2021-2022學(xué)年浙江省嘉興市嘉善縣中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年浙江省嘉興市嘉善縣中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.正方體ABCD-A′B′C′D′棱長(zhǎng)為6，點(diǎn)P在棱AB上，滿足PA=2PB，過(guò)點(diǎn)P的直線l與直線A′D′、CC′分別交于E、F兩點(diǎn)，則EF=（

）A．

B．

C.14

D．21參考答案：D如圖，過(guò)點(diǎn)與做平面分別與直線交于，連接與直線交于點(diǎn)，則可求,，，故選D.

2.設(shè)全集U={1，2，3，4，5，6}，設(shè)集合P={1，2，3，4}，Q{3，4，5}，則P∩（CUQ）=A.{1，2，3，4，6}

B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}

D.{1,2}參考答案：D

Q{3，4，5}，CUQ={1，2，6}，

P∩（CUQ）={1，2}.3.已知一個(gè)三棱柱，其底面是正三角形，且側(cè)棱與底面垂直，一個(gè)體積為的球體與棱柱的所有面均相切，那么這個(gè)三棱柱的表面積是(

) A． B． C． D．參考答案：C考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積．專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：由球的體積可以求出半徑，從而得棱柱的高；由球與正三棱柱的三個(gè)側(cè)面相切，得球的半徑和棱柱底面正△邊長(zhǎng)的關(guān)系，求出邊長(zhǎng)，即求出底面正△的面積；得出棱柱的表面積．解答： 解：由球的體積公式，得πR3=，∴R=1．∴正三棱柱的高h(yuǎn)=2R=2．設(shè)正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，則其內(nèi)切圓的半徑為：?a=1，∴a=2．∴該正三棱柱的表面積為：3a?2R+2×=18．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查了球的體積，柱體體積公式的應(yīng)用；本題的解題關(guān)鍵是求底面邊長(zhǎng)，這是通過(guò)正△的內(nèi)切圓與邊長(zhǎng)的關(guān)系得出的．4.已知有窮數(shù)列中，，且，從數(shù)列中依次取出構(gòu)成新數(shù)列，容易發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以-3為首項(xiàng)，-3為公比的等比數(shù)列，記數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，數(shù)列的所有項(xiàng)的和為，則（

）A．

B．

C.

D．與的大小關(guān)系不確定參考答案：A5.已知為純虛數(shù)，且為虛數(shù)單位），則（

）A．1

B．

C．

D．

參考答案：D設(shè)，則，即，所以，則，故選D．6.已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3個(gè)元素，則（）A．k＞e3 B．k≥e3 C．k＞e4 D．k≥e4參考答案：C【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷．【分析】首先確定集合A，由此得到lnk＞4，由此求得k的取值范圍．【解答】解：∵集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3個(gè)元素，∴A={2，3，4，…}，∴l(xiāng)nk＞4，∴k＞e4．故選：C．7.已知集合A={x∈R|3x+2＞0}B={x∈R|（x+1）(x-3)＞0}則A∩B=A．（-，-1）

B．（-1，-）

C．（-,3）

D．(3,+)參考答案：D和往年一樣，依然的集合(交集)運(yùn)算，本次考查的是一次和二次不等式的解法。因?yàn)?，利用二次不等式可得或?huà)出數(shù)軸易得：．故選D．8.設(shè)是直線,a,β是兩個(gè)不同的平面（）A．若∥a,∥β,則a∥β

B．若∥a,⊥β,則a⊥βC．若a⊥β,⊥a,則⊥β

D．若a⊥β,∥a,則⊥β參考答案：B9.設(shè)集合，則滿足的集合B的個(gè)數(shù)是

（A）

(B)

(C)

(D)參考答案：C因?yàn)椋?所以共有4個(gè)，選C.10.在△ABC中，則∠BAC=

A．30°

B．120°

C．150°

D．30°或150

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，D,E分別為BC,CA的中點(diǎn)，則=

.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．解析：由于D，E分別為邊BC，CA的中點(diǎn)，則=（+），=（+），則?=（+）?（+）=（﹣﹣﹣+）=×（﹣4﹣2×﹣2×2×+2×2×）=．故答案為：．【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用中點(diǎn)的向量表示形式，結(jié)合向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，計(jì)算即可得到所求值．

12.已知，各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，若，則__________.參考答案：略13.設(shè)是半徑為的球面上的四個(gè)不同點(diǎn)，且滿足，，，用分別表示△、△、△的面積，則的最大值是

.參考答案：214.有張卡片，每張卡片上分別標(biāo)有兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，其中．從這張卡片中任取一張，記事件“該卡片上兩個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和（例如：若取到標(biāo)有的卡片，則卡片上兩個(gè)數(shù)的各位數(shù)字之和為）不小于”為，則

．參考答案：解析：對(duì)于大于14的點(diǎn)數(shù)的情況通過(guò)列舉可得有5種情況，即，而基本事件有20種，因此15.等差數(shù)列{}中則此數(shù)列前項(xiàng)和等于

參考答案：180.

略16.

對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，定義min{a，b}＝設(shè)函數(shù)f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，則函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是__________．參考答案：1

17.設(shè)二次函數(shù)的值域?yàn)?，則的最小值為

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知某中學(xué)高三文科班學(xué)生的數(shù)學(xué)與地理的水平測(cè)試成績(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)如下表：若抽取學(xué)生n人，成績(jī)分為A(優(yōu)秀)、B（良好）、C(及格)三個(gè)等級(jí)，設(shè)x，y分別表示數(shù)學(xué)成績(jī)與地理成績(jī)，例如：表中數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)锽等級(jí)的共有20+18+4=42人，已知x與y均為B等級(jí)的概率是0.18．（1）若在該樣本中，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率是30%，求a，b的值；（2）在地理成績(jī)?yōu)镃等級(jí)的學(xué)生中，已知a≥10，b≥8，求數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)锳等級(jí)的人數(shù)比C等級(jí)的人數(shù)少的概率．參考答案：

略19.（13分）

如圖，是函數(shù)在同一個(gè)周期內(nèi)的圖像。

（I）求函數(shù)的解析式；

（II）將函數(shù)平移，得到函數(shù)的最大值，并求此時(shí)自變量x的集合。參考答案：解析：（I）由圖知：，得A=2；

由A+B=3，得B=1；

設(shè)將函數(shù)的圖象向左平移，得的圖象，則

……8分

（II）依題意：當(dāng)此時(shí)x的取值集合為

…………13分20.已知極坐標(biāo)的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，極軸與軸的正半軸重合，且長(zhǎng)度單位相同，曲線的方程是，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，），設(shè)，直線與曲線交于兩點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度；（2）求的取值范圍.參考答案：（1）曲線的方程是，化為，化為，所以，曲線的方程，當(dāng)時(shí)，直線，代入方程，解得或，所以。（2）將代入到，得，由，化簡(jiǎn)得，所以，所以，所以21.(本小題滿分12分)在△ABC中，已知A=，．

(I)求cosC的值；

(Ⅱ)若BC=2，D為AB的中點(diǎn)，求CD的長(zhǎng)．參考答案：解：（Ⅰ）且，∴

…………2分

……………4分

…………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得

……8分由正弦定理得，即，解得．

………………10分 在中，，所以略22.已知函數(shù)f（x）=x2，g（x）=elnx．（Ⅰ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m，對(duì)x∈R恒成立，且g（x）≤kx+m，對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”，試問(wèn)：f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）在定義域內(nèi)解不等式F′（x）＞0，F(xiàn)′（x）＜0可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）由（I）可知，當(dāng)x=時(shí)，F(xiàn)（x）取得最小值F（）=0，則f（x）與g（x）的圖象在x=處有公共點(diǎn)（，）．假設(shè)f（x）與g（x）存在“分界線”，則其必過(guò)點(diǎn)（，）．故設(shè)其方程為：y﹣=k（x﹣），由f（x）≥kx+﹣k對(duì)x∈R恒成立，可求得k=，則“分界線“的方程為：y=．只需在證明g（x）≤對(duì)x∈（0，+∞）恒成立即可；【解答】解：（I）由于函數(shù)f（x）=，g（x）=elnx，因此，F(xiàn)（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣elnx，則F′（x）=x﹣==，x∈（0，+∞），當(dāng)0＜x＜時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，∴F（x）在（0，）上是減函數(shù)；當(dāng)x＞時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，∴F（x）在（，+∞）上是增函數(shù)；因此，函數(shù)F（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，），單調(diào)增區(qū)間是（，+∞）．（II）由（I）可知，當(dāng)x=時(shí)，F(xiàn)（x）取得最小值F（）=0，則f（x）與g（x）的圖象在x=處有公共點(diǎn)（，）．假設(shè)f（x）與g（x）存在“分界線”，則其必過(guò)點(diǎn)（，）．故設(shè)其方程為：y﹣=k（x﹣），即y=kx+﹣k，由f（x）≥kx+﹣k對(duì)x∈R恒成立，則對(duì)x∈R恒成立，∴=4k2﹣