高中數(shù)學(xué)人教B版第三章概率 學(xué)業(yè)分層測評17概率的加法公式

學(xué)業(yè)分層測評(十七)(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1.若A，B是互斥事件，則()(A∪B)＜1 (A∪B)＝1(A∪B)＞1 (A∪B)≤1【解析】∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1.(當(dāng)A，B對立時(shí)，P(A∪B)＝1).【答案】D2.對空中飛行的飛機(jī)連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)A＝{兩次都擊中飛機(jī)}，B＝{兩次都沒擊中飛機(jī)}，C＝{恰有一炮彈擊中飛機(jī)}，D＝{至少有一炮彈擊中飛機(jī)}，下列關(guān)系不正確的是()?D ∩D＝?∪C＝D ∪B＝B∪D【解析】“恰有一炮彈擊中飛機(jī)”指第一枚擊中第二枚沒中或第一枚沒中第二枚擊中，“至少有一炮彈擊中”包含兩種情況：一種是恰有一炮彈擊中，一種是兩炮彈都擊中，∴A∪B≠B∪D.【答案】D3.從1,2,3，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個(gè)偶數(shù)和恰有一個(gè)奇數(shù)；②至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；③至少有一個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；④至少有一個(gè)奇數(shù)和至少有一個(gè)偶數(shù).在上述事件中，是對立事件的是()A.① B.②④C.③ D.①③【解析】從1～9中任取兩數(shù)，有以下三種情況：(1)兩個(gè)均為奇數(shù)；(2)兩個(gè)均為偶數(shù)；(3)一個(gè)奇數(shù)和一個(gè)偶數(shù)，故選C.【答案】C4.某城市2023年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：污染指數(shù)T3060100110130140概率Peq\f(1,10)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(7,30)eq\f(2,15)eq\f(1,30)其中污染指數(shù)T≤50時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50＜T≤100時(shí)，空氣質(zhì)量為良；100＜T≤150時(shí)，空氣質(zhì)量為輕微污染.該城市2023年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為()\f(3,5) \f(1,180)\f(1,19) \f(5,9)【解析】所求概率為eq\f(1,10)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＝eq\f(3,5).故選A.【答案】A5.對一批產(chǎn)品的長度(單位：毫米)進(jìn)行抽樣檢測，如圖3-1-2為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25)上的為一等品，在區(qū)間[15,20)和區(qū)間[25,30)上的為二等品，在區(qū)間[10,15)和[30,35)上的為三等品.用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，則其為二等品的概率為()圖3-1-2A.0.09 【解析】由題圖可知抽得一等品的概率為，抽得三等品的概率為，則抽得二等品的概率為1－－＝【答案】D二、填空題6.在擲骰子的游戲中，向上的數(shù)字為5或6的概率為________.【解析】記事件A為“向上的數(shù)字為5”，事件B為“向上的數(shù)字為6”，則A與B互斥.所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,6)×2＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)7.一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________.【解析】連續(xù)射擊兩次有以下四種情況：第一次中第二次不中，第一次不中第二次中，兩次都中和兩次都不中.故“至少一次中靶”的互斥事件為“兩次都不中靶”.【答案】“兩次都不中靶”8.同時(shí)拋擲兩枚骰子，既不出現(xiàn)5點(diǎn)也不出現(xiàn)6點(diǎn)的概率為eq\f(4,9)，則5點(diǎn)或6點(diǎn)至少出現(xiàn)一個(gè)的概率是________.【解析】記既沒有5點(diǎn)也沒有6點(diǎn)的事件為A，則P(A)＝eq\f(4,9)，5點(diǎn)或6點(diǎn)至少出現(xiàn)一個(gè)的事件為B.因?yàn)锳∩B＝?，A∪B為必然事件，所以A與B是對立事件，則P(B)＝1－P(A)＝1－eq\f(4,9)＝eq\f(5,9).故5點(diǎn)或6點(diǎn)至少出現(xiàn)一個(gè)的概率為eq\f(5,9).【答案】eq\f(5,9)三、解答題9.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的一面出現(xiàn)1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)，4點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)的概率均為eq\f(1,6)，記事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)”，事件B為“向上的數(shù)不超過3”，求P(A∪B).【解】記事件“出現(xiàn)1點(diǎn)”，“出現(xiàn)2點(diǎn)”，“出現(xiàn)3點(diǎn)”，“出現(xiàn)5點(diǎn)”分別為A1，A2，A3，A4.這四個(gè)事件彼此互斥，故P(A∪B)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＋P(A4)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,6)＝eq\f(2,3).10.在數(shù)學(xué)考試中，小明的成績在90分以上的概率是，在80分～89分的概率是，在70分～79分的概率是，在60分～69分的概率是，在60分以下的概率是，計(jì)算：(1)小明在數(shù)學(xué)考試中取得80分以上成績的概率；(2)小明考試及格的概率.【導(dǎo)學(xué)號：25440050】【解】記小明的成績“在90分以上”、“在80分～89分”、“在70分～79分”、“在60分～69分”為事件A，B，C，D，這四個(gè)事件彼此互斥.(1)小明成績在80分以上的概率是：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.(2)小明及格的概率是：P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝＋＋＋＝.∴小明及格的概率為.[能力提升]1.從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么，互斥而不對立的事件是()A.至少有一個(gè)紅球與都是紅球B.至少有一個(gè)紅球與都是白球C.至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球D.恰有一個(gè)紅球與恰有兩個(gè)紅球【解析】A項(xiàng)中，若取出的3個(gè)球是3個(gè)紅球，則這兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，故它們不是互斥事件，所以A項(xiàng)不符合題意；B項(xiàng)中，這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，且必有一個(gè)發(fā)生，則它們是互斥事件且是對立事件，所以B項(xiàng)不符合題意；C項(xiàng)中，若取出的3個(gè)球是1個(gè)紅球2個(gè)白球時(shí)，它們同時(shí)發(fā)生，則它們不是互斥事件，所以C項(xiàng)不符合題意；D項(xiàng)中，這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，若取出的3個(gè)球都是紅球，則它們都沒有發(fā)生，故它們不是對立事件，所以D項(xiàng)符合題意.【答案】D2.(2023·北京西城質(zhì)檢)如圖3-1-3所示莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測評中的成績，其中一個(gè)數(shù)字被污損，則甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為()圖3-1-3\f(2,5) \f(7,10)\f(4,5) \f(9,10)【解析】記其中被污損的數(shù)字為x，依題意得甲的五次綜合測評的平均成績是eq\f(1,5)(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次綜合測評的平均成績是eq\f(1,5)(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝eq\f(1,5)(442＋x)，令90＞eq\f(1,5)(442＋x)，解得x＜8，所以x的可能取值是0～7，因此甲的平均成績超過乙的平均成績的概率為eq\f(8,10)＝eq\f(4,5).【答案】C3.一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出一個(gè)球，摸出紅球或白球的概率為，摸出紅球或黑球的概率為，那么摸出紅球的概率為________.【解析】由題意知A＝“摸出紅球或白球”與B＝“摸出黑球”是對立事件，又P(A)＝，∴P(B)＝1－P(A)＝，又C＝“摸出紅球或黑球”與D＝“摸出白球”也是對立事件，∵P(C)＝，∴P(D)＝.設(shè)事件E＝“摸出紅球”，則P(E)＝1－P(B∪D)＝1－P(B)－P(D)＝1－－＝.【答案】4.袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是eq\f(1,3)，得到黑球或黃球的概率是eq\f(5,12)，得到黃球或綠球的概率是eq\f(5,12)，試求得到黑球、黃球、綠球的概率各是多少？【解】從袋中任取一球，記事件“摸到紅球”“摸到黑球”“摸到黃球”“摸到綠球”分別為A、B、C、D，則有：P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)；P(C∪D)＝P(C)＋P(D)