高中數(shù)學(xué) 異面直線所成的角 北師大必修2

異面直線所成的角.對(duì)于兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)o，作直線a’//a，b’//b，則直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成的角兩條異面直線所成的角的范圍是（0，].aαbo.aˊO是空間中的任意一點(diǎn)

點(diǎn)o常取在兩條異面直線中的一條上bˊθooooo返回.二、數(shù)學(xué)思想、方法、步驟：轉(zhuǎn)化與化歸，即把異面直線所成的角（空間角）轉(zhuǎn)化為平面角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后通過解三角形求得.2.方法：

3.步驟：

①作（找）②證③計(jì)算1.數(shù)學(xué)思想：平移可解三角形.ABDCA1B1D1C1在正方體AC1中，求異面直線A1B和B1C所成的角？A1B和B1C所成的角為60°.PABCMN空間四邊形P-ABC中，M，N分別是PB，AC的中點(diǎn)，PA=BC=4，MN=3，求PA與BC所成的角？E返回.在正方體AC1中，求異面直線D1B和B1C所成的角？ABDCA1B1D1C1E返回.A1ABB1CDC1D1FEG解：如圖，取AB的中點(diǎn)G，O（證）A1G與AE所成的銳角（或直角）就是AE與D1F所成的角。FG，A1G

，A1G與AE交于O連結(jié)（作）例1:如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、CD中點(diǎn)。求AE與D1F所成的角。返回A1D1FGAD又ADA1D1FG四邊形A1GFD1為平行四邊形A1GD1F的中點(diǎn)tRA1AGAOG=90ABEGA1A=GAO即直線AE與D1F所成的角為直角。E是BB1（算）.例2在棱長都相等的四面體A-BCD中，M、N分別是棱AD、BC的中點(diǎn)，連結(jié)AN、CM，求異面直線AN、CM所成的角的余弦值。.例2已知正方體的棱長為a,M為AB的中點(diǎn),N為BB1的中點(diǎn)，求A1M與C1N所成角的余弦值。解：A1D1C1B1ABCDMNEG如圖，取AB的中點(diǎn)E,連BE,有BE∥A1M取CC1的中點(diǎn)G,連BG.有BG∥C1N則∠EBG即為所求角。BG=BE=a,FC1=a由余弦定理，cos∠EBG=2/5F取EB1的中點(diǎn)F，連NF,有BE∥NF則∠FNC為所求角。想一想：還有其它定角的方法嗎？在△EBG中.例3：長方體ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成角的余弦值。返回.解法二：方法歸納：補(bǔ)形法把空間圖形補(bǔ)成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、長方體等，其目的在于易于發(fā)現(xiàn)兩條異面直線的關(guān)系。在A1C1E中，由余弦定理得A1C1與BD1所成角的余弦值為

如圖，補(bǔ)一個(gè)與原長方體全等的并與原長方體有公共面連結(jié)A1E，C1E，則A1C1E為A1C1與BD1所成的角(或補(bǔ)角)，F(xiàn)1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的長方體B1F，返回.1：如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，異面直線AC與BC1所成角的大小是（

）．A．30°B．45°C．60°D．90°解：在圖形中，將AC平行移動(dòng)到A1C1，再連接A1B，則△A1BC1是一個(gè)等邊三角形，A1C1與BC1所成的角為60°,所以AC與BC1所成角的大小也是60°，選C.返回?zé)嵘碛?xùn)練.2：如圖，正三棱錐S－A

BC的側(cè)棱與底面邊長相等，如果E、F分別為SC、A

B的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成角等于（

）A．90°B．60°C．45°D．30°返回G.解：取AC的中點(diǎn)G，連接EG、FG，∵EG//SA，∴∠GEF是異面直線EF與SA所成角，又FG//BC，SA⊥BC，∴∠EGF=90°，△EGF是直角三角形，又EG=SA，F(xiàn)G=BC，∴EG=FG，△EGF是等腰直角三角形，∴∠GEF=45°，選C.返回.正方體ABCD-A1B1C1D1中,AC、BD交于O,則OB1與A1C1所成的角的度數(shù)為A1B1C1D1ABCDO課堂練習(xí)：1900A1B1C1D1ABCDO返回.在正四面體S-ABC中，SA⊥BC,E,F分別為SC、AB的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成的角等于（）CSABEFD(A)300(B)450(C)600(D)900練習(xí)2B返回.2.已知：兩異面直線a,b所成的角是50°，P為空間中一定點(diǎn)，則過點(diǎn)P且與a,b都成30°角的直線有

條。abPO2返回.定角一般方法有：（1）平移法（常用方法）小結(jié)：1、求異面直線所成的角是把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想。2、用余弦定理求異面直線所成角時(shí)，要注意角的范圍：（1）當(dāng)cosθ＞0時(shí)，所成角為θ（2）當(dāng)cosθ＜0時(shí)，所成角為π－θ（3）當(dāng)cosθ=0時(shí)，所成角為90o（2）補(bǔ)形法化歸的一般步驟是：