Lecture 3 完全信息動(dòng)態(tài)博弈

第三講完全信息動(dòng)態(tài)博弈動(dòng)態(tài)博弈不同于靜態(tài)博弈，動(dòng)態(tài)博弈中的參與人行動(dòng)有先后順序，后行動(dòng)者在先行動(dòng)者做出決策之后，再視情況決定自己的行動(dòng)。下棋、求婚、討價(jià)還價(jià)（談判）、價(jià)格戰(zhàn)動(dòng)態(tài)博弈中的參與人行動(dòng)有先后順序，后行動(dòng)者在先行動(dòng)者做出決策之后，再視情況決定自己的行動(dòng)。因此先行動(dòng)者需要考慮到自己的策略對(duì)后行動(dòng)者的影響。動(dòng)態(tài)博弈若舊公司威脅新公司，若進(jìn)入一定采用價(jià)格戰(zhàn)，該威脅是否可信？例：嚇阻進(jìn)入動(dòng)態(tài)博弈例：嚇阻進(jìn)入兩個(gè)博弈已經(jīng)完全不同了！現(xiàn)實(shí)中，往往是新公司進(jìn)入后，舊公司再做決定3.1博弈擴(kuò)展式表述3.1.1博弈樹開發(fā)商B開發(fā)不開發(fā)

開發(fā)商B開發(fā)不開發(fā)

開發(fā)開發(fā)商A

不開發(fā)4，48，00，80，0-3，-31，00，10，0(a)高需求情況(b)低需求情況開發(fā)開發(fā)商A

不開發(fā)n人有限戰(zhàn)略博弈的擴(kuò)展式表述一般可以用博弈樹來(lái)表示。3.1博弈擴(kuò)展式表述A開發(fā)不開發(fā)NNBBBB開發(fā)開發(fā)開發(fā)開發(fā)開發(fā)不開發(fā)不開發(fā)不開發(fā)大大小?。?/2）（1/2）（1/2）(0，0)(0，1)(0，0)(4，4)(8，0)(-3，-3)(1，0)(0，8)

若博弈行動(dòng)順序如下開發(fā)商A首先行動(dòng)，選擇開發(fā)或者不開發(fā)A決策后，自然選擇市場(chǎng)需求大小開發(fā)商B觀察到A的決策和市場(chǎng)需求后，決定開發(fā)或不開發(fā)不開發(fā)房地產(chǎn)開發(fā)博弈Ⅰ：3.1博弈擴(kuò)展式表述博弈樹(gametree)是包含多個(gè)結(jié)(node)與枝(branches)的集合，從單一的起始環(huán)節(jié)，不經(jīng)回轉(zhuǎn)，不經(jīng)交錯(cuò)，直到終結(jié)環(huán)節(jié)。1.結(jié)(node)：包括決策結(jié)和終點(diǎn)結(jié)兩類。2.枝(branches)：枝是一個(gè)決策結(jié)到它的直接后續(xù)結(jié)的連線，每一個(gè)枝代表參與人的一個(gè)行動(dòng)選擇。3.信息集(informationsets):博弈樹上的所有決策結(jié)分割成不同的信息集。每一個(gè)信息集是決策結(jié)集合的一個(gè)子集，該子集包括所有滿足下列的決策結(jié)：(1)每一個(gè)決策結(jié)都是同一參與人的決策結(jié)(2)該參與人知道博弈進(jìn)入該集合的某個(gè)決策結(jié)，但不知道自己究竟處在哪一個(gè)決策結(jié)。博弈樹的基本結(jié)構(gòu)3.1博弈擴(kuò)展式表述信息集A開發(fā)不開發(fā)NNBBBB開發(fā)開發(fā)開發(fā)開發(fā)開發(fā)不開發(fā)不開發(fā)不開發(fā)大大小?。?/2）（1/2）（1/2）(0，0)(0，1)(0，0)(4，4)(8，0)(-3，-3)(1，0)(0，8)

房地產(chǎn)開發(fā)博弈Ⅱ不開發(fā)這里B能看到A是否開發(fā)，但看不到市場(chǎng)的大小3.1博弈擴(kuò)展式表述信息集房地產(chǎn)開發(fā)博弈Ⅲ這里B能看到市場(chǎng)的大小，但不能看到A是否開發(fā)A開發(fā)不開發(fā)NNBBBB開發(fā)開發(fā)開發(fā)開發(fā)開發(fā)不開發(fā)不開發(fā)不開發(fā)大大小?。?/2）（1/2）（1/2）(0，0)(0，1)(0，0)(4，4)(8，0)(-3，-3)(1，0)(0，8)

不開發(fā)3.1博弈擴(kuò)展式表述不同的博弈樹可能表達(dá)同一個(gè)博弈N大不開發(fā)AABBBB開發(fā)開發(fā)開發(fā)開發(fā)開發(fā)不開發(fā)不開發(fā)不開發(fā)開發(fā)開發(fā)不開發(fā)?。?/2）不開發(fā)(0，0)(0，1)(0，0)(4，4)(8，0)(-3，-3)(1，0)(0，8)

房地產(chǎn)開發(fā)博弈Ⅲ：第二種表述（1/2）3.1博弈擴(kuò)展式表述不同的博弈樹可能表達(dá)同一個(gè)博弈N大不開發(fā)BBAAAA開發(fā)開發(fā)開發(fā)開發(fā)開發(fā)不開發(fā)不開發(fā)不開發(fā)開發(fā)開發(fā)不開發(fā)不開發(fā)(0，0)(0，1)(0，0)(4，4)(8，0)(-3，-3)(1，0)(0，8)

房地產(chǎn)開發(fā)博弈Ⅲ：第三種表述（1/2）（1/2）小3.1博弈擴(kuò)展式表述擴(kuò)展式表述也可以用于表述表示靜態(tài)博弈(-8，-8)(0，-10)(-10，0)(-1，-1)

坦白抵賴

坦白抵賴

坦白抵賴

A

B

(-8，-8)(0，-10)(-10，0)(-1，-1)

坦白抵賴

坦白抵賴

坦白抵賴

BA

囚徒困境擴(kuò)展式表述3.1博弈擴(kuò)展式表述

3.1博弈擴(kuò)展式表述假定在博弈開始前自然就選擇了“低需求”，并且已為參與人的共同信息；若開發(fā)商A先決策，那么博弈的擴(kuò)展式如圖。在博弈的開始，B的策略是什么？動(dòng)態(tài)博弈中的策略ABB開發(fā)開發(fā)開發(fā)不開發(fā)不開發(fā)不開發(fā)(0，1)(0，0)(-3，-3)(1，0)3.1博弈擴(kuò)展式表述“策略”的涵義：表示參與人（如開發(fā)商B）在各個(gè)信息集合（開發(fā)，不開發(fā)）觀察到其他參與人（A）的行動(dòng)之下的相應(yīng)行動(dòng)。開發(fā)商A有兩個(gè)策略開發(fā)商B有四個(gè)策略動(dòng)態(tài)博弈中的策略-3，-3-3，-31，01，00，10，00，10，0開發(fā)商B{開發(fā)，開發(fā)}{開發(fā)，不開發(fā)}{不開發(fā)，開發(fā)}{不開發(fā)，不開發(fā)}

開發(fā)開發(fā)商A

不開發(fā)3.1博弈擴(kuò)展式表述

3.1.3完美信息博弈3.1博弈擴(kuò)展式表述一般假定博弈滿足“完美回憶”(perfectrecall)的要求。完美回憶是與信息集有關(guān)的概念，指的是沒(méi)有參與人會(huì)忘記自己以前知道的事情，所有參與人都知道自己以前的選擇。3.1.4完美回憶12UUUDDLLLLRRR1112(a)(b)N1兩個(gè)不是完美回憶的例子3.2子博弈精煉納什均衡并非所有納什均衡都是合理的；只有其策略不包含不可置信行動(dòng)的納什均衡才是合理的。不包含不可置信的行動(dòng)的策略所組成的納什均衡被稱為“精煉納什均衡”；即不論過(guò)去發(fā)生了什么，構(gòu)成精煉納什均衡的戰(zhàn)略，其所規(guī)定的行動(dòng)在每一個(gè)決策點(diǎn)上都是最優(yōu)的。所以，又稱為“序貫均衡”(sequentialequilibrium)。澤爾騰(Selten)的“子博弈精煉納什均衡”是納什均衡概念的第一個(gè)最重要的改進(jìn)。子博弈精煉納什均衡是完全信息動(dòng)態(tài)博弈解的基本概念。子博弈(Subgame)是原博弈的一部分(小樹subtree)，從單一元素的信息集合精煉納什均衡(PerfectNashEquilirium)3.2子博弈精煉納什均衡子博弈(Subgame)一個(gè)子博弈必須從一個(gè)單結(jié)信息集開始。ABB開發(fā)開發(fā)開發(fā)不開發(fā)不開發(fā)不開發(fā)(0，1)(0，0)(-3，-3)(1，0)房地產(chǎn)開發(fā)博弈(-3，-3)(1，0)開發(fā)不開發(fā)開發(fā)不開發(fā)(0，1)(0，0)(b)子博弈Ⅰ(b)子博弈Ⅱ(a)原博弈3.2子博弈精煉納什均衡子博弈(Subgame)子博弈的信息集和支付向量都直接繼承自原博弈。122LLURRDZ4Z1Z2Z3122LLURRD3lrlllrrr3囚徒困境的擴(kuò)展式表述3.2子博弈精煉納什均衡子博弈精煉均衡(SubgamePerfectNashEquilibrium,SPNE)是一策略組合，在原博弈中是納什均衡，而且它相關(guān)的策略在每個(gè)子博弈中也都是該子博弈的納什均衡。逆推法基于序貫理性原理，參與人在每一步驟上均追求效用極大子博弈精煉納什均衡存在性定理I(Kuhn,1953)：每個(gè)完美信息擴(kuò)展式的有限博弈都有一個(gè)逆推法找出的純策略納什均衡（也是純策略子博弈精煉納什均衡(SPNE)）。3.2子博弈精煉納什均衡用逆向歸納法求解子博弈精煉納什均衡的過(guò)程，實(shí)質(zhì)是重復(fù)剔除嚴(yán)格劣策略的過(guò)程在擴(kuò)展式博弈上的擴(kuò)展。子博弈精煉納什均衡在博弈樹上所經(jīng)過(guò)的決策點(diǎn)和最優(yōu)選擇構(gòu)成一個(gè)路徑，稱為均衡路徑（EquilibriumPath）。子博弈精煉納什均衡3.2子博弈精煉納什均衡子博弈精煉納什均衡有些非完美信息博弈也可以運(yùn)用逆向歸納法求解。21U’LUD’RD(2,2)(3,1)(2,-2)(-2,2)(-2,2)(2,-2)R’L’R’L’12存在性定理II(Selton)：有限的擴(kuò)展式博弈一定有子博弈精煉納什均衡(SPNE)。3.2子博弈精煉納什均衡逆向歸納法理論上要求“所有參與人是理性的”是所有參與人的共同知識(shí)。盡管在簡(jiǎn)單的兩階段模型中，逆向歸納法及子博弈精煉納什均衡給出的解是非常直觀的，但是如果有許多個(gè)參與人或每個(gè)參與人有多次行動(dòng)機(jī)會(huì)，情況可能并非如此。逆向歸納法的問(wèn)題3.2子博弈精煉納什均衡逆向歸納法的問(wèn)題我們預(yù)測(cè)所有參與人都將選擇A。如果n很小，這個(gè)預(yù)測(cè)大概是正確的；但是，如果n很大，這個(gè)預(yù)測(cè)就很值得懷疑。iAAAA12(2,…2)(1/n,…,1/n)(1/2,…,1/2)(1,…,1)(1/i,…,1/i)DDDDn與此相關(guān)的另一個(gè)問(wèn)題是逆向歸納法要求支付向量是所有參與人的共同知識(shí)。參與人越多，共同知識(shí)的要求就越難滿足3.2子博弈精煉納什均衡逆向歸納法的問(wèn)題這里，只有兩參與人，但每個(gè)參與人有100個(gè)決策結(jié)…………1AAAA12(100,100)(98,101)(0,3)(1,1)(98,98)DDDD1蜈蚣博弈2A2A(99,99)(97,100)3.2子博弈精煉納什均衡精煉納什均衡策略不僅在均衡路徑上是最優(yōu)的，而且在非均衡路徑上也是最優(yōu)的。即參與人在不可能事件發(fā)生時(shí)，也應(yīng)該按照理性原則進(jìn)行最優(yōu)行動(dòng)。悖論：最優(yōu)策略是基于理性假設(shè)做出的，但滿足理性假設(shè)意味著不可能事件不會(huì)發(fā)生，如果不可能事件發(fā)生了，說(shuō)明理性假設(shè)不成立，那么在采取下一步行動(dòng)時(shí)為何還要假定對(duì)方為理性呢？反事實(shí)悖論3.3子博弈精煉納什均衡應(yīng)用舉例

3.3.1動(dòng)態(tài)產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng)：斯塔克爾伯格(Stackelberg)模型3.3子博弈精煉納什均衡應(yīng)用舉例

3.3.1動(dòng)態(tài)產(chǎn)量競(jìng)爭(zhēng)：斯塔克爾伯格(Stackelberg)模型古諾均衡點(diǎn)斯塔克爾伯格均衡點(diǎn)R1R2q2q1(a-c)/43(a-c)/8(a-c)/23.3子博弈精煉納什均衡應(yīng)用舉例引擎廠希望生產(chǎn)大引擎，但汽車廠希望生產(chǎn)小車。若引擎廠事先宣布，只生產(chǎn)大引擎，這個(gè)承諾可信嗎？3.3.2使不可置信的承諾成為可信：上下游關(guān)聯(lián)博弈引擎廠

大車大引擎小引擎（8，3）大引擎（3，0）引擎廠汽車廠小車小引擎（3，6）

（1，1）3.3子博弈精煉納什均衡應(yīng)用舉例引擎廠采取行動(dòng)，使其生產(chǎn)小引擎的利潤(rùn)大幅降低＄3（賣掉或毀損部分生產(chǎn)小引擎的產(chǎn)能）。毀損部份產(chǎn)能表面上似乎不利其營(yíng)運(yùn)，但能促使汽車廠相信它的承諾只會(huì)生產(chǎn)大引擎，增強(qiáng)此宣言可信度。3.3.2使不可置信的承諾成為可信：上下游關(guān)聯(lián)博弈引擎廠

大車大引擎小引擎（8，3）大引擎（0，0）引擎廠汽車廠小車小引擎（0，6）

（1，1）3.3子博弈精煉納什均衡應(yīng)用舉例3.3.2使不可置信的承諾成為可信：嚇阻進(jìn)入博弈I可立即投資擴(kuò)廠，擁有過(guò)剩生產(chǎn)能力，以便未來(lái)進(jìn)行價(jià)格戰(zhàn)，投資花費(fèi)30。宣言會(huì)進(jìn)行價(jià)格戰(zhàn)還不如做一些像擴(kuò)廠等可見的、不可逆轉(zhuǎn)的決策。3.3子博弈精煉納什均衡應(yīng)用舉例

3.3.3關(guān)稅政策3.3子博弈精煉納什均衡應(yīng)用舉例逆推法第二階段是一個(gè)同時(shí)行動(dòng)博弈，公司1的最優(yōu)化問(wèn)題3.3.3關(guān)稅政策3.3子博弈精煉納什均衡應(yīng)用舉例逆推法第一階段是政府決策的同時(shí)行動(dòng)博弈：3.3.3關(guān)稅政策3.3子博弈精煉納什均衡應(yīng)用舉例下列“囚徒困境”報(bào)酬(社會(huì)福利)：FTA(FreeTradeAgreement)“自由貿(mào)易協(xié)議”：雙方同時(shí)降稅成可使雙方獲利。但若無(wú)強(qiáng)制功能，則任一方均有誘因自FTA偏離！3.3.3關(guān)稅政策3.4討價(jià)還價(jià)與耐心討價(jià)還價(jià)在現(xiàn)實(shí)生活中非常常見：勞資合同、公司利益分配、中央和地方、中美貿(mào)易、財(cái)產(chǎn)分配、家務(wù)等。討價(jià)還價(jià)的特點(diǎn)在于，雙方既有共同利益（不同于零和博弈），又有利益沖突。在一個(gè)博弈中，納什均衡太多，使得反而有可能阻止任何一個(gè)均衡的出現(xiàn)。談判基本特征：兩人（A和B），分一塊錢；A先出價(jià)，B決定接受還是拒絕；如果接受，按照A提出的方案分配，談判結(jié)束；如果B拒絕，B提出方案，A決定接受還是拒絕；如果接受，按B的方案分配，談判結(jié)束；如果不接受，再由A提出方案；如此等等。討價(jià)還價(jià)3.4討價(jià)還價(jià)與耐心假定x：A得到的份額；y：B得到的份額；約束條件：x+y=1s：A的貼現(xiàn)率；a=1/（1+s）：A的貼現(xiàn)因子；r：B的貼現(xiàn)率；b=1/（1+r）：B的貼現(xiàn)因子；貼現(xiàn)因子越大，越有耐心3.4.1魯賓斯坦(Rubinstein)討價(jià)還價(jià)模型3.4討價(jià)還價(jià)與耐心若只有一次談判，即A出價(jià)，B決定是否接受逆向歸納意味著子博弈精煉納什均衡是：x=1，y=0若接受和不接受支付相等，假設(shè)參與人會(huì)接受若有兩次談判，A出價(jià)，B可以不接受再出價(jià)，A再?zèng)Q定是否接受在第二次談判時(shí)，若B拒絕，那B的最優(yōu)方案是提出x=0，y=1。根據(jù)假設(shè)，A會(huì)接受。考慮到這一點(diǎn)，在第一次談判時(shí)，A會(huì)選擇x=1-b，y=b，此時(shí)B會(huì)接受。若A選擇x<1-b，顯然不是最優(yōu)；若A選擇x>1-b，則B不會(huì)接受，也不是最優(yōu)3.4.1魯賓斯坦(Rubinstein)討價(jià)還價(jià)模型：有限期3.4討價(jià)還價(jià)與耐心若有三次談判，A出價(jià)，B可以不接受再出價(jià)，A可以不接受再出價(jià)，最后B決定是否接受第三次談判：x=1，y=0第二次談判：x=a，y=1-a第一次談判：x=1-b(1-a)，y=b(1-a)若有四次談判第四次談判：x=0，y=1第三次談判：x=1-b，y=b第二次談判：x=a(1-b)，y=1-a(1-b)第一次談判：x=1-b(1-a(1-b))，y=b(1-a(1-b))3.4.1魯賓斯坦(Rubinstein)討價(jià)還價(jià)模型：有限期3.4討價(jià)還價(jià)與耐心當(dāng)有T次談判時(shí)：T=2N+1，N=0,1,2…T=2N+2，N=0,1,2…兩個(gè)結(jié)論：后動(dòng)優(yōu)勢(shì)：當(dāng)兩人的耐心足夠高時(shí)，誰(shuí)在最后一輪出價(jià)，誰(shuí)就具有優(yōu)勢(shì)。但這個(gè)優(yōu)勢(shì)隨允許談判次數(shù)的增加而遞減。（注意：當(dāng)談判次數(shù)為T次時(shí)，A既是先動(dòng)方，又是后動(dòng)方）越有耐心的人，談判中優(yōu)勢(shì)越大3.4.1魯賓斯坦(Rubinstein)討價(jià)還價(jià)模型：有限期3.4討價(jià)還價(jià)與耐心

3.4.2無(wú)限期討價(jià)還價(jià)模型與耐心3.4討價(jià)還價(jià)與耐心如果B先出價(jià)：兩個(gè)結(jié)論：無(wú)限次談判具有“先動(dòng)優(yōu)勢(shì)”一個(gè)人的耐心越大，談判中的優(yōu)勢(shì)就越大談判當(dāng)中能夠影響到最終分配結(jié)果的因素有兩個(gè)：出價(jià)順序談判者的耐心，以及與耐心類似的談判成本（包括機(jī)會(huì)成本）3.4.2無(wú)限期討價(jià)還價(jià)模型與耐心3.4討價(jià)還價(jià)與耐心在前面的討論中，盡管談判允許多次，但均衡情況下，雙方一開始就達(dá)成協(xié)議，之后的談判路徑都是非均衡路徑；現(xiàn)實(shí)中情況并不如此。通常，談判總要進(jìn)行多個(gè)回合，例如中國(guó)加入WTO是談判，進(jìn)行了10幾年。為什么？3.4.3談判與信息3.4討價(jià)還價(jià)與耐心原因是：我們前面假定當(dāng)事人具有完全信息：知道價(jià)值V和每個(gè)人的機(jī)會(huì)成本或談判砝碼，每個(gè)人的耐心，談判的時(shí)限等等。并且，每個(gè)人知道每個(gè)人知道；每個(gè)人知道每個(gè)人知道每個(gè)人知道，等等。但在現(xiàn)實(shí)中，談判面臨的最大問(wèn)題是信息不完全。價(jià)值V，耐心，機(jī)會(huì)成本等均有可能不是公開信息。談判的過(guò)程實(shí)際上是信息揭示和窺探的過(guò)程。3.4.3談判與信息3.4討價(jià)還價(jià)與耐心兩人之間分配一筆錢，其中一個(gè)人提出方案，另一個(gè)人可以接受，也可以拒絕；如果接受，每人得到方案規(guī)定的份額；如果拒絕，沒(méi)有人得到任何東西。什么是這個(gè)博弈的精練納什均衡？3.4.4最后通牒博弈3.4討價(jià)還價(jià)與耐心兩人之間分配一筆錢，其中一個(gè)人提出方案，另一個(gè)人可以接受，也可以拒絕；如果接受，每人得到方案規(guī)定的份額；如果拒絕，沒(méi)有人得到任何東西。什么是這個(gè)博弈的精練納什均衡？在大規(guī)模試驗(yàn)中，結(jié)果傾向于55:45，接近1:1！當(dāng)然，還發(fā)現(xiàn)其他有趣結(jié)果：如男生給女生提方案時(shí)平均給予較多；而分專業(yè)進(jìn)行的試驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)專業(yè)(尤其是博士生)提出方案接近70:30，而接受比例也較大。其它非均衡行為：小費(fèi)、“事成之后，必有重謝”3.4.4最后通牒博弈3.5重復(fù)博弈與無(wú)名氏定理動(dòng)態(tài)博弈中一種特殊但是非常重要的類型是“重復(fù)博弈”重復(fù)博弈是指同樣結(jié)構(gòu)的博弈重復(fù)多次，其中的每次博弈稱為“階段博弈”(1)階段博弈之間沒(méi)有“物質(zhì)上”的聯(lián)系(2)所有參與人都觀測(cè)到博弈過(guò)去的歷史。(3)參與人的總支付是所有階段博弈支付的貼現(xiàn)值之和或加權(quán)平均值。重復(fù)博弈3.5重復(fù)博弈與無(wú)名氏定理連鎖店悖論在位者有20個(gè)連鎖店，進(jìn)入者每次進(jìn)入其中一個(gè)市場(chǎng)，就變成了重復(fù)博弈。這里在位者會(huì)選擇斗爭(zhēng)的唯一原因是希望斗爭(zhēng)能起到一種威懾作用。但根據(jù)逆推法，在有限次博弈中，威懾作用并不是一個(gè)可以置信的威脅。這個(gè)博弈的唯一的子博弈精煉均衡是在位者在每一個(gè)市場(chǎng)上選擇默許，進(jìn)入都在每一個(gè)市場(chǎng)上選擇進(jìn)入。這就是所謂的“連鎖店悖論”(chain-storeparadox;Selten,1978)3.5.1有限次重復(fù)博弈40，50-10，00，3000，300在位者默許斗爭(zhēng)

進(jìn)入進(jìn)入者不進(jìn)入3.5重復(fù)博弈與無(wú)名氏定理囚徒困境的情況與連鎖店悖論類