《復(fù)變函數(shù)論》胡玉泉版-第三章-復(fù)變函數(shù)的積分

第三章復(fù)變函數(shù)的積分§1復(fù)積分的概念§2柯西積分定理§3柯西積分公式§4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)§5解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系設(shè)C為平面上給定的一條連續(xù)曲線(xiàn),如果選定C的兩個(gè)可能方向中的一個(gè)作為正向，那么我們就把C理解為帶有方向的曲線(xiàn),稱(chēng)為有向曲線(xiàn)。如果A到B作為曲線(xiàn)C的正向,那么B到A就是曲線(xiàn)C的負(fù)向,§3.1復(fù)積分的概念1復(fù)積分的定義xy0AB簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)C的正向是指當(dāng)曲線(xiàn)上的點(diǎn)P沿此方向前進(jìn)時(shí),鄰近P點(diǎn)的曲線(xiàn)的內(nèi)部始終位于P點(diǎn)的左方.與之相反的方向就是曲線(xiàn)的負(fù)方向.關(guān)于曲線(xiàn)方向的說(shuō)明:以后把兩個(gè)端點(diǎn)中的一個(gè)作為起點(diǎn),另一個(gè)作為終點(diǎn),除特殊聲明外,正方向總是指從起點(diǎn)到終點(diǎn)的方向.xy0PC((xy0ABzn-1zkzk-1z1z0zkxy0ABzn-1zkzk-1z1z0zk關(guān)于積分定義的說(shuō)明:(1)如果C是x軸上的區(qū)間a≤x≤b，則f(z)=u(x)

為實(shí)函數(shù)。該積分就是實(shí)函數(shù)定積分。2.積分的計(jì)算及積分性質(zhì)可通過(guò)兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù)的線(xiàn)積分計(jì)算復(fù)積分的化簡(jiǎn):例1

解直線(xiàn)方程為例2

解積分路徑的參數(shù)方程為解例3

積分路徑的參數(shù)方程為重要結(jié)論：積分值與路徑圓周的中心、半徑無(wú)關(guān).復(fù)變函數(shù)的積分性質(zhì).估值不等式而所以得證證明：例4解因此解例5

(1)積分路徑的參數(shù)方程為xy01+i(2)積分路徑的參數(shù)方程為xy01+i(3)積分路徑由兩段直線(xiàn)段構(gòu)成x軸上直線(xiàn)段的參數(shù)方程為1到1+i直線(xiàn)段的參數(shù)方程為xy01+i注意2注意1這和數(shù)學(xué)分析中的曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的關(guān)系？1.柯西積分定理:說(shuō)明：該定理的主要部分是Cauchy于1825年建立；§3.2Cauchy積分定理它是復(fù)變函數(shù)理論的基礎(chǔ)。復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)分析中的Green定理:證明

Cauchy積分定理:由Green公式例1解根據(jù)Cauchy積分定理,有例2解=0根據(jù)Cauchy積分定理得當(dāng)時(shí),解：例3求解故z2+2z+4解析，由柯西積分定理定理：設(shè)函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，z0與z1

為D內(nèi)任意兩點(diǎn)，C1與C2為連結(jié)z0與z1的積分路線(xiàn)，C1與C2都含于D，則z0z1xy0C1C2即當(dāng)f為D的解析函數(shù)時(shí)積分與路線(xiàn)無(wú)關(guān)，而僅由積分路線(xiàn)的起點(diǎn)z0與終點(diǎn)z1確定。定理：C1與C2是兩條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)，C2在C1的內(nèi)部。f(z)在C1與C2圍成的二連域D內(nèi)解析，而在D+C1+C2上連續(xù)，則DC1C2在區(qū)域內(nèi)解析的函數(shù)沿閉曲線(xiàn)的積分，不因閉曲線(xiàn)在區(qū)域內(nèi)做連續(xù)變形而改變。故稱(chēng)該定理為閉路變形原理。ABCDC1C2D1D2L1L2由柯西積分定理，得

L1=AB+BC+CD+DL1A

L2=AL2D+DC+CB+BA故L1+L2=BC+DL1A+AL2D+CB=C2-+C1

于是即2.復(fù)合閉路定理那末證明：設(shè)n=2,A1A2A3A4C1C2EFGIHJ當(dāng)n為其它值時(shí)，可同樣證明。故例1解依題意知,xy01根據(jù)復(fù)合閉路原理,xy01C1C2例2

解圓環(huán)域的邊界構(gòu)成一條復(fù)合閉路,根據(jù)復(fù)合閉路原理,xy0C23.

原函數(shù)的概念原函數(shù)之間的關(guān)系:那末它就有無(wú)窮多個(gè)原函數(shù),根據(jù)以上討論可知:證明：解析函數(shù)在單連通域內(nèi)的積分只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān),即：證明：在D內(nèi)任取一點(diǎn)z+Δz，則有定理zz+Δzz0因?yàn)閒(z)在D內(nèi)連續(xù)，所以對(duì)任意給定的由點(diǎn)z的任意性，得證。Newton-Leibniz公式說(shuō)明：有了以上定理,復(fù)變函數(shù)的積分就可以用與微積分學(xué)中類(lèi)似的方法去計(jì)算.證明：根據(jù)Cauchy積分定理,例1解例2解例3解例4解利用分部積分法可得1.問(wèn)題的提出根據(jù)閉路變形原理知,該積分值不隨閉曲線(xiàn)C

的變化而改變,求這個(gè)值.§3.3Cauchy積分公式

2.Cauchy積分公式及其推論定理：證明：以點(diǎn)z0為中心，以充分小的r>0為半徑作圓L，使L及其內(nèi)部均含于D內(nèi)，則z0rLC而且故即（得證）推論1(平均值公式)一個(gè)解析函數(shù)在圓心處的值等于它在圓周上的平均值推論2

設(shè)f(z)在由簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)C1,C2所圍成的二連域D內(nèi)解析，并在C1,C2上連續(xù)，C2在C1內(nèi)部，z0為D內(nèi)一點(diǎn)，則DC1z0C2C3例1解由Cauchy積分公式例2解由Cauchy積分公式高階導(dǎo)數(shù)公式的作用:不在于通過(guò)積分來(lái)求導(dǎo),而在于通過(guò)求導(dǎo)來(lái)求積分.§4解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)證明：利用數(shù)學(xué)歸納法，當(dāng)n=1時(shí)證明由導(dǎo)數(shù)的定義可知由柯西積分公式可知由條件可知，存在M>0,設(shè)則DCz0dDCz0d則而Δz→0,故從而依此類(lèi)推，可以證明注意：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)定理：柯西不等式證明：其中0<R1<R,由復(fù)積分的性質(zhì)得故令R1→R得到劉維爾定理：設(shè)函數(shù)f(z)在全平面上解析且有界，則f(z)為一常數(shù)。證：則f(z)為一常數(shù)。例1證明：由柯西積分公式有其中0<r<1利用積分的性質(zhì)有例2解根據(jù)復(fù)合閉路原理和高階導(dǎo)數(shù)公式,xy02C1C2例3解根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)公式有根據(jù)復(fù)合閉路原理xyCC1C2xyCC1C2同理于是例4由Cauchy積分定理得解由Cauchy積分公式得§5解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系設(shè)f(z)=u(x,y)+i

v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則即u及v在D內(nèi)滿(mǎn)足拉普拉斯(Laplace)方程:定義定理由上面的討論，已經(jīng)證明了：定義上面定理說(shuō)明：由解析的概念得：現(xiàn)在研究其反問(wèn)題：如目錄定理

公式不用強(qiáng)記！可如下推出：類(lèi)似地，然后兩端積分得，C-R方程C-R方程目錄

調(diào)和函數(shù)在流體力學(xué)和電磁場(chǎng)理論等實(shí)際問(wèn)題中都有重要應(yīng)用。本節(jié)介紹了調(diào)和函數(shù)與解析函數(shù)的關(guān)系。目錄例1解法1解法2解法3故答案：

本章主要內(nèi)容有向曲線(xiàn)復(fù)合閉路定理原函數(shù)的概念復(fù)積分高階導(dǎo)數(shù)公式Cauchy積分定理積分的性質(zhì)積分的計(jì)算閉路變形定理Cauchy積分公式積分公式及計(jì)算解根據(jù)Cauchy積分