]4-betLsqcuxvefLt「Eenkou2J、betaCi,t,x);5-f=rerikou2(beta,t\6-plotC'tjTtj'r^jtjf)ftrrat=abs(f-x)190076.067.26748.7326191092.083.19498.80511920106.5101.33175.16831930123.2121.32551.87451940131.7142.593410.89341950150.7164.374813.67

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