高度、角度問(wèn)題

第一章 解三角形1.2 應(yīng)用舉例第2課時(shí)高度、角度問(wèn)題A級(jí) 基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．某人向正東走了 xkm后向右轉(zhuǎn)了150°，然后沿新方向走了 3km，結(jié)果離出發(fā)點(diǎn)恰好 3km，那么x的值是( )A. 3 B．23 C．3 D．23或 3解析：由正弦定理，得sinA＝BCsinB3sin30°3AC＝3＝2，因?yàn)锽C＞AC，所以A＞B，B＝30°，所以A有兩解，即A＝60°或A＝120°.當(dāng)A＝60°時(shí)，∠ACB＝90°，x＝23；當(dāng)A＝120時(shí)°，∠ACB＝30°，x＝3.故選D.答案：D2．在200m高的山頂上，測(cè)得山下一塔塔頂與塔底的俯角分別為30°，60°，則塔高為()400400A.3mB.33m“C.203mD.200m33解析：如下圖所示，由題意知∠PBC＝60°，所以∠ABP＝90°－60°＝30°，又∠BPA＝60°－30°＝30°，所以AB＝PA.又在Rt△PBC中，BC＝200tan·30°，BC 400所以在Rt△PAD中，PA＝ ＝ .cos30° 3400因?yàn)镻A＝AB，所以AB＝3.答案：A3．在靜水中劃船的速度是每分鐘 40m，水流的速度是每分鐘20m，如果船從岸邊 A處出發(fā)，沿著與水流垂直的航線(xiàn)到達(dá)對(duì)岸，那么船前進(jìn)的方向指向河流的上游并與河岸垂直的方向所成的角為()A.πB.πC.πD.5π43612解析：設(shè)水流速度與船速的合速度為 v，方向指向?qū)Π叮畍水 20 1則由題意知，sinα＝v船＝40＝2，π π又α∈0，2，所以α＝6.“答案：C4．要測(cè)量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀(guān)測(cè)點(diǎn)，在甲、乙兩點(diǎn)測(cè)得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測(cè)得電視塔與甲地連線(xiàn)及甲、乙兩地連線(xiàn)所成的角為120°，甲、乙兩地相距500米，則電視塔在這次測(cè)量中的高度是( )A．1002米B．400米C．2003米D．500米解析：由題可得右圖，其中 AS為塔高，設(shè)為h，甲、乙分別在B、C處．則∠ABS＝45°，∠ACS＝30°，BC＝500，∠ABC＝120°，所以在△ABS中，AB＝AS＝h，在△ACS中，AC＝ 3h，在△ABC中，AB＝h，AC＝3h，BC＝500，∠ABC＝120°.“由余弦定理(3h)2＝5002＋h2－2·500h··cos120°，所以h＝500(米)．答案：C5．在△ABC中，A＝60°，且最大邊長(zhǎng)和最小邊長(zhǎng)是方程 x2－7x11＝0的兩個(gè)根，則第三邊的長(zhǎng)為()A．2B．3C．4D．5解析：因?yàn)锳＝60°，所以第三邊即為a，又b＋c＝7，bc＝11.所以a2＝b2＋c2－2bcosA＝(b＋c)2－3bc＝72－3×11＝16.所以a＝4.答案：C二、填空題6．如圖，為測(cè)量山高 MN，選擇A和另一座山的山頂 C為測(cè)量觀(guān)測(cè)點(diǎn)．從A點(diǎn)測(cè)得M點(diǎn)的仰角∠MAN＝60°，C點(diǎn)的仰角∠CAB45°以及∠MAC＝75°；從C點(diǎn)測(cè)得∠MCA＝60°.已知山高BC100m，則山高M(jìn)N＝________m.解析：根據(jù)圖示，AC＝1002.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得 AC ＝ AM ?AM＝100 3.sin45°sin60°MN在△AMN中，AM＝sin60°，“3所以MN＝1003×2＝150(m)．答案：150一蜘蛛沿東北方向爬行xcm捕捉到一只小蟲(chóng)，然后向右轉(zhuǎn)105°，爬得10cm捕捉到另一只小蟲(chóng)，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135°爬行可回到它的出發(fā)點(diǎn)，那么x＝________cm.解析：如圖所示，在△ABC中，AB＝x，BC＝10，∠ABC＝180°105＝°75°，∠BCA＝180°－135＝°45°，所以∠BAC＝180－°75°－45°＝60°.由正弦定理得：x＝10，sin45°sin60°106所以x＝3(cm)．答案：10638.如圖所示，一船在海上自西向東航行，在A(yíng)處測(cè)得某島M位于北偏東α，前進(jìn)m海里后在B處測(cè)得該島位于北偏東β，已知該島周?chē)鷑海里范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)α與β滿(mǎn)足條件__________時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)．“解析：在△ABM中，由正弦定理得BM m＝ ，sin（90°－α） sin（α－β）mcosα故BM＝ ，sin（α－β）要使該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)需滿(mǎn)足mcosαcosβBMsin(90°－β)＝ >n.sin（α－β）所以當(dāng)α與β滿(mǎn)足mcosαcosβ>nsin(α－β)時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)．答案：mcosαcosβ>nsin(α－β)三、解答題9．甲船在A(yíng)處，乙船在A(yíng)的南偏東45°方向，距A有9海里的B處，并以20海里/時(shí)的速度沿南偏西15°方向行駛，若甲船以海里/時(shí)的速度行駛，用多少小時(shí)能最快追上乙船？解：如圖所示，設(shè)用 t小時(shí)甲船能追上乙船，且在 C處相遇．“在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝180°－45°－15°＝120°.由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，1即(28t)2＝92＋(20t)2－2×9×20t×－2，128t2－60t－27＝0，3＝－9tt4323所以甲船用4小時(shí)能最快追上乙船．10．如下圖所示，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北15°的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北25°的方向上，仰角為8°，求此山的高度CD(精確到1m)．解：在△ABC中，∠A＝15°，∠C＝25°－15°＝10°，根據(jù)正弦定BCAB理，sinA＝sinC，BC＝ABsinA5sin15°．sinC7.4524(km)sin10°CD＝BC×tan∠DBC≈BC×tan8°≈1047(m)．“B級(jí) 能力提升1．在某個(gè)位置測(cè)得某山峰仰角為 θ，對(duì)著山峰在地面上前進(jìn) 600m后測(cè)得仰角為2θ，繼續(xù)在地面上前進(jìn) 2003m以后測(cè)得山峰的仰角為4θ，則該山峰的高度為( )A．200m B．300m C．400m D．1003m解析：如下圖所示，△BED，△BDC為等腰三角形，BD＝ED＝600，BC＝DC＝2003.在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝6002＋（2003）2－（2003）232×600×2003＝2，所以2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200332＝300(cm)．答案：B2．一架飛機(jī)在海拔 8000m的高度飛行，在空中測(cè)出前下方海島兩側(cè)海岸俯角分別是 30°和45°，則這個(gè)海島的寬度為 ________m.8000 8000解析：寬＝ － ＝5856.4(m)．答案：5856.43．我炮兵陣地位于地面 A處，兩觀(guān)察所分別位于地面 C和D處，已知CD＝6km，∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，目標(biāo)出現(xiàn)于地面點(diǎn)B處時(shí)，測(cè)得∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如圖所示)，求我炮兵陣“地到目標(biāo)的距離．解：在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，∠ACD＝45°，根據(jù)正弦定理，有AD＝CDsin45°2CD，＝sin60°3同理：