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2022年山西省忻州市莊磨中學(xué)高一數(shù)學(xué)文月考試題含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有是一個符合題目要求的1.把數(shù)列的所有項(xiàng)按照從大到小,左大右小的原則寫成如右數(shù)表:第k行有個數(shù)。第t行的第s個數(shù)(從左數(shù)起)記為,則為(
)A.
B.
C.
D.
參考答案:C2.已知集合,則A∩B=(
)A. B. C. D.參考答案:D【分析】先求集合A和集合B,然后取交集即可.【詳解】,,則,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,屬于簡單題.3.若,則=
(
)
A.
B.
C.
D.參考答案:A4.已知過點(diǎn)P(-2,m),Q(m,4)的直線的傾斜角為45o,則m的值為(
)
A、l
B、2
C、3
D、4參考答案:A略5.已知集合,則,則(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:A6.(3分)設(shè)函數(shù)f(x)=,則f(f(﹣1))的值為() A. ﹣2 B. ﹣1 C. 1 D. 2參考答案:D考點(diǎn): 函數(shù)的值.專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析: 根據(jù)分段函數(shù)f(x)的解析式,求出f(f(﹣1))的值即可.解答: ∵函數(shù)f(x)=,∴f(﹣1)=﹣(﹣1)=1,∴f(f(﹣1))=f(1)=12+1=2.故選:D.點(diǎn)評: 本題考查了根據(jù)分段函數(shù)的解析式,求函數(shù)值的問題,是基礎(chǔ)題目.7.已知α、β是兩個不同的平面,直線a?α,直線b?β,命題p:a與b沒有公共點(diǎn),命題q:α∥β,則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件參考答案:B8.化簡的結(jié)果是(
)A. B. C. D.參考答案:B【分析】先用消去式子中的,再用二倍角公式可進(jìn)一步對式子進(jìn)行化簡即得?!驹斀狻坑深}得原式,,,,故選B?!军c(diǎn)睛】本題主要考查二倍角公式的運(yùn)用,在開二次根號時(shí)需要注意開出的數(shù)必須為正數(shù)。9.在古希臘,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1,3,6,10,15,21,28,…這些數(shù)叫做三角形數(shù),這是因?yàn)檫@些數(shù)目的點(diǎn)可以排成一個正三角形(如圖).試問三角形數(shù)的一般表達(dá)式為
(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D略10.如圖所示為f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<)的部分圖象,P,Q分別為f(x)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),點(diǎn)P坐標(biāo)為(2,A),PR⊥x軸于R,若∠PRQ=.則A及φ的值分別是()A., B., C.2, D.2,參考答案:C【考點(diǎn)】y=Asin(ωx+φ)中參數(shù)的物理意義.【專題】數(shù)形結(jié)合;轉(zhuǎn)化法;三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).【分析】由題意直接求出函數(shù)的最大值A(chǔ),通過點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,A),點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2,0).若∠PRQ=,畫出圖象,求出函數(shù)的周期,然后求出最大值,利用函數(shù)的圖象經(jīng)過P,求出φ的值.【解答】解:如圖,∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,A),點(diǎn)R的坐標(biāo)為(2,0).若∠PRQ=,∴∠SRQ==.則SQ=A,RS==,則tan===,得A=.即P(2,),∴2=2sin(),解得φ=2kπ+﹣,k∈Z,∵0<φ<,∴當(dāng)k=0時(shí),φ=.故選:C.【點(diǎn)評】本題考查三角函數(shù)的解析式的求法,考查函數(shù)的圖象的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,根據(jù)條件結(jié)合圖象求出A和φ的值是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)f(x)=2x+x﹣4的零點(diǎn)x0∈(a,b),且b﹣a=1,a,b∈N,則a+b=
.參考答案:3【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.【分析】利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理判斷區(qū)間端點(diǎn)值的符號,從而確定函數(shù)零點(diǎn)的區(qū)間.得到a,b的值.【解答】解:因?yàn)閒(x)=2x+x﹣4,所以f(1)=2+1﹣4=﹣1<0,f(2)=4+2﹣4=2>0.所以由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理,可知函數(shù)f(x)零點(diǎn)必在區(qū)間(1,2)內(nèi),則a=1.b=2,a+b=3.故答案為:3.12.已知y=f(x)在定義域R上是減函數(shù),且f(1﹣a)<f(2a﹣1),則a的取值范圍是.參考答案:(﹣∞,)考點(diǎn): 函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析: 根據(jù)函數(shù)y=f(x)在定義域R上是減函數(shù),則能推出不等式1﹣a>2a﹣1,從而求出a的取值范圍.解答: 解:因?yàn)閥=f(x)在定義域R上是減函數(shù),且f(1﹣a)<f(2a﹣1),使用由減函數(shù)的性質(zhì)可知1﹣a>2a﹣1,解得a<.所以a的取值范圍是(﹣∞,).故答案為:(﹣∞,).點(diǎn)評: 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題型.13.在平面直角坐標(biāo)系中,已知角的頂點(diǎn)和點(diǎn)重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,終邊上一點(diǎn)坐標(biāo)為,則.參考答案:14.在△ABC中,若,C=150°,BC=1,則AB=______.參考答案:15.給出下列命題:
①在空間,若兩條直線都與第三條直線平行,則這兩條直線平行;②在空間,若兩條直線都與第三條直線垂直,則這兩條直線平行;③在空間,若兩條直線都與一個平面平行,則這兩條直線平行;④在空間,若兩條直線都與一個平面垂直,則這兩條直線平行;其中,正確命題的序號是
。(寫出所有正確命題的序號)
參考答案:①④16.(4分)已知函數(shù)f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)是奇函數(shù),則f(x)在上的最大值與最小值的和為.參考答案:0考點(diǎn): 余弦函數(shù)的圖象.專題: 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).分析: 根據(jù)f(x)是奇函數(shù)得到φ=,利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論.解答: ∵函數(shù)f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π)是奇函數(shù),∴φ=,即函數(shù)f(x)=cos(2x+)=﹣sin2x,∵x∈,∴2x∈,即當(dāng)2x=時(shí),f(x)取得最小值﹣1,當(dāng)2x=時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值1,∴f(x)在上的最大值與最小值的和1﹣1=0,故答案為:0點(diǎn)評: 本題主要考查三角函數(shù)的奇偶性和最值的求解,根據(jù)條件求出φ的值是解決本題的關(guān)鍵.17.(3分)已知實(shí)數(shù)m≠0,函數(shù),若f(2﹣m)=f(2+m),則實(shí)數(shù)m的值為
.參考答案:和8考點(diǎn): 函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用;函數(shù)的零點(diǎn).專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.分析: 根據(jù)分段函數(shù)的解析式,可以確定2+m和2﹣m應(yīng)該在兩段函數(shù)上各一個,對2+m和2﹣m分類討論,確定相應(yīng)的解析式,列出方程,求解即可得到實(shí)數(shù)m的值.解答: ∵,∴f(x)在x≤2和x>2時(shí),函數(shù)均為一次函數(shù),∵f(2﹣m)=f(2+m),∴2﹣m和2+m分別在x≤2和x>2兩段上各一個,①當(dāng)2﹣m≤2,且2+m>2,即m>0時(shí),∴f(2﹣m)=3(2﹣m)﹣m=6﹣4m,f(2+m)=﹣(2+m)﹣2m=﹣2﹣3m,∵f(2﹣m)=f(2+m),∴6﹣4m=﹣2﹣3m,∴m=8,;②當(dāng)2﹣m>2,且2+m≤2,即m<0時(shí),∴f(2﹣m)=﹣(2﹣m)﹣2m=﹣2﹣m,f(2+m)=3(2+m)﹣m=6+2m,∵f(2﹣m)=f(2+m),∴﹣2﹣m=6+2m,∴m=.綜合①②,可得實(shí)數(shù)m的值為和8.故答案為:和8.點(diǎn)評: 本題考查了分段函數(shù)的解析式及其應(yīng)用,考查了分段函數(shù)的取值問題,對于分段函數(shù)一般選用數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題.同時(shí)考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.函數(shù)的零點(diǎn)等價(jià)于對應(yīng)方程的根,等價(jià)于函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),解題時(shí)要注意根據(jù)題意合理的選擇轉(zhuǎn)化.屬于中檔題.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榧?,集合>.請你寫出一個一元二次不等式,使它的解集為,并說明理由.參考答案:由得,……2分又由,,,,得,……5分所以,,……7分所以,不等式的解集為.(答案不唯一)………………10分19.已知直二面角α-l-β,點(diǎn)A∈α,AC⊥l,C為垂足,點(diǎn)B∈β,BD⊥l,D為垂足.若AB=2,AC=BD=1,則CD=()A.2
B.C.
D.1參考答案:C20.已知向量a=(cosωx-sinωx,sinωx),向量b=(-cosωx-sinωx,2cosωx),設(shè)函數(shù)f(x)=a·b,(x∈R)的圖象關(guān)于直線x=π對稱,其中ω為常數(shù),且ω∈.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍.參考答案:(1)(2)[-1,2].【分析】(1)化簡,通過周期公式可求得最小正周期;(2)由(1)先求得的取值范圍,于是可判斷f(x)的取值范圍.【詳解】解:(1)因?yàn)橛芍本€是圖象的一條對稱軸,可得,所以,即.又,所以,故.所以的最小正周期是..(2)故,由,得,所以,得故函數(shù)在上的取值范圍為[-1,2].【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)恒等變換,最值問題,意在考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識,計(jì)算能力,難度不大.21.設(shè)m∈R,函數(shù)f(x)=ex﹣m(x+1)+m2(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))(Ⅰ)若m=2,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(Ⅱ)已知實(shí)數(shù)x1,x2滿足x1+x2=1,對任意的m<0,不等式f(x1)+f(0)>f(x2)+f(1)恒成立,求x1的取值范圍;(Ⅲ)若函數(shù)f(x)有一個極小值點(diǎn)為x0,求證f(x0)>﹣3,(參考數(shù)據(jù)ln6≈1.79)參考答案:【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值.【分析】(Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可;(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為2(x1﹣1)m﹣(﹣)+e﹣1<0對任意m<0恒成立,令g(m)=2(x1﹣1)m﹣(﹣)+e﹣1,得到關(guān)于x1的不等式組,解出即可;(Ⅲ)求出f(x0)的解析式,記h(m)=m2﹣mlnm,m>0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出h(m)的取值范圍,從而求出f(x0)的范圍,證明結(jié)論即可.【解答】解:(Ⅰ)m=2時(shí),f(x)=ex﹣2x﹣1,f′(x)=ex﹣2,令f′(x)>0,解得:x>ln2,故函數(shù)f(x)在[ln2,+∞)遞增;(Ⅱ)∵不等式f(x1)+f(0)>f(x2)+f(1)恒成立,x1+x2=1,∴2(x1﹣1)m﹣(﹣)+e﹣1<0對任意m<0恒成立,令g(m)=2(x1﹣1)m﹣(﹣)+e﹣1,當(dāng)2(x1﹣1)=0時(shí),g(m)=0<0不成立,則,解得:x1>1;(Ⅲ)由題意得f′(x)=ex﹣m,f′(x0)=0,故=m,f(x0)=﹣m(x0+1)+m2=m2﹣mlnm,m>0,記h(m)=m2﹣mlnm,m>0,h′(m)=m﹣lnm﹣1,h′′(m)=﹣,當(dāng)0<m<2時(shí),h′′(m)<0,當(dāng)m>2時(shí),h′′(m)>0,故函數(shù)h′(x)在(0,2)遞減,在(2,+∞)遞增,如圖所示:[h′(m)]min=h′(2)=﹣ln2<0,又當(dāng)m→0時(shí),h′(m)>0,m→+∞,h′(m)>0,故函數(shù)h′(m)=0有2個根,記為m1,m2(m1<2<m2<6),(h′(6)>0),故h(m)在(0,m1)遞增,在(m1,m2)遞減,在(m2,+∞)遞增,又當(dāng)m→0時(shí),h(
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