層次分析法案例

…wj右乘矩陣A，則有:W]…wj右乘矩陣A，則有:W]/VV-Jw2/w2■!■■/fl 憶叭/叫叫/W弄■—nw7叫/叫_層次分析法的應用層次分析法由美國著名運籌學家薩蒂于 1982年提出，它綜合了人們主觀判斷，是一種簡明、實用的定性分析與定量分析相結(jié)合的系統(tǒng)分析與評價的方法。目前，該方法在國內(nèi)已得到廣泛的推廣應用，廣泛應用于能源問題分析、科技成果評比、地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展方案比較，尤其是投入產(chǎn)出分析、資源分配、方案選擇及評比等方面。它既是一種系統(tǒng)分析的好方法，也是一種新的、簡潔的、實用的決策方法。層次分析法的基本原理人們在日常生活中經(jīng)常要從一堆同樣大小的物品中挑選出最重的物品。這時，一般是利用兩兩比較的方法來達到目的。假設有n個物品，其真實重量用w“w2,…W表示。要想知道w“w2,-wn的值，最簡單的就是用秤稱出它們的重量，但如果沒有秤，可以將幾個物品兩兩比較，得到它們的重量比矩陣A。如果用物品重量向量W=[w1，w2,由上式可知，n是A的特征值，W是A的特征向量。根據(jù)矩陣理論，n是矩陣A的唯一非零解，也是最大的特征值。這就提示我們，可以利用求物品重量比判斷矩陣的特征向量的方法來求得物品真實的重量向量W。從而確定最重的物品。將上述n個物品代表n個指標（要素），物品的重量向量就表示各指標（要素）的相對重要性向量，即權(quán)重向量；可以通過兩兩因素的比較，建立判斷矩陣，再求出其特征向量就可確定哪個因素最重要。依此類推，如果n個物品代表n個方案，按照這種方法，就可以確定哪個方案最有價值。應用層次分析法進行系統(tǒng)評價的主要步驟如下：（1）將復雜問題所涉及的因素分成若干層次，建立多級遞階的層次結(jié)構(gòu)模型（目標層、判斷層、方案層）。（2）標度及描述。同一層次任意兩因素進行重要性比較時，對它們的重要性之比做出判斷，給予量化。（3）對同屬一層次的各要素以上一級的要素為準則進行兩兩比較，根據(jù)評價尺度確定其相對重要度，據(jù)此構(gòu)建判斷矩陣A。（4）計算判斷矩陣的特征向量，以此確定各層要素的相對重要度（權(quán)重）。（5）最后通過綜合重要度（權(quán)重）的計算，按照最大權(quán)重原則，確定最優(yōu)方案。具體案例：市政部門管理人員需要對修建一項市政工程項目進行決策，可選擇的方案是修建通往旅游區(qū)的高速路（簡稱建高速路）或修建城區(qū)地鐵（簡稱建地鐵）。除了考慮經(jīng)濟效益外，還要考慮社會效益、環(huán)境效益等因素，即是多準則決策問題，考慮運用層次分析法解決。解決問題的具體步驟：建立遞階層次結(jié)構(gòu)應用AHP解決實際問題，首先明確要分析決策的問題，并把它條理化、層次化，理出遞階層次結(jié)構(gòu)。AHP要求的遞階層次結(jié)構(gòu)一般由以下三個層次組成：目標層（最高層）：指問題的預定目標；準則層（中間層）：指影響目標實現(xiàn)的準則；措施層（最低層）：指促使目標實現(xiàn)的措施；通過對復雜問題的分析，首先明確決策的目標，將該目標作為目標層（最高層）的元素，這個目標要求是唯一的，即目標層只有一個元素。然后找出影響目標實現(xiàn)的準則，作為目標層下的準則層因素，在復雜問題中，影響目標實現(xiàn)的準則可能有很多，這時要詳細分析各準則因素間的相互關(guān)系，即有些是主要的準則，有些是隸屬于主要準則的次準則，然后根據(jù)這些關(guān)系將準則元素分成不同的層次和組，不同層次元素間一般存在隸屬關(guān)系，即上一層元素由下一層元素構(gòu)成并對下一層元素起支配作用，同一層元素形成若干組，同組元素性質(zhì)相近，一般隸屬于同一個上一層元素（受上一層元素支配），不同組元素性質(zhì)不同，一般隸屬于不同的上一層元素。在關(guān)系復雜的遞階層次結(jié)構(gòu)中，有時組的關(guān)系不明顯，即上一層的若干元素同時對下一層的若干元素起支配作用，形成相互交叉的層次關(guān)系，但無論怎樣，上下層的隸屬關(guān)系應該是明顯的。最后分析為了解決決策問題（實現(xiàn)決策目標）、在上述準則下，有哪些最終解決方案（措施），并將它們作為措施層因素，放在遞階層次結(jié)構(gòu)的最下面（最低層）。明確各個層次的因素及其位置，并將它們之間的關(guān)系用連線連接起來，就構(gòu)成了遞階層次結(jié)構(gòu)?！景咐治觥渴姓こ添椖窟M行決策：建立遞階層次結(jié)構(gòu)在市政工程項目決策問題中，市政管理人員希望通過選擇不同的市政工程項目，使綜合效益最高，即決策目標是“合理建設市政工程，使綜合效益最高”。為了實現(xiàn)這一目標，需要考慮的主要準則有三個，即經(jīng)濟效益，社會效益和環(huán)境效益。但問題絕不這么簡單。通過深入思考，決策人員認為還必須考慮直接經(jīng)濟效益、間接經(jīng)濟效益、方便日常出行、方便假日出行、減少環(huán)境污染、改善城市面貌等因素（準則），從相互關(guān)系上分析，這些因素隸屬于主要準則，因此放在下一層次考慮，并且分屬于不同準則。假設本問題只考慮這些準則，接下來需要明確為了實現(xiàn)決策目標、在上述準則下可以有哪些方案。根據(jù)題中所述，本問題有兩個解決方案，即建高速路或建地鐵，這兩個因素作為措施層元素放在遞階層次結(jié)構(gòu)的最下層。很明顯，這兩個方案于所有準則都相關(guān)。將各個層次的因素按其上下關(guān)系擺放好位置，并將它們之間的關(guān)系用連線連

接起來。同時，為了方便后面的定量表示，一般從上到下用 A、B、C、D。。。代表不同層次，同一層次從左到右用1、2、3、4。。。代表不同因素。這樣構(gòu)成的遞階層次結(jié)構(gòu)如下圖。目標層準則層合理建設市政工程，使綜合效益最高 （A）措施層D準則層合理建設市政工程，使綜合效益最高 （A）措施層D圖1遞階層次結(jié)構(gòu)示意圖構(gòu)造判斷矩陣并賦值根據(jù)遞階層次結(jié)構(gòu)就能很容易地構(gòu)造判斷矩陣。構(gòu)造判斷矩陣的方法是：每一個具有向下隸屬關(guān)系的元素（被稱作準則）作為判斷矩陣的第一個元素（位于左上角），隸屬于它的各個元素依次排列在其后的第一行和第一列。重要的是填寫判斷矩陣。填寫判斷矩陣的方法有：大多采取的方法是：向填寫人（專家）反復詢問：針對判斷矩陣的準則，其中兩個元素兩兩比較哪個重要，重要多少，對重要性程度按 1-9賦值（重要性標度值見下表)表1重要性標度含義表重要性標度含 義1表示兩個元素相比，具有同等重要性3表示兩個元素相比，前者比后者稍重要5表示兩個元素相比，前者比后者明顯重要7表示兩個元素相比，前者比后者強烈重要9表示兩個元素相比，前者比后者極端重要2,4,6,8表示上述判斷的中間值倒數(shù)若元素1與元素j的重要性之比為耳，則元素j與元素1的重要性之比為sji=1/aij設填寫后的判斷矩陣為A=@j)nxn,判斷矩陣具有如下性質(zhì)：⑴aa0⑵a=1/aji(3)a=i根據(jù)上面性質(zhì)，判斷矩陣具有對稱性，因此在填寫時，通常先填寫印=1部分,然后再僅需判斷及填寫上三角形或下三角形的 n(n-1)/2個元素就可以了。在特殊情況下，判斷矩陣可以具有傳遞性，即滿足等式： aj*ajk=aik當上式對判斷矩陣所有元素都成立時，則稱該判斷矩陣為一致性矩陣?！景咐治觥渴姓こ添椖拷ㄔO決策：構(gòu)造判斷矩陣并請專家填寫接前例，征求專家意見，填寫后的判斷矩陣如下：表2判斷矩陣表

AB1B2B3B1C2二㈡C4B3C5C6B111/31/3C11C31C513B211C21C41C61B31C1D1D2D1C1D1D2D115D2nC5D2D1丄1/5D2C2D1D2D113D21C6D2D111/3D21C3D1D2D111/5D21C4D1D2D117D21層次單排序（計算權(quán)向量）與檢驗對于專家填寫后的判斷矩陣，利用一定數(shù)學方法進行層次排序。層次單排序是指每一個判斷矩陣各因素針對其準則的相對權(quán)重，所以本質(zhì)上是計算權(quán)向量。計算權(quán)向量有特征根法、和法、根法、幕法等，這里簡要介紹和法和法的原理是，對于一致性判斷矩陣，每一列歸一化后就是相應的權(quán)重。對于非一致性判斷矩陣，每一列歸一化后近似其相應的權(quán)重，在對這 n個列向量求取算術(shù)平均值作為最后的權(quán)重。具體的公式是:1W1Wi=nj=i需要注意的是，在層層排序中，要對判斷矩陣進行一致性檢驗。在特殊情況下，判斷矩陣可以具有傳遞性和一致性。一般情況下，并不要求判斷矩陣嚴格滿足這一性質(zhì)。但從人類認識規(guī)律看，一個正確的判斷矩陣重要性排序是有一定邏輯規(guī)律的，例如若A比B重要，B又比C重要，則從邏輯上講，A應該

比C明顯重要，若兩兩比較時出現(xiàn)A比C重要的結(jié)果，則該判斷矩陣違反了一致性準則，在邏輯上是不合理的。因此在實際中要求判斷矩陣滿足大體上的一致性，需進行一致性檢驗。只有通過檢驗，才能說明判斷矩陣在邏輯上是合理的，才能繼續(xù)對結(jié)果進行分析。一致性檢驗的步驟如下。第一步，計算一致性指標C.l.(consistencyndex)C.I.maxC.I.maxnn1第二步，查表確定相應的平均隨機一致性指標 R.l.(randomindex)據(jù)判斷矩陣不同階數(shù)查下表，得到平均隨機一致性指標 R.I.o例如，對于5階C.I.R.I.的判斷矩陣，查表得到C.I.R.I.矩陣階數(shù)1234 5678R.I.000.520.89 1.121.261.361.41矩陣階數(shù)9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59第三步，計算一致性比例C.R.(consistencyratio)并進行判斷表3平均隨機一致性指標R.I?表(1000次正互反矩陣計算結(jié)果)C.R.當C.R.V0.1時，認為判斷矩陣的一致性是可以接受的，C.R.>0.1時，認為判斷矩陣不符合一致性要求，需要對該判斷矩陣進行重新修正【案例分析】市政工程項目建設決策：計算權(quán)向量及檢驗上例計算所得的權(quán)向量及檢驗結(jié)果見下：

表4層次計算權(quán)向量及檢驗結(jié)果表A單（總）排序權(quán)值B1單排序權(quán)值B2單排序權(quán)值B3單排序權(quán)值B10.1429C10.5000C30.7500C50.7500B20.4286C20.5000C40.2500C60.2500B30.4286C0.0000C0.0000C0.0000RRRCR0.0000C1單排序權(quán)值C2單排序權(quán)值C3單排序權(quán)C4單排序權(quán)值值D10.8333D10.7500D0.1667D0.875011D20.1667D20.2500D0.8333D0.125022CR0.0000C0.0000C0.0000C0.0000RRRC5單排序權(quán)值C6單排序權(quán)值D10.1667D10.2500D20.8333D20.7500CR0.0000C0.0000R可以看出，所有單排序的C.R.vO.1,認為每個判斷矩陣的一致性都是可以接受的可以看出，所有單排序的層次總排序與檢驗總排序是指每一個判斷矩陣各因素針對目標層（最上層）的相對權(quán)重。這一權(quán)重的計算采用從上而下的方法，逐層合成。很明顯，第二層的單排序結(jié)果就是總排序結(jié)果。假定已經(jīng)算出第 k-1層m個元素相對于總目標的權(quán)重w（k-1）=（wi（k-1）,W2（k-1）,…,Wm（k-1））T，第k層n個元素對于上一層（第k層）第j個元素的單排序權(quán)重是Pj（k）=（P1j（k）,P2j（k）,…,Pnj（k））T，其中不受j支配的元素的權(quán)重為零。令P（k）=（P1（k）,P2（k），…，5釣,表示第k層元素對第k-1層個元素的排序，則第k層元素對于總目標的總排序為：W（k）=（W1（k）,W2（k）,…,Wn（k））T=p（k）W（k-1）m或 Wi（k） pij（k）Wj（k1）I=1,2,…,nj1同樣，也需要對總排序結(jié)果進行一致性檢驗。假定已經(jīng)算出針對第 k-1層第j個元素為準則的 C」.j（k）、R.l.j（k）和C.Rj（k）,j=1,2,…,m則第k層的綜合檢驗指標C.l.j(k)=(C.l.1(k),C.I.2(k)，…?,C.l.m(k))W(k-1)R.l.j(k)=(R.l.1(k),R.l.2(k)，…?,R.l.m(k))W(k-1)C.R.(k)C.l.(k)R.l.(k)當C.R（k）＜0.1時，認為判斷矩陣的整體一致性是可以接受的【案例分析】市政工程項目建設決策：層次總排序及檢驗上例層次總排序及檢驗結(jié)果見下：表5C層次總排序（CR=0.0000表C1C2C3C4C5C60.07140.07140.32140.10710.32140.1071表6D層次總排序（CR=0.0000）D1D20.34080.6592可以看出，總排序的C.R.V0.1,認為判斷矩陣的整體一致性是可以接受的結(jié)果分析通過對排序結(jié)果的分析，得出最后的決策方案?！景咐治觥渴姓こ添椖拷ㄔO決策：結(jié)果分析從方案層總排序的結(jié)果看，建地鐵（D2）的權(quán)重（0.6592）遠遠大于建高速路（D1）的權(quán)重（0.3408，因此，最終的決策方案是建地鐵。根據(jù)層次排序過程分析決策思路。對于準則層B的3個因子，直接經(jīng)濟效益（B1）的權(quán)重最低（0.1429,社會效益（B2）和環(huán)境效益（B3）的權(quán)重都比較高（皆為0.4286），說明在決策中比較看重社會效益和環(huán)境效益。對于不看重的經(jīng)濟效益，其影響的兩個因子直接經(jīng)濟效益（ C1）、間接帶動效益（C2）單排序權(quán)重都是建高速路遠遠大于建地